具有Holling Ⅳ型功能性反應(yīng)的非自治脈沖捕食系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究

張春花, 陳曉星, 張玉英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州　350116)

具有Holling Ⅳ型功能性反應(yīng)的非自治脈沖捕食系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究

張春花, 陳曉星, 張玉英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州350116)

摘要：討論一類帶有脈沖的Holling Ⅳ類功能性反應(yīng)的非自治捕食系統(tǒng)，利用微分方程比較定理和構(gòu)造Lyapunov函數(shù)等方法, 得到該類系統(tǒng)的持久生存、 滅絕以及全局漸近穩(wěn)定的條件.

關(guān)鍵詞：Holling Ⅳ捕食系統(tǒng); 脈沖; 非自治; 持久生存; 滅絕; 漸近性

1引言

生態(tài)系統(tǒng)的持久生存以及全局漸近穩(wěn)定一直是生態(tài)學(xué)研究的中心, 研究捕食系統(tǒng)特別是具有功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的持久生存以及全局漸近穩(wěn)定有著重要的現(xiàn)實(shí)意義, 已被許多學(xué)者廣泛研究[1-3].但對(duì)于形式較復(fù)雜的Holling Ⅳ類功能性的捕食系統(tǒng)研究較少.

在文獻(xiàn)[4]中作者討論了Holling Ⅳ具有功能性反應(yīng)的非自治捕食模型.

然而在現(xiàn)實(shí)生活中, 生態(tài)系統(tǒng)難免會(huì)受到一些外界的干擾.如: 種群的出生率、 死亡率以及種群間的相互關(guān)系往往受季節(jié)、 氣候、 交配習(xí)慣等因素的干擾, 導(dǎo)致不能單一地采用差分或者微分方程表示其生物意義, 因?yàn)檫@些生物現(xiàn)象并非是一個(gè)連續(xù)的過程, 因而應(yīng)將兩者結(jié)合, 運(yùn)用脈沖微分方程模型.這樣, 在變系數(shù)的微分方程中加入脈沖更具有實(shí)際意義[5-7]. 本文將研究具有脈沖效應(yīng)的Holling Ⅳ非自治捕食系統(tǒng)：

(1)

其中: x(t), y(t)分別表示食餌和捕食者種群的密度； a1(t)為定義在R+上的有界連續(xù)函數(shù)； a2(t), bi(t), ci(t)(i=1, 2,)為定義在R+上的正的有界連續(xù)函數(shù)； α(t)具有正的下界, hik>-1(i=1, 2)為常數(shù)以及假設(shè)存在正常數(shù)ωi和λi(i=1, 2)，使得:

目的是尋求合理的條件, 使研究的系統(tǒng)仍然能夠持久生存并且具有漸近穩(wěn)定性.

2預(yù)備知識(shí)

對(duì)于單種群的非自治系統(tǒng):

(2)

其中: a(t), b(t)為定義在t∈R+上的有界連續(xù)函數(shù)； b(t)≥0, hk≥-1為常數(shù)； 則有如下結(jié)論：

引理1[8]系統(tǒng)(2)中當(dāng)初始條件x(0)>0時(shí), x(t)的解恒為正.

引理2[9]假設(shè)存在正的常數(shù)ω和λ使得

1) 對(duì)于系統(tǒng)(2)的任一正解x(t), 存在正常數(shù)m和M使得：

引理3[10]假設(shè)存在正的常數(shù)ω和λ使得:

3系統(tǒng)的持久性

由比較定理知，對(duì)于任意的t≥0，有y(t)≥ν(t)，其中ν(t)是如下系統(tǒng)

(3)

下面證明y(t)具有上界，對(duì)y(t)要分為以下三種情況討論.

1)假設(shè)對(duì)于所有的t≥T′，y(t)≥η2, 則對(duì)任意的正整數(shù)l，有

顯然，當(dāng)l→+∞ 時(shí)，則y(T′+lω2)→0與假設(shè)矛盾.

取一個(gè)正整數(shù)l，使得t=ρn+lω2+ν2，其中0≤ν2<ω2，則：

3) 假設(shè)對(duì)于所有的t≥T′，y(t)≤η2，則y(t)≤η2≤η2exp(β2ω2+H2).

綜上，對(duì)?t≥T′，y(t)≤η2≤η2exp(β2ω2+H2).其中

由于δ2是任意的正數(shù)，當(dāng)δ2→0時(shí)，取

所以當(dāng)?t≥T′時(shí)，A2≤y(t)≤B2

由定理1知，系統(tǒng)(1)的任意解z(t)=(x(t), y(t))中y(t)是有界.記

定理3在定理1和定理2的條件下，系統(tǒng)(1)持久生存.

4系統(tǒng)的絕滅性

定理4若(N1)～(N4)、 (N6)及(N7)滿足，則系統(tǒng)(1)的半平凡解(0, y*(t))是全局吸引的.

證明由系統(tǒng)(1)可得

設(shè)μ(t)是如下系統(tǒng)

(4)

具有初始值為ω(T1)=y(T1; 0, y0)的解.由比較定理得

(5)

由(N2)知，對(duì)任意的ε都有

(6)

(7)

根據(jù)(N1)、 (N2)、 式(6)及引理2知，存在兩個(gè)正的常數(shù)A和B，使得對(duì)于任意的t>T，有

由中值定理有

因?yàn)閎2(t)為R+上正的連續(xù)有界函數(shù)，則有正的常數(shù)H和λ使得

定理5若條件(N1)、 (N3)、 (N4)以及(N6)～(N8)成立，則系統(tǒng)(1)是絕滅.

5系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性

(8)

且對(duì)任意t>0，有

證明從定理2可知，存在兩個(gè)正常數(shù)A和B，對(duì)于系統(tǒng)(1)任意解z1(t)=(x1(t), y1(t)), z2(t)=(x2(t), y2(t)), 存在T, 使得對(duì)任意t>T，有A≤x1(t), x2(t)≤B. 根據(jù)微分中值定理，有

則

同理

則V(t)是定義在正實(shí)數(shù)上的連續(xù)函數(shù).

由于

則對(duì)任意的t>T，有

參考文獻(xiàn)：

[1] DU P, DUAN C X, LIAO X Y. Dynamics behaviors of a reaction-diffusion predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response and delay[J]. Applied Mathematics, 2014, 5(6)： 843-851.

[2] SU H, DAI B X, CHEN Y M,etal. Dynamic complexities of a predator-prey model with generalized Holling type Ⅲ functional response and impulsive effects[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2008, 56(7): 1 715-1 725.

[3] WANG Q, DAI B X, CHEN Y M. Multiple periodic solutions of an impulsive predator-prey model with Holling type IV functional response[J]. Mathematical and Computer Modelling, 2009, 49(9/10): 1 829-1 836.

[4] 余長(zhǎng)春, 李培巒, 曾憲武. 具有IV類功能反應(yīng)的非自治捕食系統(tǒng)的持續(xù)性和周期解[J]. 數(shù)學(xué)雜志, 2006, 26(6): 619-622.

[5] LIU X X.Impulsive periodic oscillation for a predator-prey model with Hassell-Varley-Holling fuctional response[J]. Applied Mathematical Modelling, 2014, 38(4): 1 482-1 494.

[6] DU Z J, FENG Z S. Periodic solutions of a neutral impulsive predator-prey model with Beddington-DeAngelis functional response with delays[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014, 258(1): 87-98.

[7] KAN M F, ZHOU Y, WANG J R, On the concept and existence of solution for impulsive fractional differential equations[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17(7): 3 050-3 060.

[8] HU H X, TENG Z D, JIANG H J. On the permanence in nonautonomous Lotka-Volterra competitive system with pure-delays and feedback controls[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2009, 10(3): 1 803-1 815.

[9] HUO J, LIU H H. Permanence and asymptotic behavior of the nonautonomous Lotka-Valterra competitive system with impulses[J]. Journal of Biomathematics, 2009, 24(2): 213-221.

[10] HUO J, TENG Z D, GAO S J. Permanence and global stability for nonautonomous N-species Lotka Valterra competitive system with impulses[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11(3): 1 882-1 896.

(責(zé)任編輯： 蔣培玉)

The permanence extinction and asymptotic behavior of anonautonomous Holling Ⅳ predator-prey system with impulses

ZHANG Chunhua, CHEN Xiaoxing, ZHANG Yuying

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

Abstract:The paper studies a Holling Ⅳ nonautonomous predator-prey system with impulses. Sufficient conditions for the permanence extinction and global asymptotical stability behavior to the system are established by the methods of differential comparison theorem and Lyapunov functions.

Keywords:Holling Ⅳ predator-prey system; impulse; nonautonomous; permanence; extinction; asymptotic behavior

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0325

文章編號(hào)：1000-2243(2016)03-0325-06

收稿日期:2014-06-11

通訊作者:陳曉星(1963-), 教授, 主要從事微分方程及其應(yīng)用方面的研究, cxxing79@163.com

基金項(xiàng)目:福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013J01011)

中圖分類號(hào)：O175.14

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A