具有時滯和避難所的復(fù)合型競爭合作模型的Hopf分支

周青嬌, 魏鳳英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 福建 福州　350116)

具有時滯和避難所的復(fù)合型競爭合作模型的Hopf分支

周青嬌, 魏鳳英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 福建 福州350116)

摘要：考慮一類具有時滯及避難所的復(fù)合型競爭合作模型的Hopf分支情況, 通過分析雅克比矩陣的特征值證明當(dāng)時滯τ在一定范圍內(nèi)變化時, 正平衡點是局部漸近穩(wěn)定的. 當(dāng)時滯τ穿過某些特定值時, 該模型在正平衡點附近產(chǎn)生Hopf分支. 最后, 通過數(shù)值模擬驗證所得結(jié)論的有效性.

關(guān)鍵詞：復(fù)合型競爭合作系統(tǒng); 避難所; 時滯; Hopf分支

0引言

在Lotka-Volterra模型中, 兩種群間的作用總是固定不變的： 負相關(guān)、 中性或者正相關(guān). 一般認為，當(dāng)兩種群競爭相同的食物來源時，其中一個種群的存在會抑制另一個種群的增長. 在傳統(tǒng)的Lotka-Volterra競爭模型中, 我們總是假設(shè)兩種群間的作用是負相關(guān)的. 但在自然環(huán)境中，競爭的種群間的作用也可以是正相關(guān)的. 例如，豆類植物雖然跟附近的植物是競爭的, 但處于低密度時, 它會為附近的植物提供氮氣[1], 此時豆類植物是有利于其它植物的生長[2]. 另外, 有學(xué)者研究表明動物間也存在著互利[3]. 目前，已經(jīng)有許多學(xué)者對具有復(fù)合作用的物種進行相關(guān)研究[3-7]. 其中文[3]在Lotka-Volterra模型的基礎(chǔ)上，提出了復(fù)合型競爭合作模型. 復(fù)合模型指的是, 兩種群間的作用并不總是固定的: 當(dāng)種群的密度小于某個臨界值時, 它對另一個種群的作用是合作的； 當(dāng)種群的密度大于這個臨界值時, 它對另一個種群的作用是競爭的. 該模型為:

(1)

其后, 文[4]對如下的模型進行詳細的研究:

(2)

其中, x2種群對x1種群始終是競爭的. x1種群對x2種群是復(fù)合作用的: 當(dāng)x1b時, x1種群對x2種群是競爭的．

另一方面，許多學(xué)者研究表明人類的活動嚴重影響生物的生存. 楊道德等[8]認為許多哺乳動物瀕危滅絕的部分原因是動物生存環(huán)境的破壞. 趙洪峰等[9]指出鳥類瀕臨滅絕的主要原因是人為干擾所造成的棲息地破壞. 為保護瀕危物種, 我國已建立自然保護區(qū)為這些物種提供避難所. 目前, 雖有學(xué)者研究過競爭模型的Hopf分支[10], 但尚未有學(xué)者同時考慮具有避難所和時滯的復(fù)合型競爭合作模型的Hopf分支問題.

本研究在模型 (2)的基礎(chǔ)上引入避難所．假設(shè)x2種群是瀕危物種, 人類為x2種群提供避難所. 在避難所的作用下, 可以將x2種群分為兩個部分, mx2表示躲進避難所的x2種群的密度, (1-m)x2表示與x1種群發(fā)生作用的種群密度, 且0

(3)

1Hopf分支

將系統(tǒng)(3)改寫成：

(4)

其中: a11=a1(1-m), a22=a2(1-m).

(5)

(6)

(7)

分離式(7)的實部和虛部, 得到

(8)

由式(8)有

(9)

矛盾. 因此cosωτ=0, 從而sinωτ=1或者-1. 以下分兩種情形討論.

情形1sinωτ=1.

由式(9)得

(10)

(11)

情形2sinωτ=-1.

由式(9)得

(12)

定理1對于系統(tǒng)(3)有:

(i)P0(0, 0), P1(c1, 0)不穩(wěn)定.

(ii)當(dāng)c1c2a1(1-m)時, P2(0, c2)是不穩(wěn)定的.

2數(shù)值模擬

(13)

(14)

參考文獻：

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[9] 趙洪峰, 高學(xué)斌, 雷富民, 等. 中國受脅鳥類的分布與現(xiàn)狀分析[J]. 生物多樣性, 2005, 13(1): 12-19.

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(責(zé)任編輯： 林曉)

Hopf bifurcation of a mixed cooperation-competition model incorporating time delay and refuge

ZHOU Qingjiao, WEI Fengying

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou，F(xiàn)ujian 350116, China)

Abstract:The Hopf bifurcation of a mixed cooperation-competition model incorporating time delay and refuge is considered in this paper. By analyzing the eigenvalues of Jacobian matrices, we prove the local asymptotical stability of the positive equilibrium over a range of the delay and when τ passes through some special value, Hopf bifurcations occur at the positive equilibrium of the model. Numerical simulations are carried out to illustrate the effectiveness of our results.

Keywords:mixed cooperation-competition model; refuge; time delay; Hopf bifurcation

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0320

文章編號：1000-2243(2016)03-0320-05

收稿日期:2014-01-05

通訊作者:魏鳳英(1976-)，教授，主要從事隨機微分方程與生物數(shù)學(xué)研究，weifengying@fzu.edu.cn

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11201075)； 福建省自然科學(xué)基金資助項目(2010J01005)

中圖分類號：O175.14

文獻標識碼：A