具有捕獲項(xiàng)及Holling Ⅲ型功能反應(yīng)的非自治Lotka-Volterra系統(tǒng)的多個(gè)正周期解

高 剛，魏鳳英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州　350116)

具有捕獲項(xiàng)及Holling Ⅲ型功能反應(yīng)的非自治Lotka-Volterra系統(tǒng)的多個(gè)正周期解

高 剛，魏鳳英

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州350116)

摘要：研究一個(gè)具有捕獲項(xiàng)及Holling III型功能反應(yīng)的非自治Lotka-Volterra系統(tǒng)，利用重合度理論中的Mawhin連續(xù)定理，得到了該系統(tǒng)2n+m個(gè)正周期存在的充分條件, 并舉例說明所得結(jié)論的有效性.

關(guān)鍵詞：正周期解； 重合度理論； 捕獲； Holling III型功能反應(yīng)； Lotka-Volterra系統(tǒng)

0引言

近些年，關(guān)于生物捕食者-食餌模型多個(gè)周期解存在問題被廣泛地研究，也取得了一些比較好的成果. 在捕食者-食餌系統(tǒng)多個(gè)周期解的研究中, 生態(tài)系統(tǒng)通常只含有一個(gè)捕食者和一個(gè)食餌, 或者系統(tǒng)內(nèi)部是食物鏈的情況[1-5]. 然而, 在自然界中都會(huì)存在多個(gè)捕食者和多個(gè)食餌的復(fù)雜生態(tài)系統(tǒng). 趙凱宏等[6]研究了一類具有捕獲者、 非自治的Lotka-Volterra捕食者-食餌系統(tǒng)：

(1)

文獻(xiàn)[7-8]在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上，考慮脈沖對于生態(tài)種群的影響，利用重合度理論中的Mawhin連續(xù)定理，得到多個(gè)正周期解存在的充分條件. 系統(tǒng)(1)中討論的是n個(gè)食餌種群和m個(gè)捕食者種群的捕食關(guān)系. 由于實(shí)際生態(tài)系統(tǒng)中，許多生物種群之間的捕食關(guān)系函數(shù)和營養(yǎng)轉(zhuǎn)移函數(shù)需要考慮捕食者捕食的飽和程度，飽和程度表現(xiàn)為捕食者對食餌的功能性反應(yīng)函數(shù).主要針對脊椎類動(dòng)物種群之間的捕食關(guān)系，考慮捕食者對食餌的功能性反應(yīng)函數(shù)，并結(jié)合以往的研究成果，研究一類具捕獲項(xiàng)及Holling III型功能反應(yīng)非自治的Lotka-Volterra捕食者-食餌系統(tǒng):

(2)

其中: i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m, 若無特殊說明，所涉及角標(biāo)均源于此.

系統(tǒng)(2)中含有m個(gè)捕食者種群及n個(gè)食餌種群，xi(t)和yn+j(t)分別表示食餌種群及捕食者種群在t時(shí)刻種群密度； ai(t), bi(t)和hi(t)分別表示第i個(gè)食餌種群的內(nèi)稟增長率、 種內(nèi)競爭率和捕獲率； αj(t), βj(t)和ej(t)分別表示第j個(gè)捕食者種群的內(nèi)稟增長率、 種間競爭率和捕獲率； cil(t)(i≠l)表示第i個(gè)食餌種群和第l個(gè)食餌種群之間的競爭率； γjl(t)(j≠l)表示第j個(gè)捕食者種群和第l個(gè)捕食者種群之間的競爭率； dik(t)表示第k個(gè)捕食者種群對第i個(gè)食餌種群的捕食率； δjk(t)表示第j個(gè)食餌種群轉(zhuǎn)化為第k個(gè)捕食者種群的轉(zhuǎn)化率； 且ai(t), bi(t), αj(t), βj(t), cil(t), γjl(t), dik(t), δjk(t), hi(t), ej(t), fik(t), gjk(t)在R+=[0, ∞)上都是連續(xù)有界正值周期函數(shù).

12n+m個(gè)周期解的存在性

定理1若條件(H1), (H2)成立, 則系統(tǒng)(2)至少存在2n+m個(gè)正ω-周期解.

證明對系統(tǒng)(2)作變換xi(t)=exp(ui(t)), yn+j(t)=exp(un+j(t))得到

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

則由式(5)，有

(9)

(10)

(11)

由(7)～(10)式，得到

(12)

從(9)～(12)式和引理2，對于任意t∈R+有

(13)

ΩK={u=(u1, u2, …, un+m)T∈C(R+, Rn+m)∈X:ui(t)∈Δi, t∈R+, i=1, 2, …, n+m}

易知ΩK是X中的有界開子集，Ωi∩Ωj=?, i≠j. 則引理1的1)成立.

反證法，若u∈?Ωk∩KerL=?Ωk∩Rn+m，QN(u, 0)=(0, …, 0)T，k=1, 2, …, 2n+m，則

根據(jù)積分的性質(zhì)知，存在ti∈R+, i=1, 2, …, n，tn+j∈R+, j=1, 2, …, m，使

(14)

由(14)式，可得

ai(ti)-bi(ti)exp(xi)-hi(ti)exp(-xi)=0，αj(tn+j)-βj(tn+j)exp(yn+j)-ej(tn+j)exp(-yn+j)=0

(15)

(16)

綜上，引理1的1)～3)都成立. 因此系統(tǒng)(4)至少有2n+m個(gè)不同的ω-周期解，從而系統(tǒng)(2)至少有2n+m個(gè)不同的ω-周期解. 證畢.

2例子

考慮具有捕獲項(xiàng)及Holling III型功能性反應(yīng)的一食餌兩捕食者系統(tǒng)：

(17)

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(責(zé)任編輯： 林曉)

Multiple positive periodic solutions of a nonautonomous Lotka-Volterra system with harvesting terms and Holling III functional response

GAO Gang, WEI Fengying

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou，F(xiàn)ujian 350116, China)

Abstract:We consider a nonautonomous Lotka-Volterra system with harvesting terms and Holling type III functional response in this contribution. By using of Mawhin’s continuation theorem of coincidence degree theory, we establish the existence of 2n+mpositive periodic solutions for the system. An example is given to illustrate the effectiveness of our results.

Keywords:positive periodic solutions； coincidence degree； harvesting terms； Holling III functional response； Lotka-Volterra system

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0315

文章編號：1000-2243(2016)03-0315-05

收稿日期:2013-09-30

通訊作者:魏鳳英(1976- )，教授，主要從事隨機(jī)微分方程與生物數(shù)學(xué)研究，weifengying@fzu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201075)； 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016J01015)

中圖分類號：O175

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A