基于Nussbaum增益方法的UUV路徑跟蹤控制

齊　雪，才治軍(.安徽科技學(xué)院　信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽　鳳陽　3300;.安徽科技學(xué)院　財經(jīng)學(xué)院，安徽　鳳陽　3300)

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基于Nussbaum增益方法的UUV路徑跟蹤控制

齊雪1，才治軍2
(1.安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽鳳陽233100;2.安徽科技學(xué)院財經(jīng)學(xué)院，安徽鳳陽233100)

摘要:研究有界控制輸入下欠驅(qū)動水下機器人(UUV)路徑跟蹤問題。UUV的水下運動通?？客七M器來實現(xiàn)，推進器所產(chǎn)生的推力大小受推進器形狀、電力、水流情況以及UUV外形所決定，并且推力大小有一定的變化范圍，這就要求對UUV進行控制器設(shè)計時要考慮控制的有界性這一限制。本實驗以UUV路徑跟蹤為控制目標，引入一個輔助系統(tǒng)和Nussbaum增益函數(shù)來解決控制輸入有界約束問題，其中輔助系統(tǒng)用來實現(xiàn)有界輸入控制設(shè)計問題，Nussbaum增益用來估計控制器未知參數(shù)。通過Lyapunov穩(wěn)定理論和仿真分析表明，所設(shè)計的控制器在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的同時能使系統(tǒng)的控制輸入增益始終保持在實際約束的范圍內(nèi)。

關(guān)鍵詞:欠驅(qū)動水下機器人;路徑跟蹤;有界控制; Nussbaum增益

欠驅(qū)動水下機器人(UUV)動力學(xué)系統(tǒng)中各自由度相互耦合，水動力系數(shù)受UUV自身運動和外界環(huán)境的影響而發(fā)生變化，所以UUV動態(tài)系統(tǒng)是一個復(fù)雜的非線性控制系統(tǒng)，對于此系統(tǒng)控制問題的研究具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。研究UUV在二維水平面內(nèi)的路徑跟蹤控制問題，不僅要求UUV路徑跟蹤精度達到要求的范圍，還要求UUV的運動時間符合任務(wù)的時間規(guī)劃需要［1］。這就需要同時考慮路徑跟蹤誤差系統(tǒng)和速度跟蹤誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題。

針對自治水下機器人采用Back stepping技術(shù)設(shè)計路徑跟蹤控制器［2］。此控制方法在保證路徑跟蹤精度的同時也能滿足時間上的要求，而且控制器不存在奇異問題，便于理論和工程上的應(yīng)用。通過采用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法進行自治水下機器人路徑跟蹤控制器設(shè)計，所設(shè)計的控制器對于系統(tǒng)模型參數(shù)不確定性和海流干擾有很強的魯棒性［3－5］。通過將動態(tài)補償器、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與魯棒控制相結(jié)合，提高了AUV在不確定環(huán)境中的路徑跟蹤能力［6－7］。通過采用虛擬向?qū)恳姆椒ǎ贚yapunov穩(wěn)定理論和后推法設(shè)計自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器，實現(xiàn)AUV路徑跟蹤控制［8－9］。通過針對欠驅(qū)動水下機器人三維空間路徑跟蹤控制問題采用反步法設(shè)計動力學(xué)控制器，通過合理的選擇控制器參數(shù)消除了部分非線性項，簡化了虛擬控制量的形式，避免了采用傳統(tǒng)反步法設(shè)計控制器時存在的奇異值問題［10］。

上述研究成果很少考慮控制輸入約束的問題，而實際上UUV的水下運動通?？客七M器來實現(xiàn)，推進器所產(chǎn)生的推力大小受推進器形狀、電力、水流情況以及UUV外形所決定，并且推力大小有一定的變化范圍。所以UUV的縱向控制力和艏搖控制力矩不能無限增大，它們的變化是嚴格限制在某一區(qū)間上的，即輸入量幅值約束。為了解決上述問題，基于Nussbaum增益方法設(shè)計了光滑有界的控制輸入。通過引入一個輔助系統(tǒng)和Nussbaum增益函數(shù)，將系統(tǒng)增加一維，解決系統(tǒng)輸入量幅值約束問題。另外，基于文獻［11－12］，采用虛擬向?qū)Ъ夹g(shù)在Serret－Frenet坐標系下建立誤差動態(tài)系統(tǒng)?；谝暰€角導(dǎo)航原理，設(shè)計虛擬控制量使UUV快速運動到目標路徑上。同時結(jié)合Back stepping控制技術(shù)設(shè)計有界控制輸入，從而實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)所有誤差信號最終有界。

1　問題描述

欠驅(qū)動水下機器人(UUV)在水平方向的運動控制，分別存在縱向作用力和艏搖方向控制力矩。

圖1　路徑跟蹤示意圖Fig.1 Path following reference frame for UUV

圖1為UUV二維水平面路徑跟蹤示意圖。{ U}、{ F}和{ B}分別代表慣性坐標系、Serret－Frenet坐標系和載體坐標系。P為期望路徑上任意一點，以P點的切線方向S1和垂線方向Y1為坐標軸建立{ F}坐標系。Q為UUV的重心，與體坐標系原點OB重合。［x，y，ψ］T表示Q在慣性坐標系{ U}中的位置和姿態(tài)向量。ψ為艏搖角，用來確定從{ B}到{ U}的轉(zhuǎn)換矩陣。［u，v，r］T為重心Q在{ B}中的線速度和角速度 向量，并且假設(shè)u≠0為合速度，當(dāng)UUV橫蕩速度v≠0時，在載體坐標系下，徑向方向u與合速度方向vt不一致，所以存在側(cè)漂角s1，y1分別表示P點與Q點間距離在PS1軸，PY1軸上的投影長度。ψw為合速度vt與x軸之間的夾角，且為合速度vt與PS1軸之間的夾角。

UUV二維水平運動方程為:

將UUV載體坐標系{ B}繞ZB軸旋轉(zhuǎn)角度β得到新的坐標系{ W}，在{ W}坐標系下，UUV水平運動學(xué)方程可以表示為:

合理忽略垂蕩、縱搖和橫搖運動后可以將UUV水平面運動和垂直面運動解耦［13］，此時，UUV水平動力學(xué)方程為:

其中，m為UUV質(zhì)量，X(·)，Y(·)和N(·)分別代表水動力系數(shù)，Iz為轉(zhuǎn)動慣量，Tx為控制力，MTz為控制力矩。

公式(3)－(5)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過引入新的符號可以將其結(jié)構(gòu)簡化為以下形式:

式中，

由于控制量Tx和MTz有界，即|Tx|＜TM，|MTz|＜MzM，TM＞0，MzM＞0.因此選擇如下的光滑函數(shù)作為控制量:

其中α1和α2是可設(shè)計的變量，其結(jié)構(gòu)形式將在后文給出。

后文推導(dǎo)將用到如下假設(shè):

假設(shè)1: gi(·)是緊集Ω上的光滑有界函數(shù)，即存在使得即函數(shù)gi(·)是嚴格為正或者為負的，在這里我們認為

假設(shè)2:存在正數(shù)gid＞0使得

下面給出控制器設(shè)計過程中將使用的定義和引理:

定義1:如果函數(shù)N(x)滿足如下條件，則稱N(x)為Nussbaum函數(shù):

Nussbaum函數(shù)具有無限增益和無限轉(zhuǎn)換頻率的特點［14］。具有此類性質(zhì)的函數(shù)如等.本文選用如下Nussbaum函數(shù):

引理1:令V(·)和χ(·)都是［0，tf)上的光滑函數(shù)，并且為Nussbaum函數(shù)。若滿足以下不等式:

其中c＞0，rχ＞0，ε0＞0，M為正常數(shù)，則V(·)和χ(·)在［0，tf)上一定有界。

2　UUV路徑跟蹤控制器設(shè)計

為了保證UUV在路徑跟蹤過程中同時滿足空間和時間的要求，結(jié)合圖1，UUV路徑跟蹤控制器必須實現(xiàn)以下兩個目標:

(I) UUV迅速運動到期望目標點，即控制實現(xiàn)UUV質(zhì)心Q與期望路徑上任意目標點P的距離為零，即，s1=0，y1=0 ;

(II) UUV沿著目標路徑運動，即控制實現(xiàn)UUV合速度vt與PS1軸的夾角為零，即ψe=0.

基于上述討論，需要建立相應(yīng)的誤差動力學(xué)系統(tǒng)，下面給出UUV在坐標系{ F}中的運動學(xué)模型:

其中cc(s)為期望路徑的曲率，s為期望路徑的參數(shù)變量。結(jié)合控制目標和模型(19)，對于給定的目標路徑和期望縱向速度ud＞umin＞0，需要設(shè)計虛擬控制律r和，使得y1，s1，ψe漸進趨于零。為了實現(xiàn)上述控制目標，選擇如下形式的視線角:

其中k0＞0，ε＞0均為視線角參數(shù)，為了保證視線角的存在，需要滿足不等式k20－4ε≤0.

圖2　曲線路徑跟蹤的視線角Fig.2　 Line of sight of curve path following

UUV路徑跟蹤控制器為(13)和(14)，其中，

期望控制輸入Txd和MTzd設(shè)計如下:

令控制輸入誤差為:

下面給出UUV路徑跟蹤控制問題的結(jié)論:

定理1:考慮UUV運動學(xué)模型(1)和動力學(xué)模型(6)，相應(yīng)的跟蹤路徑誤差模型(19)，利用視線角導(dǎo)航(20)，期望速度ud＞umin＞0.采用動力學(xué)控制律(13)，(14)，(21)－(32)，可使閉環(huán)系統(tǒng)所有誤差信號最終有界。

證明:第一步:選擇Lyapunov函數(shù)如下:

則Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算如下:

基于式(22)設(shè)計控制律為:

其中，k7＞0為控制器增益.則在此控制律作用下，Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有如下結(jié)果:

第二步:選擇新的Lyapunov函數(shù)如下:

則

其中，k8＞0為控制增益.使得

因此，(s1，y1) = (0，0)為系統(tǒng)平衡點。

第三步:對于r，定義虛擬控制律為

令ε1= r－r1為r的真實值和期望值之差，則

考慮總的Lyapunov函數(shù)為:

則

因為bi是隨αi變化的，i =1，2.因此選取Nussbaum函數(shù)N(χi)替代bi.將控制項(21)－(30)帶入(48)，得出如下不等式:

令不等式(49)在時間［0，t)上積分得:

系統(tǒng)滿足假設(shè)1－2和引理1，所設(shè)計的約束控制器能夠保證閉環(huán)誤差系統(tǒng)狀態(tài)收斂，即閉環(huán)系統(tǒng)所有誤差信號最終有界。

3　仿真分析

為了證明設(shè)計的控制器的有效性，本節(jié)基于INFANTE UUV進行了一些相關(guān)的數(shù)值仿真.所有仿真均基于MATLAB軟件平臺。下面給出INFANTE UUV動態(tài)系統(tǒng)相關(guān)參數(shù):

控制器參數(shù)選擇如下:

目標路徑方程為:

式中，

圖3為UUV路徑跟蹤示意圖，其中虛線為目標路徑，實線為UUV實際運動路徑。從圖3可以看出: UUV能夠在控制力和力矩的作用下運動到目標路徑點上，并能沿目標路徑運動。圖4為UUV跟蹤誤差［s1，y1，ψe］T示意圖。圖5為UUV速度［u，v，r］T曲線圖。由于S形曲線路徑最后趨于直線，因此橫蕩速度v和首搖角速度r均趨于零，縱蕩速度u趨于期望值ud=1m/s。圖6為UUV控制輸入［Tx，MTz］曲線圖。

圖3　UUV曲線路徑跟蹤圖Fig.3 Curve path following for UUV

圖4　UUV曲線路徑跟蹤誤差Fig.4 Curve path following errors for UUV

圖5　UUV曲線路徑跟蹤速度Fig.5　 Curve path following velocities for UUV

圖6　UUV曲線路徑跟蹤控制輸入Fig.6 Curve path following controllers for UUV

4　結(jié)論

本實驗研究了有界輸入限制下的UUV路徑跟蹤控制問題，給出了控制律光滑有界的設(shè)計方法，該方法的主要特點為:考慮了控制輸入有界的限制，選擇光滑有界函數(shù)設(shè)計控制器;對于控制器中的時變參數(shù)，選擇Nussbaum函數(shù)對其進行補償，使得控制輸入具備適定性;同時考慮了UUV路徑跟蹤在空間和時間上的要求，使得所設(shè)計的控制器同時滿足控制精度和時間約束的限制。

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(責(zé)任編輯:馬世堂)

Path following Control Based on Nussbaum Gain Method for Underactuated Underwater Vehicle

QI Xue1，CAI Zhi－jun2
(1.College of Information and Network Engineering，Anhui Science and Technology University，F(xiàn)engyang 233100，China;
2.College of Finance and Economics，Anhui Science and Technology University，F(xiàn)engyang 233100，China)

Abstract:Path following control problem of underactuated underwater vehicle (UUV) with bounded control input is studied in this paper.The underwater movement of UUV is usually achieved by the propeller.The thrust generated by the propeller is determined by the shape，power，water flow and UUV shape，and there is a certain extent of the thrust force，which is required to be considered in the UUV controller designing process.In this paper，based on the UUV path following control target，an auxiliary system and Nussbaum gain functions are proposed to overcome the problem of input constraint.Based on Lyapunov stability theorem and simulation analysis，the designed controller can keep the closed－loop system stable and make the system control input gain always stay within the scope of the actual constraints as well.

Key words:Underactuated underwater vehicle; Path following; Bounded control; Nussbaum gain

中圖分類號:TP242.6

文獻標識碼:A

文章編號:1673－8772(2016) 02－0051－08

收稿日期:2015－11－16

基金項目:安徽高校自然科學(xué)研究重點項目(KJ2016A174，KJ2015A242)。

作者簡介:齊雪(1981－)，女，黑龍江省牡丹江市人，博士，講師，主要從事非線性系統(tǒng)控制理論與應(yīng)用研究。