揚(yáng)線段圖形之帆啟應(yīng)用模型之航

徐玉宇

揚(yáng)線段圖形之帆啟應(yīng)用模型之航

徐玉宇

課標(biāo)提出：結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容采用“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的過(guò)程來(lái)進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)應(yīng)用首先要建立數(shù)學(xué)模型，將紛繁的現(xiàn)實(shí)情境用簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)，表示能力是培養(yǎng)應(yīng)用能力的關(guān)鍵之一。在這里，線段圖即為簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，它能把紛繁復(fù)雜的文字轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單易懂的圖形，借助線段圖，可以使學(xué)生進(jìn)行形象的思考、有條理的分析，更加容易建立基本應(yīng)用模型。

一、借助線段圖析關(guān)系

解決問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系各式各樣，如果要記住類型紛繁復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，容易造成學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)，套用公式，不利于學(xué)生靈活性思維的培養(yǎng)。而有了線段圖這樣的工具，能將復(fù)雜抽象的問(wèn)題，借助線段圖理解、分析數(shù)量關(guān)系，不至于簡(jiǎn)單機(jī)械地利用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題。只有在理解的基礎(chǔ)上，分析數(shù)量關(guān)系，學(xué)生才會(huì)明白解決問(wèn)題的真諦，同時(shí)經(jīng)常利用線段圖解決問(wèn)題，學(xué)生遇到復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，自然而然就借助線段圖幫助解決問(wèn)題。

例如：四年級(jí)下冊(cè)第一單元中有這樣的問(wèn)題：書架上有兩層書，共144本。如果從下層取出8本放到上層去，兩層書的本數(shù)就相同。書架上、下層各有多少本書？

對(duì)于這樣的問(wèn)題，很多學(xué)生束手無(wú)策，如果借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系，絕大多數(shù)學(xué)生都能解決這道問(wèn)題。

借助線段圖分析，學(xué)生可以列出先求上層（144-8×2）÷2= 64（本），再求下層144-64=80（本）；也可以列出先求下層（144+8×2）÷2=80（本），再求上層144-80=64（本）；還可以列出先求兩層同樣多的本數(shù)：144÷2=72（本），再求下層72+8= 80（本），那么72-8=64（本）為上層。結(jié)合線段圖不難理解各種數(shù)量之間的關(guān)系，又有利于拓展學(xué)生的思維。

如果經(jīng)常應(yīng)用線段圖分析類似問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，可以為學(xué)生在腦中構(gòu)建基本應(yīng)用模型奠定基礎(chǔ)，有了這種依托，在構(gòu)建某種模型時(shí)，教師稍作引導(dǎo)，學(xué)生更容易將這類復(fù)雜的問(wèn)題在腦中形成基本的應(yīng)用模型，以后遇到相似的問(wèn)題，就可以運(yùn)用這種基本應(yīng)用模型解決問(wèn)題。

二、借助線段圖明結(jié)構(gòu)

解決問(wèn)題不再按類型教學(xué)后，學(xué)生對(duì)“解決問(wèn)題”的基本結(jié)構(gòu)也很模糊。明確“解決問(wèn)題”的結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生建構(gòu)基本應(yīng)用模型，也更有利于學(xué)生更好地解決問(wèn)題。線段圖就是一種很好的媒介，借助它可以明確“解決問(wèn)題”的基本結(jié)構(gòu)，也更易于學(xué)生洞察結(jié)構(gòu)之間的變化，根據(jù)變化就可以對(duì)解題方案作出適當(dāng)調(diào)整，從而更順利解決問(wèn)題。

例如：像行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題就有很多類型。

（1）甲乙兩車從A、B兩地相向而行，甲車的速度為每小時(shí)80千米，乙車的速度為每小時(shí)70千米，3小時(shí)后兩車相遇。A、B兩地相距多少千米？

（2）甲乙兩車從某地出發(fā)，相背而行，甲車的速度為每小時(shí)80千米，乙車的速度為每小時(shí)70千米，3小時(shí)后兩車相距多少千米？

（3）甲乙兩車從某地出發(fā)，同向而行，甲車的速度為每小時(shí)80千米，乙車的速度為每小時(shí)70千米，3小時(shí)后兩車相距多少千米？

（4）甲乙兩車從A、B兩地相向而行，甲車的速度為每小時(shí)80千米，乙車的速度為每小時(shí)70千米，3小時(shí)后兩車還相差100千米才相遇。A、B兩地相距多少千米？

（5）甲乙兩車從A、B兩地相向而行，甲車的速度為每小時(shí)80千米，乙車的速度為每小時(shí)70千米，行了3小時(shí)，兩車相遇之后相差100千米。A、B兩地相距多少千米？

……

借助線段圖，學(xué)生不需要記憶這么多的“相遇問(wèn)題”，只要畫出線段圖，就可以明確變化多端的相遇問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，借助線段圖解決這些問(wèn)題。

有了線段圖的介入，對(duì)于其他變換多端的“解決問(wèn)題”的結(jié)構(gòu)，學(xué)生也不用機(jī)械記憶了，只要借助線段圖，就可以明確它們的結(jié)構(gòu)，多次熟悉這些結(jié)構(gòu)之后，學(xué)生會(huì)形成自己對(duì)基本結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，有利于基本應(yīng)用模型的建立，也更有助于解決問(wèn)題。

三、借助線段圖建模型

學(xué)生要解決內(nèi)容和形式各式各樣的問(wèn)題，可對(duì)一些基本和常態(tài)的問(wèn)題建立模型，依照模型解決問(wèn)題，更有益于學(xué)生判斷和分析基于基本應(yīng)用模型之上的各式各樣的“解決問(wèn)題”。借助線段圖，可以將各種類型的“解決問(wèn)題”進(jìn)行溝通，建立基本的模型。

例如：

方方有12本故事書，8本科技書。她共有幾本書？

方方原有12本故事書，又買來(lái)8本。她共有幾本書？

方方共有20本書，其中12本故事書。她有幾本科技書？

方方共有20本書，捐了12本，還剩幾本書？

方方共有20本書，捐了一些后，還剩12本書，她捐了幾本？

當(dāng)用線段圖表示這些問(wèn)題時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)都能用這樣的線段圖表示這些原型“解決問(wèn)題”：

又可以從線段圖中，清楚地將這些數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題歸結(jié)為兩類，求總數(shù)和求部分?jǐn)?shù)，使學(xué)生能將各種紛繁復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系歸成兩類基本模型，抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，有利于學(xué)生解決好問(wèn)題。

在建構(gòu)的這兩類基本模型之上，可以對(duì)基本模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?，拓展到分?jǐn)?shù)、小數(shù)的“解決問(wèn)題”；也可以通過(guò)條件的間接化，對(duì)“解決問(wèn)題”進(jìn)行拓展，拓展到多步的“解決問(wèn)題”。

例如對(duì)“方方有12本故事書，8本科技書。她共有幾本書？”拓展到：“方方有8本科技書，她又買了3次故事書，每次買了4本。她共有幾本書？”借助下面的線段圖分析：

可以知道求共有幾本書，就是把故事書與科技書合并，而故事書沒(méi)有直接說(shuō)幾本，那么首先要求出故事書的本數(shù)，基本模型還是把兩個(gè)部分?jǐn)?shù)進(jìn)行合并。對(duì)于這樣的求總數(shù)的基本模型，還可以進(jìn)行其他的拓展，借助線段圖，可以將各類“解決問(wèn)題”收于基本模型之下。對(duì)于其他的基本應(yīng)用模型也可以借鑒求總數(shù)，求部分的解決問(wèn)題方式進(jìn)行建構(gòu)。

雖然教材中線段圖出現(xiàn)的次數(shù)并不多，但作為一線教師卻要重視和加強(qiáng)線段圖輔助解決問(wèn)題的有關(guān)教學(xué)。在教學(xué)過(guò)程中，要注意循序漸進(jìn)，適當(dāng)運(yùn)用，把線段圖作為一種解決問(wèn)題的輔助策略教學(xué)，作為學(xué)生解決問(wèn)題的基本能力來(lái)培養(yǎng)，真正揚(yáng)起線段圖之帆，啟應(yīng)用模型之航，使線段圖真正成為學(xué)生解決問(wèn)題的好助手。

（作者單位：浙江省玉環(huán)縣古順學(xué)校 317604）

責(zé)任編輯：金錫萍