一個有限漸近擬非擴張映射族的收斂定理*

陳　明

(遵義師范學院 數(shù)學與計算科學學院，貴州 遵義 563002)

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一個有限漸近擬非擴張映射族的收斂定理*

陳明

(遵義師范學院 數(shù)學與計算科學學院，貴州 遵義 563002)

摘要:在一致凸的Banach空間中, 研究有限漸近擬非擴張映射族的Mann迭代和多步Ishikawa型迭代序列的收斂性, 并對一些已有的Mann迭代和多步Ishikawa型迭代序列進行進一步地推廣和統(tǒng)一. 在實數(shù)空間中, 構造一個非負實序列,使得這個非負實序列是收斂的, 從而利用這個非負實序列的收斂性證明該迭代序列在一定條件下強收斂到有限漸近擬非擴張映射族的公共不動點.

關鍵詞:Banach空間； 漸近非擴張映射； 漸近擬非擴張映射； Ishikawa型迭代序列

1引言

設K為Banach空間E的非空閉凸子集, T是 K上的一個自映射, F(T)為T的不動點集, 且F(T)≠?.

定義 1[1]映射T被稱為

在文獻[1-8]中,都在研究眾所周知的Mann迭代[3]xn+1=(1-αn)xn+αnTxn和修改后的Mann迭代[3]xn+1=(1-αn)xn+αnTnxn, n≥1.

文獻[14]研究了多步Ishikawa型迭代序列的收斂性，如式(1)

(1)

(2)

顯然, 當式(2)中 qi≡0和 Ti≡ T時, 即可以得到(1). 因此, 由(2)定義的序列 {xn}是文獻[14]中由式(1)定義的序列 {xn}的推廣.

在適當?shù)募僭O下, 本文證明了由(2)定義的序列{xn}強收斂到有限漸近擬非擴張映射族的公共不動點, 其結果對一些學者所研究的Mann迭代和多步 Ishikawa型迭代序列進行了統(tǒng)一和推廣[2,9-10,14].

2主要結果

引理 2[9]設p>1,r>0是兩個固定常數(shù),E是Banach空間，則E是一致凸的當且僅當存在一個連續(xù)的強增的凸函數(shù)g∶[0, ∞)→ [0, ∞),g(0)=0，使得對任意的x,y∈Br(0)={x∈E:‖x‖≤r}, 且λ∈[0,1], 有 ‖λx+(1-λ)y‖p≤λ‖x‖p+(1-λ)‖y‖p-ωp(λ)g(‖x-y‖) 成立, 其中ωp(λ)=λ(1-λ)p+(1-λ)λp.

引理 3設 {an}, {tn}和{ln} 3個非負實序列滿足條件

(3)

由式(3)有an+1≤tnan+lnan-q≤tnbn+lnbn≤(tn+ln) bn≤(1+cn)bn, n=q+1, q+2, …, 因此

現(xiàn)設 a>0, 如果序列{an}不收斂于a.由{bn} 的定義知, 對任意的n∈ N,有an0,對任意的j>0, 存在nj>j使得

(4)

(5)

由式(4)可知, 存在n0≥ Nε+2q+1(n0-q>Nε+q+1 ), 使得

(6)

由式(3), 式(5)和式(6)可知

(7)

進一步, 由式(7)推出

因此，可以證明

(8)

對任意的i=1,2,…,m-2, 由式(2)知

(9)

對 i=m-1, 有

(10)

由式(2)，式(9)和式(10)可得

(11)

由式(9)和式(10)知, 對任意的i=1,2,…,m-1, 有

另一方面, 由式(11)知

(12)

當i= 1,2, …, m-2時, 有

(13)

當i= m-1時, 有

(14)

由式(12)可得

(15)

(16)

當i= 1, 2,…, m-2時, 可推出

綜上所述, 當 i= 1,2,…, m-1, 推出

故

當 i=1, 2, …, m, 有

(17)

故當 i= 1,2,…,m時, 有

這表明

因此, {xn}是Cauchy序列. 又因為E是完備的, 從而{xn}在E中是收斂的.

若在定理1中取m=1, qi≡0和Tin≡ T, 將得到迭代序列(1)在漸近擬非擴張映射下的收斂定理.

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Convergence Theorem for a Finite Family of Asymptotically Nonexpansive Mappings

CHEN Ming

(School of Mathematics and Computational Science, Zunyi Normal College, Zunyi 563002, China)

Abstract:Finite asymptotically nonexpansive Mann iterative and multi-step Ishikawa type iterative sequence of convergentare are investigated in the uniformly convex Banach space, and some Mann iterations and multi-step Ishikawa type iterative sequences are popularized. In the real space, a convergent non-negative real sequence is constructed, and it’s convergent. Under certain conditions, the iterative sequence is proved that it converges strongly to the common fixed point of a finite family of asymptotically nonexpansive mappings.

Key words:Banach space; asymptotically nonexpansive mapping; asymptotically quasi-nonexpansive mapping; Ishikawa type iterative

文章編號:1673-3193(2016)02-0104-05

*收稿日期:2015-08-02

基金項目：貴州省科技廳自然科學基金(No.LKZS[2011]2117, No.LKZS[2012]11, No.LKZS[2012]12)

作者簡介：陳明(1961-)，男，副教授，主要從事函數(shù)論及概率論方面的研究.

中圖分類號:O173

文獻標識碼:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.02.002