變時滯隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制①

沈君,樓旭陽(江南大學 物聯(lián)網(wǎng)工程學院,無錫 214000)

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變時滯隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制①

沈君,樓旭陽
(江南大學 物聯(lián)網(wǎng)工程學院,無錫 214000)

摘 要:在實現(xiàn)實際的復(fù)雜人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及大規(guī)模集成電路時,隨機噪聲是不可避免的.因此,隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有重要的現(xiàn)實研究意義.針對變時滯隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制問題,基于非光滑分析以及集值映射、隨機微分包含的理論,利用Lyapunov函數(shù)和基本不等式的方法,設(shè)計了一個線性反饋控制器.通過恰當選擇控制器增益,實現(xiàn)了隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動系統(tǒng)與相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)之間的指數(shù)同步,所得到的結(jié)果保守性更小.最后,給出數(shù)值例子驗證了理論結(jié)果的有效性.

關(guān)鍵詞:隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò); 同步; 變時滯; Lyapunov函數(shù); 非光滑分析

1971年,美國華裔科學家蔡少棠[1]教授根據(jù)電路中的對稱性原理,首次發(fā)現(xiàn)了憶阻器(記憶電阻器的縮寫).2008年,惠普[2,3]團隊成功研制出了憶阻器這種器件.憶阻器是一種具有記憶功能的非線性電阻.它是繼電阻、電容、電感之后的第四種無源基本電路元件.近來,憶阻器也被應(yīng)用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

眾所周知,由于憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用,比如保密通信[4,5]和信息科學[6]等,因而憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是非常重要的非線性電路網(wǎng)絡(luò).近年來,憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)特性受到了很多學者的關(guān)注,尤其是同步性.2014年,Zhang和Shen[7]采用非光滑分析和控制理論,研究了基于周期間歇控制憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步; Chen和Zeng[8]利用 Lyapunov函數(shù)的方法分析了憶阻器分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和同步性; 2014年,Wu和Li[9]采用了Lyapunov函數(shù)方法和不等式技術(shù),研究了基于采樣數(shù)據(jù)控制的一類憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步; 最近,Shi和Zhu[10]研究了憶阻器競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步,通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)及采用微分包含理論,設(shè)計了一個線性反饋控制器.以上所提出并研究的憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型都是確定性的.但是,在實現(xiàn)實際的復(fù)雜人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型時,噪聲是不可避免的.因此將其考慮到模型中是必要的,隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有重要的現(xiàn)實研究意義.

近年來,對于隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究并不多.2013年,Li[11]等探討了隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性,采用Lyapunov函數(shù)和不等式的方法獲得了指數(shù)穩(wěn)定的三個充分條件.2015年,Song[12]等基于驅(qū)動-響應(yīng)概念和隨機微分包含理論,研究了混合時滯隨機憶阻器遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性.本文在前人研究隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學性能分析[11,12]的基礎(chǔ)上,基于非光滑分析和隨機微分包含的理論,對隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型作了描述,并研究了變時滯隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制.本文結(jié)果所需假設(shè)條件具有更少保守性.

1　模型描述與準備工作

考慮一個隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[12]:

其中,n表示隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的數(shù)量,xi表示與神經(jīng)元相關(guān)的變量(或者是電容ci的電壓).f( x(t))表示神經(jīng)元的激活函數(shù),tij(t)是變時滯.di(xi),aij( xi)和bij(xi)是反饋連接權(quán)重.作為一種特殊的情況,令閾值電壓為零.根據(jù)憶阻器的特點,權(quán)重系數(shù)可表示為:

w(t)=(w1(t),w2(t),...,wn(t))表示一個n維的向量布朗運動.w(t)是定義在帶有自然流{Ft}t30的一個完備概率空間{W,F,P}上的,也是定義在獨立的Markovian過程{g(t)}t30中.si(×)是非線性函數(shù).

值得注意的是,我們把模型(1)作為驅(qū)動系統(tǒng),相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為:

式中,yi也是表示神經(jīng)元相關(guān)的變量.將di( yi),aij( yi)和bij( yi)表示為:

本文的目的就是要設(shè)計一個合適的控制器.在該控制器的作用下,驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)漸近同步.考慮控制器ui(t)為狀態(tài)反饋控制器,它的形式為:

式中,誤差狀態(tài)ei(t)=yi(t)-xi(t),i,j= 1,2,...,n ,K1,K2為控制器增益.

本文中所有系統(tǒng)的解都是在Filippov的意義下.對于所有的連續(xù)函數(shù)C((-t,0),Rn),在Banach空間中,在這里?的凸面.還有.系統(tǒng)(1)帶有初值條件: x( s)=fi( s)?C([-t,0] ,Rn),i=1,2,...,n .

通過應(yīng)用微分包含和集值映射的理論,系統(tǒng)(1)可以描述為:

其中,

誤差系統(tǒng)為:

假設(shè)1.神經(jīng)元激活函數(shù)fi滿足Lipschitz條件,

其中: x≠y,ρi是非負常數(shù),i=1,2,...,n.

假設(shè)2.σi:R+×R×R→R是Lipschitz連續(xù)的.σi滿足利普希茨連續(xù)的條件,而且它的初值為σi(t,0,0)=0,因此得到:

其中:αi和βi是非負常數(shù),對于i=1,2,...,n .

如果存在常數(shù)a>0和l>0,使得系統(tǒng)(11)每一個解e(t,f)都滿足下面的條件,則系統(tǒng)(11)的平凡解為均方全局漸近穩(wěn)定.那么,所滿足的條件為:

引理1.如果假設(shè)1成立,則下面的不等式也成立:

yj(t)＞0且xj(t)＞0時,當xi(t)＜0＜yi(t)或yi(t)＜0＜xi(t)時,.同理,采用類似分析,不等式(ii)也成立.

2　主要結(jié)果

定理1.若假設(shè)1和假設(shè)2都成立,在狀態(tài)反饋控制(5)的作用下,且控制器增益K1,K2滿足下面的不等式:

那么驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)能夠?qū)崿F(xiàn)漸近同步,其中:μ是非負常數(shù).

證明: 選取Lyapunov函數(shù)為:

根據(jù)它的微分形式[15],V(e(t),t)的微分形式為:

也可以進一步改寫為:

其中

進一步地,由引理1得到:

進一步地,由(22)得到:

因此,由定義1得出,系統(tǒng)(7)與系統(tǒng)(9)能夠?qū)崿F(xiàn)漸近同步.證畢.

推論1.若假設(shè)1和假設(shè)2都滿足,在狀態(tài)反饋控制(5)的作用下,且控制器增益K1,K2滿足下面的

證明: 通過選取ai=1,bi=0,m=0,可以直接由定理1得到推論1.

注1.由于在實際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)的過程中往往會出現(xiàn)隨機擾動,因此系統(tǒng)難以維持同步現(xiàn)象.然而對于隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究并不多,本文在文獻[11-12]的基礎(chǔ)上,研究了變時滯隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性.

注2.文獻[11]主要采用隨機微分包含和Lyapunov函數(shù)方法來研究隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性; 文獻[12]則是基于驅(qū)動-響應(yīng)概念、隨機微分包含理論和Lyapunov函數(shù)方法研究了混合時滯隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性.本文在研究方法上不同之處在于基于非光滑分析結(jié)合微分包含理論來研究一類變時滯隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性,從而可以將憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值簡單化處理,為非線性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和線性系統(tǒng)之間搭建起橋梁作用,有利于研究憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)特性.

此外,本文引理1中的下述結(jié)論:

相比,本文引理1是證明所得結(jié)論,更容易滿足且容易驗證,而文獻[12]的條件是人為假設(shè)的,具有主觀性,只能在特定情況下滿足,因此本文引理1數(shù)學上更嚴格,具有更少保守性.

注3.本文中假設(shè)條件1滿足Lipschitz條件,與文獻[11]中的假設(shè)條件1相比,減小了保守性.

3　仿真結(jié)果

考慮下面的二維隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

其中:

選取a1=b1=0.8,a2=b2=0.7,t1(t)=exp(t)/(1+exp(t)),t2(t)=0.2-0.02* cos(t),r1=r2=1,m=1.08,選取神經(jīng)元的激活函數(shù)為: f1(x)=f2( x)=tanh (x).

在沒有引入控制器的前提下,圖1給出了e1(t)與e2(t)分別隨時間變化的曲線.圖1中顯示同步誤差沒有趨于零,表明驅(qū)動系統(tǒng)(23)與響應(yīng)系統(tǒng)(3)沒有實現(xiàn)漸近同步.

將控制器增益設(shè)計為K1=- 1,K2= 0.5.根據(jù)定理1,不等式(15)成立.在引入了狀態(tài)反饋控制器的前提下,圖2給出了e1(t)與e2(t)分別隨時間變化的曲線.從圖2中可以看出同步誤差趨于零,表明驅(qū)動系統(tǒng)(23)與響應(yīng)系統(tǒng)(3)實現(xiàn)漸近同步.

值得注意的是,在不等式(15)成立的前提下,當｜K1｜增大時,誤差e1→0與e2→0的速度變快,誤差更快地趨向于穩(wěn)定,驅(qū)動系統(tǒng)(23)與響應(yīng)系統(tǒng)(3)更快地實現(xiàn)同步; 當｜K2｜減小時,誤差e1與e2的波動會減小.

圖1　系統(tǒng)(11)在無控制器作用下的誤差　e1(t)與e2(t)

圖2　系統(tǒng)(11)在狀態(tài)反饋控制下的誤差　e1(t)與e2(t)

4　結(jié)語

本文研究了基于變時滯隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制問題,在文獻[7-12]的基礎(chǔ)上,首先基于非平滑分析和隨機微分包含的理論,采用了Lyapunov函數(shù)以及一些重要不等式的方法,得到的充分性判據(jù)使隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)漸近同步.本文減少了假設(shè)條件的限制,并且減小了假設(shè)條件的保守性.最后,仿真結(jié)果驗證了定理的有效性.今后,在此基礎(chǔ)上,可以繼續(xù)深入研究隨機憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在保密通信以及圖像處理領(lǐng)域的應(yīng)用.

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Synchronization Control of Stochastic Memristor-Based Neural Networks with Time-Varying Delays

SHEN Jun,LOU Xu-Yang
(School of IoT Engineering,Jiangnan University,Wuxi 214000,China)

Abstract:Stochastic noise is unavoidable in the implementation of real complex artificial neural network model and large scale integrated circuit.Therefore,the practical research significance of stochastic memristor-based neural network is important.Aiming at the problem of synchronization control of stochastic memristor-based neural networks with time-varying delays,based on non-smooth analysis and the theory of set-valued maps and stochastic differential inclusions,a novel control method is given using the method of Lyapunov functional and the fundamental inequality.State feedback controller has been put forward to achieve synchronization index for the drive system and corresponding response system of the stochastic memristor-based neural network.Meanwhile,a numerical example is given to verify the theoretical analysis in this paper.

Key words:stochastic memristor-based neural networks; synchronization; time-varying delays; Lyapunov functional; non-smooth analysis

收稿時間:①2015-08-01;收到修改稿時間:2015-09-28