找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，解題不重不漏

李秀真

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種重要的解題策略. 當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答. 分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏，包含各種情況.下面結(jié)合兩道中考?jí)狠S題講解分類討論思想.

例1 （2015·南通）已知拋物線y=x2-2mx+m2+m-1（m是常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，直線l：y=x-1.

（1） 求證：點(diǎn)P在直線l上；

（2） 當(dāng)m=-3時(shí)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，M是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，∠ACM=∠PAQ（如圖1），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3） 若以拋物線和直線l的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的m的值.

【思路突破】（1） 利用配方法得到y(tǒng)=（x-m）2+m-1，點(diǎn)P（m，m-1），然后判斷點(diǎn)P是否在直線l上即可；

（2） 先確定拋物線解析式，根據(jù)拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過(guò)解方程組求得Q、P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別過(guò)點(diǎn)P、點(diǎn)M作x軸和y軸的垂線構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，利用相似的性質(zhì)得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3） 通過(guò)解方程組得到點(diǎn)M、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到三角形三邊PQ、OQ和OP的長(zhǎng)，在三角形中只要有兩邊相等就可以判斷該三角形是等腰三角形，所以要對(duì)三種情況進(jìn)行分類討論：當(dāng)PQ=OQ時(shí)，當(dāng)PQ=OP時(shí)，當(dāng)OP=OQ時(shí)，最后分別解關(guān)于m的方程求出m即可.

【解答】（1） 證明：

∵y=x2-2mx+m2+m-1

=（x-m）2+m-1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m-1），

∵當(dāng)x=m時(shí)，y=x-1=m-1，

∴點(diǎn)P在直線l上.

（2） 當(dāng)m=-3時(shí)，拋物線解析式為y=x2+6x+5.

當(dāng)y=0時(shí)，x2+6x+5=0，解得x1=-1，x2=-5，

則A（-5，0），B（-1，0）；

當(dāng)x=0時(shí)，y=5，則C（0，5）.

聯(lián)立方程組y=x2+6x+5，y=x-1.

解之得x=-3，y=-4，或x=-2，y=-3.

∵P（-3，-4），∴Q（-2，-3）.

過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2所示，

整理得x2+4x=0，

解之得x1=0（舍去），x2=-4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，-3）.

（3） 聯(lián)立方程組y=x2-2mx+m2+m-1，y=x-1，

解得x=m+1，y=m，或x=m，y=m-1，

則P（m，m-1），Q（m+1，m），

∴PQ2=（m+1-m）2+（m-m+1）2=2，

OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，

OP2=m2+（m-1）2=2m2-2m+1.

①當(dāng)PQ=OQ時(shí)，2m2+2m+1=2，

解之得m=；

②當(dāng)PQ=OP時(shí)，2m2-2m+1=2，

解之得m=；

③當(dāng)OP=OQ時(shí)，

2m2+2m+1=2m2-2m+1，解得m=0.

綜上所述，m的值為0、時(shí)，△OPQ是等腰三角形.

【解后反思】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：二次函數(shù)圖像和一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離計(jì)算，利用相似比計(jì)算線段長(zhǎng)等，遇到等腰就想到分類討論思想是本題解答關(guān)鍵.

例2 （2015·泰州）已知一次函數(shù)y=2x-4的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在該函數(shù)圖像上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2.

（1） 當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求d1+d2的值；

（2） 直接寫出d1+d2的范圍，并求當(dāng)d1+d2=3時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3） 若在線段AB上存在無(wú)數(shù)個(gè)P點(diǎn)，使d1+ad2=4（a為常數(shù)），求a的值.

【思路突破】（1） 由一次函數(shù)解析式求出A與B的坐標(biāo)繼而求出AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2） 設(shè)P（m，2m-4），表示出d1+d2，分類討論m的范圍，根據(jù)d1+d2=3求出m的值；

（3） 設(shè)P（m，2m-4），利用絕對(duì)值的代數(shù)意義表示出d1與d2，代入d1+ad2=4，根據(jù)存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P求出a的值即可.

【解答】（1） A（2，0）、B（0，-4），P為AB的中點(diǎn)，

【解后反思】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，絕對(duì)值的代數(shù)意義以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì).熟練掌握絕對(duì)值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵.