歸納猜想的根本：從特殊到一般尋找規(guī)律

劉園園

歸納、猜想、推理在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用，因此在中考中頻頻出現(xiàn)此類考題. 歸納、猜想、推理是由特殊到一般的過程，因此解決此類題目應(yīng)細(xì)心觀察分析特殊情況下的結(jié)論，進(jìn)而尋找一般規(guī)律.

例1 （2014·淮安）如圖1，順次連接邊長為1的正方形ABCD四邊的中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，然后順次連接四邊形A1B1C1D1四邊的中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2，再順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點(diǎn)，得到四邊形A3B3C3D3，……，按此方法得到的四邊形A8B8C8D8的周長為_______.

【思路突破】順次連接正方形ABCD四邊中點(diǎn)得正方形A1B1C1D1，正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，根據(jù)面積關(guān)系可得周長關(guān)系，以此類推可得正方形A8B8C8D8的周長，進(jìn)而根據(jù)由特殊到一般的歸納方法，還可尋找到第n個正方形周長的一般結(jié)論.

解：順次連接正方形ABCD四邊的中點(diǎn)得正方形A1B1C1D1，則正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，則A1B1C1D1周長是ABCD周長的倍；順次連接正方形A1B1C1D1中點(diǎn)得正方形A2B2C2D2，則正方形A2B2C2D2的面積為正方形A1B1C1D1面積的一半，為正方形ABCD的，則A2B2C2D2的周長是ABCD的=2；同理，正方形A3B3C3D3的周長是正方形ABCD周長的3；……；故第n個正方形周長是原來的n.

∵正方形ABCD的邊長為1，

∴正方形ABCD周長為4，

∴按此方法得到的四邊形A8B8C8D8的周長為8×4=.

例2 （2015·常州）數(shù)學(xué)家哥德巴赫通過研究下面一系列等式，做出了一個著名的猜想.

4=2+2； 12=5+7；

6=3+3； 14=3+11=7+7；

8=3+5； 16=3+13=5+11；

10=3+7=5+5； 18=5+13=7+11；

…

通過這組等式，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是______

___________.（請用文字語言表達(dá)）

【思路突破】從題目中不難發(fā)現(xiàn)等式的左側(cè)是從4開始的連續(xù)偶數(shù)，即大于2 的偶數(shù)，右側(cè)則是兩數(shù)和的形式，關(guān)鍵是尋找兩數(shù)有何特點(diǎn)或者聯(lián)系，從而得到答案.

解：通過這組等式，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)的和.

【解后反思】尋找規(guī)律或總結(jié)規(guī)律的試題，要注意觀察相鄰兩項(xiàng)之間的變化：差值變化，形狀變化，大小變化等，再結(jié)合項(xiàng)數(shù)進(jìn)行比較，總結(jié)出相應(yīng)的表達(dá)式，即要充分理解運(yùn)用歸納思想的根本——由特殊情況的區(qū)別與聯(lián)系到一般結(jié)論的得出.

例3 （2015·安徽）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示這列數(shù)中的連續(xù)三個數(shù)，猜想x、y、z滿足的關(guān)系式是_______.

【思路突破】首先判斷出這列數(shù)中，2的指數(shù)各項(xiàng)依次為1，2，3，5，8，13，…，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是前兩數(shù)之和.然后根據(jù)同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可得這列數(shù)中的連續(xù)三個數(shù)，滿足xy=z，據(jù)此解答即可.

解：∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，

∴x、y、z滿足的關(guān)系式是：xy=z.

【解后反思】此題主要運(yùn)用歸納思想探尋數(shù)列規(guī)律問題，考查了同底數(shù)冪的乘法法則，要注意觀察并總結(jié)規(guī)律，還要能正確應(yīng)用規(guī)律. 解答此題的關(guān)鍵是先判斷出x、y、z的指數(shù)特征再探尋一般規(guī)律.

例4 （2014·鹽城）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x的圖像上，從左向右第3個正方形中的一個頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn的值為_____.（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）

【思路突破】根據(jù)函數(shù)解析式判斷出直線與x軸的夾角為45°，從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出正方形的邊長并得到變化規(guī)律，從而表示出第n個正方形的邊長，然后根據(jù)陰影部分的面積等于一個等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個直角三角形的面積，列等式求解并根據(jù)結(jié)果的規(guī)律解答即可.

解：∵函數(shù)y=x與x軸的夾角為45°，

∴直線y=x與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，

∵A（8，4），

∴第四個正方形的邊長為8=23，第三個正方形的邊長為4=22，第二個正方形的邊長為2=21，第一個正方形的邊長為1=20，第n個正方形的邊長為2n-1，由圖可知，

【解后反思】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出陰影Sn所在的正方形和正方形的邊長.

歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重，這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征或發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去估計(jì)規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實(shí)情況相對應(yīng).