END序列的完全收斂性：任意階矩存在的情形*

陳傳勇

(仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510225)

END序列的完全收斂性：任意階矩存在的情形*

陳傳勇

(仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510225)

對(duì)隨機(jī)變量部分和的尾概率估計(jì)問題一直是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)重要課題。在任意階矩存在但矩母函數(shù)不存在條件下，利用截尾技術(shù)及指數(shù)不等式，獲得了同分布END序列的完全收斂性，推廣并改進(jìn)了Gut和Stadtmuller得到的有關(guān)結(jié)果。

END序列；完全收斂性

設(shè){X,Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，如果

(1)

1947年Hsu和Robbins證明了下面著名的完全收斂性結(jié)果

(2)

并且(1)式還是(2)式成立的必要條件。1965年Baum和Katz推廣了這一結(jié)果。下面是Baum和Katz結(jié)果的特殊形式。

(3)

在指數(shù)階存在的條件下，Lanzinger[1]獲得了如下的結(jié)果。

(4)

最近Gut等[2]獲得了介于定理1與定理2之間的結(jié)果。

定理3 假設(shè)α>1，而且{X,Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若EX=0以及Eexp{(log|X|)α}<∞，則

(5)

此外及后文，均設(shè)logx=max{1,lnx}，其中l(wèi)nx是自然對(duì)數(shù)，反之，如果(5)式對(duì)某ε>0成立，則對(duì)任意δ>0有Eexp{(1-δ)(log|X|α}<∞。

定理1-3深刻提示了收斂速度與矩之間的關(guān)系，因此將這些結(jié)果推廣到非獨(dú)立情形是有意義的。本文的目的就是把定理3推廣到END隨機(jī)變量序列情形，不但如此，還將得到比(5)式更精細(xì)的結(jié)果。

1 概念及主要結(jié)果

我們先來介紹有關(guān)概念。

定義1 稱隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是END(extendednegativelydependent)的，如果存在常數(shù)M>0，使對(duì)任意n≥2，任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn有

及

其中，稱常數(shù)M為控制常數(shù)。

END這一概論是由Liu[4]引入的，當(dāng)控制常數(shù)M=1時(shí)，END隨機(jī)變量序列就成為了眾所周知的NOD(negativelyorthantdepedent)隨機(jī)變量序列，NOD是由Lehmann引入的，并對(duì)其性質(zhì)作了一系列的探討。后來，Liu[5]又指出END是真包含NOD的，即存在一種END序列不是NOD的。到目前為止，END已經(jīng)引起了不少作者的研究興趣，如對(duì)具有重尾的END隨機(jī)變量序列，Liu[6]獲得了其精細(xì)偏差結(jié)果，研究了中偏差成立的充分必要性結(jié)果，Wu等[7]研究了完全收斂性結(jié)果，陳傳勇[8]研究了相關(guān)的概率不等式及其應(yīng)用，等等。

下面來介紹本文的主要結(jié)果，必要的引理及定理的證明放到第2節(jié)。

(6)

注1 容易看出，如果(6) 式成立，則對(duì)任意ε>1，(5)式成立。又因?yàn)楠?dú)立序列是END的，因此本文獲得的結(jié)果比Gut和Stadtmuller的更好。

在獨(dú)立情形下上式是定理1的特別形式，當(dāng)0<α<1時(shí)，容易看出

因此(6)式總成立。這就是為什么在定理4中只討論α>1的原因。

注3 定理4中的條件EX=0不是本質(zhì)的，如設(shè)X=0.5，則P{|Sn|>n}=0，從而(6)式成立，但EX=0.5≠0。

注4 由于NA序列是NOD的，NOD序列是END的，因此定理4對(duì)NA序列和NOD序列也同樣成立。

本文約定，C總代表正常數(shù)，在不同的地方可以代表不同的值。

2 引理及主要結(jié)果的證明

定理的證明需要下面的引理。

引理1[4]

(i) 設(shè)X1,X2,…,Xn是END序列，f1,f2,…,fn全部是單調(diào)增(或單調(diào)減)函數(shù)，則f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)是END的，且有相同的控制常數(shù)。

引理2 設(shè)X是隨機(jī)變量序列滿足X≤1a.s.，則

Eexp(X)≤exp(EX+EX2)

引理2的證明可參考Stout在1974年的著作《Almost sure convergence》。

引理3 設(shè){Xk,1≤k≤n}是END的，其控制常數(shù)為M，若對(duì)任意1≤k≤n,有EXk=0及P{|Xk|≤b}=1，則對(duì)任意x>0，有

證明 由Markov不等式，引理1及引理2有

同理可得

因此引理得證。

定理4的證明 設(shè)非負(fù)常數(shù)M為END序列{Xn,n≥1}的控制常數(shù)，對(duì)n≥1，記

對(duì)任意n≥1,1≤k≤n，定義

注意到

因此有

I1+I2+I3

注意到EX=0,EX2<∞，由Markov不等式，當(dāng)n→∞時(shí)有

于是有

注意到當(dāng)n足夠大后有

于是有

這就完成了定理的證明。

[1]LANZINGERH.ABaum-katztheoremforrandomvariablesunderexponentialmomentconditions[J].StatistProbabLett, 1998, 39: 89-95.

[2]GUTA,STADTMULLERU.AnintermediateBaum-Katztheorem[J].StatistProbabLett, 2011, 81: 1486-192.

[3]QIUDH,CHENP.Completemomentconvergencefori.i.d.randomvariables[J].StatistProbabLett, 2014, 91: 76-82.

[4]LIUL.Preciselargedeviationsfordependentrandomvariableswithheavytails[J].StatistProbabLett, 2009, 79: 1290-1298.

[5]LIUL.Necessaryandsufficientconditionsformoderatedeviationsofdependentrandomvariableswithheavytails[J].SciChinaMath, 2010, 53: 1421-1434.

[6]QIUDH,CHENP,ANTONINIRG,etal.Onthecompleteconvergenceforarraysofrowwiseextendednegativelydependentrandomvariables[J].JKoreanMathSoc, 2013, 50: 379-392.

[7]WUYF,GUANM.ConvergencepropertiesofthepartialsumsforsequencesofENDrandomvariables[J].JKoreanMathSoc, 2012, 49:1097-1110.

[8] 陳傳勇.關(guān)于任意同分布隨機(jī)變量序列最大值不等式及應(yīng)用[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2015, 54(2): 59-61.

Complete convergence for END: all moments exist

CHENChuanyong

(College of Computation Science, Zhongkai University of Agriculture and Engineering,Guangzhou 510225, China)

It is always an important topic in probability theory and mathematical statistics to estimate the tail probability of random variables. By using truncation technique and exponential inequality, the complete convergence is obtained for END random variables with all moments exist, but the moment generating function does not exist. The main result extends the related work due to Gut and Stadtmuller.

END sequence; complete convergence

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.02.003

2015-11-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374067)

陳傳勇(1976年生)，男；研究方向：概論論、隨機(jī)過程、數(shù)理統(tǒng)計(jì);E-mail:olive_001@163.com

O

A

0529-6579(2016)02-0014-04