移動機械臂的協(xié)調(diào)運動方案設計及驗證*

肖 林，周文輝

(吉首大學信息科學與工程學院，湖南 吉首 416000)

移動機械臂的協(xié)調(diào)運動方案設計及驗證*

肖 林，周文輝

(吉首大學信息科學與工程學院，湖南 吉首 416000)

移動機械臂是由一個移動平臺和一個固定在其上面的機械臂組成。為了能實現(xiàn)對移動機械臂的協(xié)調(diào)控制，移動平臺和機械臂不得不同時完成任務。通過對移動機械臂的運動學建模分析，提出了一個基于最小速度范數(shù)的協(xié)調(diào)運動方案。該方案不僅可以實現(xiàn)對移動平臺的運動控制，而且可以對機械臂同時進行協(xié)調(diào)控制。此外，協(xié)調(diào)運動方案可以等效的轉(zhuǎn)換為一個標準二次規(guī)劃問題，進而可以開發(fā)出一個有效的數(shù)值算法去求解。最后，移動機械臂去執(zhí)行一個圓形路徑，對應的仿真結(jié)果驗證了協(xié)調(diào)運動方案的有效性。

移動機械臂；二次規(guī)劃；協(xié)調(diào)運動；數(shù)值算法

20世紀以來, 隨著自動化技術(shù)的成熟和發(fā)展, 機器人作為一種復雜和先進的機電系統(tǒng)出現(xiàn)在生產(chǎn)與科研等多個方面[1-2]?？刂茩C器人的一個基礎問題是實時的冗余度解析問題(或稱實時運動規(guī)劃)；即，給出機器人末端執(zhí)行器的運動軌跡，如何實時地得到各關(guān)節(jié)的變化情況[1-6]。在過去30年里，科研工作者提出了各種計算方案來實現(xiàn)機器人的冗余度解析。而且，通過適當?shù)厍蠼馊哂喽冉馕鰡栴}，機器人在執(zhí)行給定的末端執(zhí)行器任務時，就可以躲避環(huán)境障礙物、關(guān)節(jié)的物理極限和關(guān)節(jié)奇異等[3-4]。

移動機械臂，作為智能機器人的一種，在軍事、工業(yè)和服務等領域已經(jīng)得到了實際應用[3,5]。和固定機械臂相比，移動機械臂擁有更大的移動范圍以及更強的作業(yè)能力，因此得到了廣泛的關(guān)注。然而，移動平臺和冗余機械臂之間的組合也帶來了一些新的困難：怎么樣同時協(xié)調(diào)控制移動平臺和機械臂的運動？就一般規(guī)劃方案而言，要么是先控制移動平臺的運動，后控制機械臂的運動；要么是先控制機械臂的運動，后控制移動平臺的運動，從而無法對移動平臺和機械臂同時進行協(xié)調(diào)控制[3]。Cheng等[7]在動力學環(huán)境不確定情況下，實現(xiàn)了對輪式移動機械臂的智能控制算法。Tang等[8]對輪式移動機械臂的規(guī)劃和控制提出了基于微分平滑理論和實驗。Xu等[9]對全方位的輪式移動機械臂的軌跡追蹤控制提出了基于魯棒神經(jīng)網(wǎng)絡的滑動模態(tài)方法。Andaluz等[10]針對輪式移動機械臂的視覺反饋控制提出了動力學補充方法，并分析了相關(guān)增益性能。Wang等[11]針對不確定約束下的非完整移動機械臂的控制提出了一套自適應遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡方法。Xiao和Zhang[12-13]分別針對六連桿機械臂和輪式移動機械臂提出了加速度重復運動方案和逆運動學求解方案，并對相應的神經(jīng)網(wǎng)絡求解器進行了理論分析。

本文設計的移動機械臂協(xié)調(diào)運動方案就是對移動平臺和機械臂同時進行協(xié)調(diào)控制運動，從而使得移動機械臂更加有效地完成給定的末端任務。

1 運動學建模分析

讓我們考慮一個輪式移動機械臂，它由一個輪式移動平臺和一個空間六自由度機械臂組成[2-3]。為了完備性，圖1給出了輪式移動平臺的運動學分析模型。在本節(jié)中，將先分析了移動平臺的運動學建模，然后直接給出空間機械臂的運動學方程，最后，將機械臂與移動平臺的運動學方程進行聯(lián)合統(tǒng)一，最終得到該輪式移動機械臂的運動學模型。

1.1 移動平臺的運動學建模

在本文中，我們是在非完整性約束性條件下建立移動平臺的數(shù)學模型[4-6]。為了更好的理解，如圖1所示，我們在建模的過程中使用了以下這些符號。

Po：兩個驅(qū)動輪軸的中點，它的三維坐標是(xo,yo,zo)；

Pc：機械臂和移動平臺的連接點，它的三維坐標是(xc,yc,zc)；其中zc=0；

d：點P0和點Pc之間的距離；

a：驅(qū)動輪到點P0的距離；

r：驅(qū)動輪的半徑；

Q：一個假設點，移動平臺圍繞它轉(zhuǎn)動；

圖1 移動平臺運動模型Fig.1 Kinematic model of the mobile platform

值得指出的是，移動平臺和機械臂的每個連桿都可以看做剛體，且移動平臺只在XOY平面運動。所以，在移動平臺沒有側(cè)滑的條件下，左右輪的的速度方向?qū)栏窈万?qū)動輪軸方向垂直。然后根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，可以得到：

(1)

(2)

通過聯(lián)合方程(1)和(2)，我們可以得到如下表達式：

(3)

(4)

1.2 六自由度機械臂的運動學建模

對于一個固定機械臂，可以直接建立一個關(guān)于XCYCZC坐標系的前向運動學模型，即關(guān)節(jié)空間向量φ∈Rn和末端執(zhí)行器位置向量rb∈Rm的一個轉(zhuǎn)換關(guān)系：

其中f(φ)是一個可微的非線性函數(shù)。而且，對于一個給定的機械臂，它的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是已知的。在本文研究的空間六自由度機械臂的D-H參數(shù)[3-6]如表1所示，由此可以得到空間六自由度機械臂的具體運動學方程如下：

l43s32c1+l2s2c1

l65(c5s32s1-s5c4c32s1-s5s4s1)+

l43s32s1+l2s2s1

(5)

其中l(wèi)i表示第i個連桿的長度，ci=cosφi，si=sinφi，i=1,2,3,…6，s32=sin(φ3+φ2)，c32=cos(φ3+φ2)，l0表示第一個關(guān)節(jié)離移動平臺底部的高度，l65=l6+l5，和l43=l4+l3。在該機械臂中，參數(shù)l0=0.698 m，l1=0.065 m，l2=0.555 m，l3=0.190 m，l4=0.130 m，l5=0.082 m，l6=0.133 m。

表1 空間六自由度機械臂的D-H參數(shù)表

1.3 移動機械臂的集成運動學建模

在這一節(jié)中，我們將在移動平臺和空間六自由度機械臂與的運動學建模的基礎上，建立移動機械臂的集成運動學模型。首先，對于移動機械臂而言，末端執(zhí)行器的運動是相對于世界坐標系的，而不是基坐標系(即XCYCZC坐標系)，因此通過采用一個從基坐標系到世界坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣，將得到基于世界坐標系的移動機械臂集成運動學關(guān)系[14-15]：

(6)

其中從基坐標系到世界坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣為

注意上式方程是移動機械臂基于世界坐標系在位置層的運動學模型，而通過對方程(6)求其時間導數(shù)，我們將得到移動機械臂在速度層的集成運動學模型

(7)

(8)

(9)

其中I表示單位矩陣，增廣矩陣K定義如下：

通過以上轉(zhuǎn)換，我們最終得到輪式移動機械臂在速度層上的統(tǒng)一運動學模型(9)。

2 協(xié)調(diào)運動方案設計

對于移動機械臂，我們不僅要考慮機械臂的物理極限約束，也要考慮移動平臺帶來的影響。為了能實現(xiàn)在有物理約束的移動機械臂進行協(xié)調(diào)運動，我們將把機械臂的關(guān)節(jié)速度變量和移動平臺左右輪的旋轉(zhuǎn)速度變量作為一個整體變量，從而設計得到一個基于最小速度范數(shù)的二次性能指標。最后，通過聯(lián)合性能指標、物理約束以及移動機械臂的集成運動學方程，提出一個能實現(xiàn)移動機械臂協(xié)調(diào)運動的方案。

2.1 協(xié)調(diào)運動方案

基于以上考慮，利用二次規(guī)劃的描述，我們設計了如下的協(xié)調(diào)運動方案：

(10)

(11)

q-≤q≤q+

(12)

(13)

(14)

(15)

其中?-和?+的第i個元素分別定義為(i=1,2,3,,…，n+2):

最小化xTWx/2

(16)

(17)

?-≤x≤?+

(18)

2.2 數(shù)值算法

當我們把實現(xiàn)移動機械臂的協(xié)調(diào)運動運動方案(10)-(13)重新表述為標準的二次規(guī)劃(16)-(18)后，我們將開發(fā)和使用一個數(shù)值算法來求解我們的協(xié)調(diào)運動方案(10)-(13)。

首先，從文獻[2-3]得知，標準的二次規(guī)劃(10)-(13)可以等效于如下的成線性投影方程：

(19)

其中PΩ(·):RN→Ω定義為從空間RN到集合Ω的一個分段線性投影算子，其它的參數(shù)定義如下：

接下來，為了求解線性投影方程(19)以及二次規(guī)劃問題(10)-(13)，我們定義一個向量取值的誤差函數(shù)：

(20)

顯然，求解投影方程(19)就等效于找到方程(20)的一個零點。

3 仿真驗證

在這一小節(jié)中，移動機械臂的末端執(zhí)行器去跟蹤一個半徑為0.3m的圓形路徑，以此來驗證協(xié)調(diào)運動方案(16)-(18)的有效性。在仿真過程中，迭代公式(21)的最大誤差容限設置為1.0×10-5，任務執(zhí)行時間T=5s。對應的仿真結(jié)果分別如下圖2-5所示。

圖2展示了在整個跟蹤過程中移動機械臂的運動軌跡。圖3從俯視的角度更加直觀的顯示了移動機械臂的運動過程。從圖2到圖3可以得知，移動機械臂在完成圓形任務跟蹤的過程中，結(jié)束狀態(tài)和初始狀態(tài)幾乎重合，實現(xiàn)了最小能量消耗，而且在整個跟蹤過程當中，移動平臺和機械臂一直在協(xié)調(diào)運動。圖4進一步展示了期望的圓形路徑和對應的跟蹤軌跡，從圖中可以看出，實際的跟蹤軌跡幾乎已經(jīng)和期望的圓形路徑重合。

圖2 移動機械臂的仿真運動軌跡Fig.2 Simulative motion trajectory of mobile manipulator

圖3 移動機械臂的運動軌跡俯視圖Fig.3 Top view of motion trajectories of the mobile manipulator

圖4 期望的圓形路徑和仿真的跟蹤軌跡Fig.4 Desired circular path and simulative tracking trajectory

圖5 對應的跟蹤位置誤差Fig.5 Corresponding tracking position error profiles

而且圖5顯示了它們之間的位置誤差e=rw-g(φ,φ)-[xc,yc,0]T，其中eX、eY以及eZ分別代表e的X軸、Y軸以及Z軸分量。如圖5所示，跟蹤位置誤差的X軸、Y軸以及Z軸分量都小于2×10-5m?？傊@些結(jié)果都證實了協(xié)調(diào)運動方案的有效性以及高精度型。

4 結(jié) 論

通過分別對移動平臺和機械臂的運動學分析，建立了移動機械臂的統(tǒng)一運動學方程。在此基礎上，提出了基于最小速度范數(shù)的協(xié)調(diào)運動方案。而且，開發(fā)了一個比較有效的數(shù)值算法去求解標準的二次規(guī)劃問題。最后基于輪式移動機械臂的末端執(zhí)行器期望去跟蹤一個圓形路徑，驗證了協(xié)調(diào)運動方案的可行性、有效性和高精度性。

[1] 歐陽帆．雙機器人協(xié)調(diào)運動方法的研究[D]. 廣州:華南理工大學, 2013.

[2] 張雨濃，譚志國，楊智，等.基于二次型規(guī)劃的平面冗余機械臂的自運動[J].機器人,2008,30(6):566-571.

[3]XIAOL,ZHANGYN.Anewperformanceindexforrepetitivemotionofmobilemanipulators[J].IEEETransactionsonCybernetics, 2014, 44(2): 280-292.

[4] 鄭秀娟．移動機械臂的運動控制與軌跡規(guī)劃算法研究[D]. 武漢:武漢科技大學, 2012.

[5] 郭秉華.六自由度空間柔性機械臂的動力學分析與控制[D]. 北京:北京郵電大學,2009.

[6] 鄧雅.空間機械臂建模及軌跡跟蹤控制方法研究[D]. 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學, 2013.

[7]CHENGM,SUW,TSAIC,etal.Intelligenttrackingcontrolofadual-armwheeledmobilemanipulatorwithdynamicuncertainties[J].InternationalJournalofRobustandNonlinearControl, 2013, 23(8): 839-857.

[8]TANGCP,MILLERPT,KROVIVN,etal.Differentialflatnessbasedplanningandcontrolofawheeledmobilemanipulator:Theoryandexperiment[J].IEEE/ASMETransactionsonMechatronics, 2011, 16(4): 768-773.

[9]XUD,ZHAOD,YIJ,etal.Trajectorytrackingcontrolofomnidirectionalwheeledmobilemanipulators:robustneuralnetwork-basedslidingmodeapproach[J].IEEETransactionsonSystems,Man,andCybernetics(PartB):Cybernetics, 2009, 39(3): 788-799.

[10]ANDALUZVH,ROBERTIF,SALINASL,etal.Passivity-basedvisualfeedbackcontrolwithdynamiccompensationofmobilemanipulators:StabilityandL2-gainperformanceanalysis[J].RoboticsandAutonomousSystems, 2015, 66: 64-74.

[11]WANGZ,ZHOUT,MAOY,etal.Adaptiverecurrentneuralnetworkcontrolofuncertainconstrainednonholonomicmobilemanipulators[J].InternationalJournalofSystemsScience, 2014, 45(2): 133-144.

[12]XIAOL,ZHANGY.Solvingtime-varyinginversekinematicsproblemofwheeledmobilemanipulatorsusingZhangneuralnetworkwithexponentialconvergence[J].NonlinearDynamics, 2014, 76(2): 1543-1559.

[13]XIAOL,ZHANGY.Acceleration-levelrepetitivemotionplanninganditsexperimentalverificationonasix-linkplanarrobotmanipulator[J].IEEETransactionsonControlSystemsTechnology, 2013, 21(3): 906-914.

[14] 翁軒，楊龍剛，劉嶼，等. 具有邊界擾動柔性機械臂的魯棒自適應邊界控制[J]. 中山大學學報(自然科學版), 2015, 54(3): 44-50.

[15] 黃震，羅中良，黃時慰. 一種帶時間窗車輛路徑問題的混合蟻群算法[J]. 中山大學學報(自然科學版), 2015, 54(1): 41-46.

[16] 張雨濃，王茹，勞穩(wěn)超，等. 符號函數(shù)激勵的WASD神經(jīng)網(wǎng)絡與XOR應用[J]. 中山大學學報(自然科學版), 2014, 53(1): 1-7.

Design and verification of coordinated motion scheme for mobile manipulators

XIAOLin，ZHOUWenhui

(School of Information Science and Engineering, Jishou University, Jishou 416000, China)

A mobile manipulator is composed of a mobile platform and a stationary manipulator fixed to the platform. In order to achieve the coordinated motion control of mobile manipulators, the mobile platform and the manipulator have to fulfill tasks simultaneously. According to the analysis of kinematics for the mobile manipulator, a coordinated motion scheme based on the minimum velocity norm is proposed and investigated. Such a scheme can not only control the motion of the mobile platform, but also coordinate the manipulator to complete tasks simultaneously. Besides, the coordinated motion scheme can be converted equivalently to a standard quadratic program, which can be solved by an effective numerical algorithm. Finally, the mobile manipulator is applied to perform a circular path and the corresponding simulative results validate the effectiveness of the coordinated motion scheme.

mobile manipulator；quadratic programming；coordinated motion；numerical algorithm

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.02.010

2015-03-01

國家自然科學基金資助項目(61503152, 61563017, 61561022, 61363073, 61363033)；湖南省教育廳優(yōu)秀青年資助項目(15B192)；吉首大學2015年實驗室開放基金資助項目(JDLF2015013)；吉首大學2015年校級課題資助項目(15JDX020)；吉首大學2015年大學生研究性學習和創(chuàng)新性實驗計劃資助項目

肖林(1986年生)，男；研究方向：機器人和神經(jīng)網(wǎng)絡;E-mail:xiaolin860728@163.com

TP24

A

0529-6579(2016)02-0052-06