數(shù)學建模在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中的應用

李小襯

摘 要 本文介紹了將數(shù)學建模思想融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學中的必要性，并以貝葉斯公式應用、正太分布應用以及參數(shù)估計應用為例說明了數(shù)學建模在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學中的應用。最后結(jié)合近幾年教學經(jīng)驗，提出了把數(shù)學建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學過程中應注意的幾個問題。

關(guān)鍵詞 數(shù)學建模 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 應用

中圖分類號： 文獻標識碼：A

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是理工科專業(yè)的一門公共基礎課。隨著科學技術(shù)的發(fā)展，它的理論和方法在醫(yī)學、經(jīng)濟、管理、生物等方面都有廣泛應用。它的重要性已被越來越多的人所認識。但是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中的方法和理論都是抽象的，理解和應用起來都比較困難，如果在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學過程中加入數(shù)學建模思想，不僅有利于激發(fā)學生學習的興趣，還有利于幫助學生理解課本中抽象的理論和方法。

1數(shù)學建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學中的必要性

數(shù)學建模主要包括兩個方面：一是將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型；二是對數(shù)學模型分析和求解。下圖為建立數(shù)學模型的示意圖

數(shù)學建模是連接數(shù)學和現(xiàn)實問題的橋梁，它的作用在工程界越來越被重視，把數(shù)學建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學中是當今大學數(shù)學教學改革的主流。傳統(tǒng)的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學基本上是純理論知識的傳授，學生在學習過程中，所掌握的基本上都是理論的推導和計算，無法和實際問題聯(lián)系在一起，這不利于學生應用能力的培養(yǎng)。如果在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學過程中加入數(shù)學建模思想，教會學生如何把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，用已有的數(shù)學知識去解決，則學生在今后的學習中就可以利用已有的數(shù)學思想去解決生活中遇到的疑難問題。所以將數(shù)學建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學中是很有必要的。

1.1加強學生“用數(shù)學”的教育

在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學中，把概率論中的理論知識融入到案例中，把現(xiàn)實中的案例，通過數(shù)學建模，轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題，從分析以及求解模型的過程中，教會學生所應掌握的理論知識。這不但提高了學生學習的積極性還培養(yǎng)了學生的應用能力。這在學生以后的學習和生活中，都有極大的幫助。并且在教會學生理論知識的過程中，也訓練了學生的實際應用能力。

1.2提高學生查找資料以及團隊合作等方面能力

目前各大高校都在提倡案例教學，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中要進行案例教學，就要把講授的知識穿插在案例中。一般教師要提前一周把案例發(fā)給學生，讓學生利用課余時間查找相關(guān)資料，學生在查找資料的過程中，或多或少地都從中學到一些知識。在案例教學中，教師首先要給學生分組，便于案例教學順利高效的進行。學生在上課之前，上交本組解決方案。學生在做這個方案的過程中，會和組內(nèi)成員相互討論，通過討論，不但可以提高學生應用概率中知識解決實際問題的能力，還可以提高學生團隊合作能力。

2數(shù)學建模在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中應用舉例

案例1：貝葉斯公式應用

近幾年關(guān)于冤獄的事件時有報道。比如2014年5月，媒體曝光了安徽省某村民未通過測謊儀測試而蹲七年冤獄，還有最近云南省最高法院改判的錢仁鳳案。這些冤案都給個人和家庭帶來了巨大的傷害。警察在審犯人時，為了辨認犯人所說是否真實，就會用測謊儀來測試。那問題就來了：測謊儀測試結(jié)果是否可以作為審判的證據(jù)呢？

測謊問題背景：測謊儀根據(jù)記錄一個人被提問時的應激生理改變，來判斷他是否說謊的儀器。一般用于犯人審查、部隊征兵等領(lǐng)域。

問題：測謊儀測試結(jié)果若為說謊，則被測試者一定說謊嗎？測謊結(jié)果是否適合作為審查證據(jù)？

建模：設事件A表示測試結(jié)果為說謊，事件B表示被測對象確實在說謊。根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計有P（A|B）=0.88，P（A|B）=0.14。

模型求解：由于部隊征兵和安全審查屬于常規(guī)性篩查，大部分都是誠實的，所以可以假設人群中說謊者概率P（B）=0.01，由貝葉斯公式有

P（B|A） = = 0.04

結(jié)果分析：上面結(jié)果表示被檢測為說謊的對象中，有高達96%的比例沒有說謊。這是因為在部隊征兵等常規(guī)性檢查中說謊者比例很低。但是對于罪大惡極的犯罪嫌疑人，假設說謊者概率是0.5，則由貝葉斯公式得

P（B|A） = = 0.86

由此可見測謊儀只在針對特定的人群時，有較高的概率可靠，但它的法律性還有待商榷。

案例2：正太分布應用

2010年4月14日，青海省玉樹縣結(jié)古鎮(zhèn)發(fā)生了7.1級地震。指揮部命令格爾木某汽車團在35小時內(nèi)到達地震災區(qū)進行救災。從格爾木到結(jié)古鎮(zhèn)有兩條路線可以選擇，一條是從格爾木途徑不凍泉到達結(jié)古鎮(zhèn)的750KM的簡易公路，另一條是從格爾木途徑南寧到達結(jié)古鎮(zhèn)的1400KM的國道。該團要從中選擇一條最佳路線，以最大可能的在規(guī)定時間內(nèi)達到災區(qū)。

問題：選擇一條最佳路線。

知識準備：最佳路線就是在規(guī)定時間內(nèi)以較大概率趕到救災災區(qū)的路線。

建模：假設走簡易公路所需要的時間為t1，走國道所需要的時間為t2，根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計知，t1服從正太分布N（28，32），t2服從正太分布N（26，52）。

走簡易公路及時到達災區(qū)的概率P（0

模型求解：走簡易公路及時到達災區(qū)概率為

p（0

P（0

由于p（0P（0

案例3：參數(shù)估計應用

雷達測量精度，從理論上要用參數(shù)估計進行分析。在加性白噪聲下，一般用極大似然估計法進行參數(shù)估計，用極大似然估計可以估計信號的延時。

時延背景：為了搜尋目標，雷達向四周發(fā)射信號，信號傳到目標后，一部分被反射回雷達接收系統(tǒng)，根據(jù)發(fā)出與接收信號間的延時（主動時延），確定目標的距離。

3數(shù)學建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》應注意的幾個方面

（1）教師要不斷擴充自己的知識面。數(shù)學模型都是從現(xiàn)實生活中提煉出來的，所以它所涉及的不光是數(shù)學方面的知識還有其他領(lǐng)域的知識，比如說上面提到的處理雷達信號的問題，不但涉及到統(tǒng)計部分的知識還涉及到雷達方面的知識，教師在進行教學之前，就要查找資料了解和雷達相關(guān)的知識點。因此為了提高教學效果，教師在進行教學過程中，要不斷的擴充自己的知識面。

（2）教師要避免以自我為中心。傳統(tǒng)的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學，基本上都是以教師為中心。整堂課下來都是教師在講，學生在聽，師生之間互動幾乎為零。這就導致了學生上課積極性不高，出現(xiàn)打瞌睡、做小動作等違反課堂紀律的情況。要想提高教學效果，教師就要轉(zhuǎn)變角色，要以學生為中心，讓學生主動參與到課堂上來。學生上課積極性提高了，那前面出現(xiàn)的那些違反課堂紀律的情況就可以避免了，這也有利于學生學習能力的培養(yǎng)。

（3）案例選取要避免脫離學生專業(yè)。教師在選取案例的時候，要盡可能地選取和學生專業(yè)相關(guān)的案例。這樣可以讓學生感受到數(shù)學的用處進而激發(fā)學生的求知欲。如果教師選取的案例脫離學生專業(yè)，學生會認為，所學數(shù)學知識對他們未來學習或者生活沒有用，導致學生對數(shù)學失去興趣，甚至產(chǎn)生數(shù)學無用論。

4結(jié)語

數(shù)理統(tǒng)計中的很多問題都與我們的生活有關(guān)，比如說“三個臭皮匠頂個諸葛亮”就可以用概率論中的獨立事件概率去分析，再比如我們小時候大人經(jīng)常給我們講的“狼來了”的故事，就可用貝葉斯公式去分析。在分析以及求解的過程中，都用到了數(shù)學建模的思想。要把現(xiàn)實問題與我們數(shù)學知識聯(lián)系起來，就要用到數(shù)學建模思想。所以將數(shù)學建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學中是很有必要的，不但有利于培養(yǎng)學生的實踐能力，也有利于調(diào)動學生學習的積極性。

參考文獻

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