基于動態(tài)參數(shù)蟻群算法的尋源導(dǎo)熱反問題研究

喬慶玲,　盧　玫,　張翠珍,　陶　亮

(1.上海理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院,上海　200093; 2.南京工程學(xué)院 能源與動力工程學(xué)院,南京　211167)

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基于動態(tài)參數(shù)蟻群算法的尋源導(dǎo)熱反問題研究

喬慶玲1,盧玫1,張翠珍2,陶亮1

(1.上海理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院,上海200093; 2.南京工程學(xué)院 能源與動力工程學(xué)院,南京211167)

摘要：基于蟻群優(yōu)化算法,求解含有未知內(nèi)熱源位置的導(dǎo)熱逆問題.通過分析計算表明:信息素啟發(fā)因子、能見度啟發(fā)因子、信息素?fù)]發(fā)率等蟻群參數(shù)對蟻群選擇路徑以及路徑上信息素濃度更新有直接影響,其取值最終會影響求解結(jié)果的準(zhǔn)確性及收斂速度.在計算過程中,路徑上的信息素濃度不斷改變,螞蟻選擇路徑也趨于集中,采用定值蟻群參數(shù)不能滿足在整個計算過程中都具有良好的性能，為此提出了動態(tài)參數(shù)蟻群算法,并根據(jù)計算分析結(jié)果確定蟻群參數(shù)值隨全局循環(huán)次數(shù)而變的動態(tài)函數(shù).計算結(jié)果證明,采用動態(tài)參數(shù)蟻群算法能有效提高求解反問題的質(zhì)量及收斂速度.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)熱逆問題; 熱源; 動態(tài)參數(shù); 蟻群算法

導(dǎo)熱反問題在醫(yī)學(xué)、工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用,如飛行器外壁熱流密度的間接測量、無損探傷、熱物性參數(shù)測量、人體腫瘤紅外檢測等.對反問題的研究可以概括為兩大類：一類是應(yīng)用研究,包括導(dǎo)熱物性參數(shù)的識別[1]、邊界條件識別[2]、幾何形狀識別[3]、初始溫度場等初始條件識別[4]、源項強(qiáng)度及位置識別[5-6]等;另一類則是用于求解反問題的優(yōu)化算法研究.早期的反演研究中,基于梯度的正則化方法[7]、共軛梯度法[8-9]、最速下降法等較為常用.隨著計算機(jī)技術(shù)和生物工程的發(fā)展,人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]、遺傳算法[11]及蟻群算法等智能算法被引入到反問題領(lǐng)域.蟻群算法(ACO) 是受自然界中螞蟻覓食啟發(fā)而提出的一種智能優(yōu)化算法,算法采用了正反饋并行自催化機(jī)制,易于與其他方法結(jié)合.該算法由意大利學(xué)者Dorigo等[12]在20世紀(jì)90年代提出,被稱為“Ant-Q System”,之后又不斷被改進(jìn).如Dorigo等[13]在Ant-Q System算法的基礎(chǔ)上提出了蟻群系統(tǒng)(ant colony system,簡稱ACS),這一算法和前者的主要區(qū)別在于螞蟻在選擇下一條路徑之前,多作了一次隨機(jī)試驗;Bullnheimer等[14]提出了基于優(yōu)化排序的螞蟻系統(tǒng),其思想是在完成一次迭代后,按螞蟻找到解的好壞進(jìn)行排序,并且根據(jù)螞蟻的排名給予相應(yīng)的信息素加強(qiáng)；Cordon等[15]提出了最優(yōu)-最差螞蟻系統(tǒng)(BWAS),該算法的主要思想是對最優(yōu)解進(jìn)行更大限度的增強(qiáng),而對最差解進(jìn)行削弱.上述這些改進(jìn)主要是在搜索控制方面有所不同.覃剛力等[16]提出了一種基于自適應(yīng)調(diào)整信息素的改進(jìn)蟻群算法,該算法改變了蟻群算法中信息素Q為常數(shù)的狀況,根據(jù)人工螞蟻所獲得解的情況動態(tài)地調(diào)整路徑上的信息素Q,從而使得算法跳離局部最優(yōu)解.

蟻群算法最早提出時主要用于解決旅行商(TSP)問題,但目前已經(jīng)滲透到許多應(yīng)用領(lǐng)域.本文以含有未知內(nèi)熱源位置的導(dǎo)熱逆問題為應(yīng)用對象,在蟻群算法基礎(chǔ)上,提出了動態(tài)參數(shù)蟻群算法,以此提高求解反問題的求解質(zhì)量及收斂速度.

1蟻群算法

蟻群尋找遠(yuǎn)處的食物,有多條路徑可以到達(dá)食物源.最初,每只螞蟻在多條路徑中隨機(jī)選擇一條路徑.螞蟻在行進(jìn)過程中會沿路留下氣味,即信息素,留在路徑上的信息素也會隨時間漸漸揮發(fā).當(dāng)各路徑上信息素濃度不同時,螞蟻會根據(jù)路徑上信息素濃度概率性地趨向于選擇信息素濃度大的路徑.在蟻群算法中,螞蟻根據(jù)信息素濃度和能見度分布按式(1)選擇路徑s.

(1)

式中:q為隨機(jī)數(shù),0

當(dāng)q>q0時,螞蟻將按照式(2)選擇路徑.

(2)

式中，Π為可以選擇的路徑集合.

在蟻群算法中,路徑上信息素的更新分為兩部分:一是在每一只螞蟻選擇一次路徑后,即刻根據(jù)路徑長度對該路徑上的信息素濃度進(jìn)行更新,此更新稱為局部信息素更新,其目的在于減少后續(xù)螞蟻選擇較差路徑的概率,并增加較優(yōu)路徑的信息素濃度;二是當(dāng)蟻群中所有螞蟻都完成一次選擇后,再進(jìn)行一次信息素濃度的更新,此更新為全局信息素更新,其目的是為了對螞蟻未選擇的路徑進(jìn)行信息素?fù)]發(fā)更新,同時根據(jù)蟻群搜索路徑后反饋的信息,增加較優(yōu)路徑的信息素濃度.

局部信息素更新規(guī)則為

(3)

式中:ρp為局部信息素?fù)]發(fā)率;Δτ為信息素濃度增加量,其值與能見度相等.

若路徑較長,則Δτ就會很小,這樣信息素濃度增加量不足以抵消信息素?fù)]發(fā)而產(chǎn)生的信息素濃度減少量;反之,若路徑較短,Δτ很大,則信息素濃度增量將大于揮發(fā)掉的信息素濃度.

全局信息素更新規(guī)則與局部信息素更新規(guī)則類似,如式(4)所示.

(4)

式中:ρg為全局信息素?fù)]發(fā)率;Δτ(n,n+1)為信息素濃度增加量.

(5)

式中:Q為螞蟻每次釋放的信息素量,是一常數(shù),用來控制信息素濃度增加量的大小;J為目標(biāo)函數(shù).

經(jīng)過全局更新,新的信息素濃度分布將誘導(dǎo)蟻群進(jìn)一步向最短路徑聚集.

2反演熱源位置的導(dǎo)熱問題

2.1物理模型與數(shù)學(xué)描述

本文所討論的物理問題是一個含有未知點(diǎn)熱源位置參數(shù)的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱逆問題,其二維幾何形狀、坐標(biāo)設(shè)置和熱邊界條件如圖1所示.在y=0邊界處為定壁溫tw,在x=a,y=0,y=b處的3個邊界與環(huán)境發(fā)生自然對流換熱,環(huán)境溫度為tf,表面對流換熱系數(shù)為h;點(diǎn)熱源折算熱源強(qiáng)度為qh.欲通過y=0,x=a處若干個測點(diǎn)的測量溫度作為補(bǔ)充條件求出熱源的位置.假定熱物性參數(shù)為常數(shù),且導(dǎo)熱系數(shù)各向同性,在此條件下,對應(yīng)上述導(dǎo)熱問題的微分方程及邊界條件為

(6)

(7)

式中:Φ為熱源強(qiáng)度,在熱源位置處Φ=qh,在其他位置處Φ=0;c為常數(shù)；λ為導(dǎo)熱系數(shù).

補(bǔ)充求解條件:各測點(diǎn)位置分別為圖1所示位置,測點(diǎn)1,2,…,8對應(yīng)的溫度測量值為tc1,tc2,…,tc8.

2.2目標(biāo)函數(shù)

設(shè)反演過程中螞蟻每次所找到的熱源位置為(xh,yh),代入式(6)和式(7)所表示的導(dǎo)熱正問題,用數(shù)值方法求解得到導(dǎo)熱區(qū)域的溫度場,對應(yīng)測點(diǎn)位置的溫度值分別記為t1，t2，t3，….根據(jù)計算值和測量值建立如式(8)所示的目標(biāo)函數(shù).

(8)

圖1　導(dǎo)熱逆問題示意圖

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)J小于某一給定值時,即可認(rèn)為該熱源位置就是反問題的求解結(jié)果.

2.3反演熱源位置參數(shù)的路徑構(gòu)造

與旅行商問題不同,在導(dǎo)熱反問題中沒有真實(shí)的路徑及路徑長度,因此,需要構(gòu)造路徑及確定路徑長度.本文采用數(shù)值方法進(jìn)行求解,首先對計算區(qū)域進(jìn)行離散,在0～a區(qū)間作nx等分,在0～b區(qū)間作ny等分,同時得到2個數(shù)據(jù)序列:

式中：xi為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的x坐標(biāo)；yj為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的y坐標(biāo).

定義螞蟻尋找的路徑即為幾何計算區(qū)域內(nèi)某一網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo).螞蟻先在xi數(shù)據(jù)序列中選擇一個x坐標(biāo),然后在yj數(shù)據(jù)序列中選擇一個y坐標(biāo),這樣便形成了一條路徑(xi,yi),路徑的總數(shù)等于網(wǎng)格總數(shù)nxny.同時定義每一條路徑(xi,yi)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值J為該路徑的長度.

2.4求解基本步驟

求解步驟:

a. 設(shè)定蟻群參數(shù):Q,α,β,m,ρp,ρg及各路徑信息素濃度初值和能見度初值.

b. 螞蟻根據(jù)式(1)和式(2)選擇路徑,并將此路徑與禁忌表中各路徑對比,若禁忌表中無該路徑,則將此路徑存入禁忌表,進(jìn)入步驟 c;若禁忌表中已有該路徑,則進(jìn)入步驟 d.

c. 將選擇的路徑代入式(6)和式(7),求解導(dǎo)熱正問題,獲得溫度場,并根據(jù)式(8)計算目標(biāo)函數(shù)J.

d. 判斷J是否滿足設(shè)定精度:若是,則跳至步驟g;若否,則根據(jù)式(3)對該路徑進(jìn)行局部信息素更新.

e. 判斷螞蟻是否全部完成第n次路徑選擇:若否,回跳至步驟b;若是,則根據(jù)式(4)進(jìn)行全局信息素更新.

f. 判斷蟻群是否已經(jīng)有90%以上螞蟻聚集于同一條路徑,若否,回跳至步驟b.

g. 輸出計算結(jié)果.

由前面計算步驟可知,計算收斂速度越快,導(dǎo)熱正問題計算次數(shù)就越少,且反問題求解過程中,主要花費(fèi)的時間是用于正問題求解,因此,計算收斂速度可用計算正問題次數(shù)N來描述.在后續(xù)計算中,計算幾何區(qū)域為a=0.1,b=0.1;熱源真實(shí)位置為(0.032 5,0.055 5),熱源強(qiáng)度為60 W.首先將真實(shí)熱源位置代入式(6)和式(7),求出溫度場,選用表1所列邊界點(diǎn)及溫度值作為反演求解的溫度測量值.

表1　測點(diǎn)位置及溫度

3動態(tài)參數(shù)蟻群算法

本文所討論的蟻群參數(shù)包括ρg,ρp,α,β,當(dāng)討論某一參數(shù)影響時,其他參數(shù)取值如表2中所示的默認(rèn)值.信息素濃度初值取1,能見度取5,螞蟻數(shù)量m值取100.蟻群算法屬于概率算法,本文各工況均計算10次,表3～7所列計算結(jié)果為10次計算結(jié)果的平均值.

表2　蟻群參數(shù)默認(rèn)值

3.1全局信息素?fù)]發(fā)率ρg

在所有螞蟻都尋找完一次路徑后,全局信息素?fù)]發(fā)率ρg會使路徑上的信息素濃度減少,但短路徑上的信息素濃度增加量會大于減少量,使得其總的信息素濃度增加,逐漸增大短路徑與長路徑之間信息素濃度的差異,誘導(dǎo)螞蟻向短路徑聚集.ρg值的大小將決定優(yōu)劣路徑上信息素濃度差值的增加速度.

計算初始,希望蟻群盡可能遍布在計算區(qū)域內(nèi)搜索,但如果ρg過大,沒有走過的路徑上的信息素會被大量消減,導(dǎo)致這些路徑被螞蟻選擇到的可能性降低,如果這些路徑相對集中,就會出現(xiàn)局部最優(yōu)的可能.表3為全局信息素?fù)]發(fā)率不同取值時的計算結(jié)果.雖然ρg增大,收斂速度加快,但當(dāng)ρg≥0.6時,計算結(jié)果已經(jīng)有偏離真實(shí)值的情況出現(xiàn),陷入了局部最優(yōu)解.

表3　全局信息素?fù)]發(fā)率不同取值時的計算結(jié)果

若將ρg設(shè)置為0.1,當(dāng)所有螞蟻選擇2次路徑后,蟻群搜索過的路徑分布已經(jīng)基本遍布整個計算區(qū)域,如圖2所示.當(dāng)?shù)?次全局循環(huán)后,蟻群選擇的路徑聚集程度已經(jīng)很高了.

圖2　第n次全局循環(huán)后蟻群已搜索到的路徑分布

根據(jù)計算分析,ρg的取值應(yīng)該由小增大,增大的速度應(yīng)該從慢到快,并滿足全局循環(huán)次數(shù)n=1時,ρg為0.1;n≥11時,ρg=0.8,達(dá)到最大值.參照計算結(jié)果,擬合出以下冪函數(shù):

(9)

3.2局部信息素?fù)]發(fā)率ρp

ρp為局部循環(huán)時的信息素?fù)]發(fā)率,在每一次全局循環(huán)中發(fā)揮更新信息素的作用.1-ρp則表示全局循環(huán)后信息素殘留率.局部信息素?fù)]發(fā)率在算法中的作用是在一次全局循環(huán)中,降低后面的螞蟻與前面的螞蟻選擇同一路徑的可能性.

若局部信息素?fù)]發(fā)率ρp值很大,會使該路徑被選擇后,信息素濃度立即減少很多,這樣,在同一次循環(huán)中后續(xù)螞蟻選擇該路徑的概率就會大大降低.反之,若ρp很小,這種效果就會減弱.然而,如果在計算接近收斂的時候,ρp依然取值過大,當(dāng)螞蟻選擇到較優(yōu)路徑時會使得該路徑上信息素濃度降低很多,從而導(dǎo)致蟻群收斂速度過慢.表4為ρp取不同值時的計算結(jié)果,可以看出,隨著ρp的增大,正問題計算次數(shù)逐漸增加.ρp值過小,計算結(jié)果易出現(xiàn)偏離情況,但當(dāng)ρp值達(dá)到0.3時,已經(jīng)可以穩(wěn)定計算出熱源位置.

表4　局部信息素?fù)]發(fā)率取值不同時的計算結(jié)果

根據(jù)這一結(jié)果,設(shè)置ρp的最大值為0.3,最小值為0.05.由于ρp值變化幅度不大,故采用如式(10)所示的線性函數(shù)來描述ρp的動態(tài)變化.

(10)

3.3信息素啟發(fā)因子α

信息素啟發(fā)因子α的大小反映了蟻群在搜索過程中各個路徑上信息素濃度對螞蟻選擇路徑的相對重要程度.在本文算例中,路徑上初始信息素濃度的設(shè)定值為1.在計算過程中經(jīng)過信息素更新,大部分的路徑上的信息素濃度會小于1,只有少數(shù)較短路徑上的信息素濃度會大于1.由于計算過程的前期階段,蟻群被期望能夠盡可能地選擇一些新的路徑,所以,α的值將不宜大于1,這樣可以減小由于信息素濃度差距而引起的螞蟻對路徑選擇概率的差距.到了計算過程的中后期階段,蟻群逐漸收斂于最優(yōu)解附近時,α應(yīng)該逐漸增大,以誘導(dǎo)蟻群快速地向信息素濃度更大的路徑聚集.

表5為α取值不同時的計算結(jié)果,隨著α值的增大,計算收斂速度下降.α值從0.5增大到1.5的過程中,計算結(jié)果相對穩(wěn)定;當(dāng)α值超過1.5時,穩(wěn)定性降低,出現(xiàn)局部最優(yōu)解的概率漸漸增大.為了在保證計算結(jié)果穩(wěn)定性的同時能提高計算效率,從第1次到第5次全局循環(huán),α值從0.5逐漸增加到1.5,之后大幅度增大α值以提高蟻群的收斂速度.根據(jù)計算結(jié)果,設(shè)定α取值范圍為[0,6],在n=1,α=0.5和n=5,α=1.5兩點(diǎn)之間構(gòu)造線性函數(shù);在n=6,α=3和n=10,α=6之間也構(gòu)造線性函數(shù),具體如式(11)所示.

(11)

3.4能見度啟發(fā)因子β

能見度啟發(fā)因子β的作用是控制能見度對路徑選擇概率的影響.能見度是直接反映路徑優(yōu)劣的參數(shù),在本文的計算實(shí)例中即為目標(biāo)函數(shù)的倒數(shù).一個相對較短的路徑并不一定在每次全局循環(huán)中都被選擇到,所以,沒有機(jī)會在局部更新中增加信息素.因此,并不是短路徑上信息素濃度就一定高,且不同路徑上信息素濃度差值與能見度差值的比例也不相同.

圖3為第1次全局搜索后所有螞蟻搜索到的路徑對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值,對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)最小值小于1,而最大值遠(yuǎn)大于1,平均值為3.5左右,顯然,較差路徑的能見度都會小于1.

表6為β取不同值的計算結(jié)果,可以看出,隨著β值的增大,溫度場計算次數(shù)逐漸減少,即蟻群算法的搜索時間逐漸減少,這主要是因為β值的增大,意味著蟻群尋優(yōu)過程中能見度(即先驗知識、確定性因素)對螞蟻路徑選擇的影響逐漸增大,使得螞蟻更傾向于選擇蟻群已走過的最短路徑,從而減少搜索新路徑的概率.

圖3　100只螞蟻?zhàn)哌^路徑的目標(biāo)函數(shù)

表6　能見度啟發(fā)因子不同取值時的計算結(jié)果

β值增大到3時,開始出現(xiàn)解偏離真實(shí)值的情況,但是,當(dāng)β≥3時,對收斂速度明顯起到了加快作用.由于不同路徑對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值差值較大,故β值上限不宜設(shè)置過大,本文設(shè)置為5.在蟻群較高程度聚集以前,取β≤2,以保證算法的穩(wěn)定性.故以n=1,β=0.5和n=5,β=2兩點(diǎn)構(gòu)造線性函數(shù),以n=6,β=2和n=10,β=5兩點(diǎn)構(gòu)造線性函數(shù).

(12)

3.5計算驗證

表7　動態(tài)參數(shù)計算驗證結(jié)果

表7所列數(shù)據(jù)表明:在100次反演計算中,采用動態(tài)蟻群參數(shù),平均正問題計算次數(shù)為206次,并出現(xiàn)2次局部最優(yōu)解,分別為(0.031 5,0.055 5),(0.031 5,0.056 5);而采用默認(rèn)參數(shù)計算時,平均正問題計算次數(shù)為346次,并出現(xiàn)14次局部最優(yōu)解的情況.由此表明,動態(tài)參數(shù)的設(shè)置不僅有效提高了計算速度,也有效提高了計算結(jié)果的穩(wěn)定性.

4結(jié)論

根據(jù)全局信息素?fù)]發(fā)率ρg、局部信息素?fù)]發(fā)率ρp、信息素啟發(fā)因子α、能見度啟發(fā)因子β等蟻群參數(shù)的作用及各參數(shù)取值對蟻群算法的影響,建立隨全局循環(huán)次數(shù)變化的動態(tài)蟻群參數(shù),可在有效避免計算結(jié)果陷入局部最優(yōu)的前提下提高計算收斂速度.本文的計算實(shí)例表明,與采用定值參數(shù)的蟻群算法相比,收斂速度約提高40%,計算準(zhǔn)確率則由原來的86%提高到98%.

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(編輯:石瑛)

Heat Source Seeking in Inverse Heat Conduction Problem by Dynamic Parameters Ant Colony Algorithm

QIAO Qingling1,LU Mei1,ZHANG Cuizhen2,TAO Liang1

(1.School of Energy and Power Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;2.School of Energy and Power Engineering,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China)

Abstract：To solve the inverse heat conduction problem with unknown location of heat source,an ant colony algorithm with dynamic parameters,being a probabilistic algorithm,was proposed.The analysis and calculation show that the pheromone inspiration factor,visibility inspiration factor,pheromone evaporation rate and other ant colony parameters directly impact the way of updating the pheromone concentrations.Their values ultimately affect the accuracy of the results and the convergence rate.In the calculation process,the pheromone concentrations on the path will be constantly changing,and the ants will tend to select a concentrated path.The ant colony optimization algorithm with constant ant colony parameter values can’t guarantee to have good performance in the entire calculation process.Therefore,the ant colony algorithm with dynamic parameters was proposed,and the dynamic function of ant colony parameter values which changes with the times of global cycles was constructed according to the calculation results of the analysis.The results show that the proposed method is an accurate and efficient method to seek the location of heat source in inverse heat conduction problems.

Keywords：inverse heat conduction problem; heat source; dynamic parameter; ant colony algorithm

中圖分類號：TK 124

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

通信作者：盧玫(1957-),女,教授.研究方向:強(qiáng)化傳熱和能量有效利用.E-mail:rose_luu@usst.edu.cn

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51176126)

收稿日期：2015-01-25

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.02.005

文章編號：1007-6735(2016)02-0126-07

第一作者： 喬慶玲(1987-),女,碩士研究生.研究方向:導(dǎo)熱反問題.E-mail:qinglingqiao86@126.com