有關(guān)利用軸對(duì)稱求最小值的動(dòng)點(diǎn)問題

鄧曉飛

例1.如下圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米.

（1）牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家，試問在何點(diǎn)處飲水，所走路程最短？

（2）最短路程是多少？

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱—最短路線問題.

【分析】（1）要求牧童行駛距離最短的飲水點(diǎn)P，除非AP、BP的和為兩定點(diǎn)之間的距離，也即是P在兩定點(diǎn)F、B的連線上.

（2）作BE⊥BD交CA的延長線于點(diǎn)E，求得AE=BD+AC=600+200=800 m，BE=CD=600 m，然后根據(jù)勾股定理求出FB的長.

【解答】解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF交CD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求，此時(shí)PA+PB=BF，BF就是最短路程.

（2）作BE⊥BD交CA的延長線于點(diǎn)E，如圖所示，

由題意得AE=BD+AC=600+200=800m，BE=CD=600m

由勾股定理得：BF=1000m

所以最短路程為1000米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問題.這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可以利用對(duì)稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離.

例2.如下圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5.若點(diǎn)M、N分別是線段AC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為（ ）

A.10 B.8 C.5 D.6

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱—最短路線問題.

【分析】過B點(diǎn)作AC的對(duì)稱點(diǎn)E點(diǎn)，過E作EN垂直AB交AB于N點(diǎn)，EN就是所求的線段.從下圖中可以看出EH、EG的長都比EN長。

【解答】解：過B點(diǎn)作AC的對(duì)稱點(diǎn)E點(diǎn)，過E作EN垂直AB交AB于N點(diǎn)，AC=5

AC邊上的高為2，所以BE=4.

∵△ABC∽△BEF，

EF=8.

故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查最短路徑問題，關(guān)鍵確定何時(shí)路徑最短，然后運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求得解.

編輯 孫玲娟