多邊形內(nèi)角和定理適用性討論

金震宇

一、前 言

多邊形內(nèi)角和定理為：n多邊形內(nèi)角和 = （n - 2）180°，n多邊形外角和 = 360°，其證明源于三角形內(nèi)角和 = 180°. 如圖1所示，在凸多邊形中借助輔助線引入適量三角形，使原多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為引入諸三角形內(nèi)角和，從而得證. 其證明細(xì)節(jié)請(qǐng)參看文獻(xiàn)[1].

因?yàn)橥苟噙呅我粋€(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一條邊，所以可數(shù)它有多少暴露出的頂點(diǎn)數(shù)求出較復(fù)雜凸多邊形邊數(shù). 但是我在做題中發(fā)現(xiàn)，有類問(wèn)題無(wú)論是數(shù)邊還是數(shù)頂點(diǎn)求出的結(jié)果都出錯(cuò). 這引起我興趣，故寫出來(lái)與大家討論.

二、多邊形內(nèi)角和定理僅適用于凸多邊形和凹多邊形

三、多邊形內(nèi)角和定理不適用于出現(xiàn)交叉線的多邊形

請(qǐng)先看圖3左圖，這是有交叉線四個(gè)頂點(diǎn)最簡(jiǎn)單圖形，若用多邊形內(nèi)角和定理，其內(nèi)角和為360°. 這顯然不是角∠A + ∠B + ∠C + ∠D之和，題中多算了∠1 + ∠2，而∠1或∠2的具體數(shù)值不確定，僅據(jù) ∠1和∠2為對(duì)頂角，可已得到：∠A + ∠B = ∠C + ∠D，故∠A + ∠B + ∠C + ∠D之和無(wú)解.

四、結(jié) 論

多邊形內(nèi)角和定理僅適用于凸多邊形和凹多邊形，它不適用有交叉線圖形，解題時(shí)若遇到有求交叉線圖形求多角和時(shí)，要依平面兒何諸定理知識(shí)，設(shè)法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求凸多邊形或凹多邊形內(nèi)角和，使問(wèn)題得解.

【參考文就】

[1]數(shù)學(xué)，七年級(jí)下冊(cè)[M].江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2012年11月第3版，P31-35.

[2]學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)，數(shù)學(xué)測(cè)試卷，七年級(jí)下，第7章[M].江蘇鳳凰出版社.