運用變式題，巧設(shè)“潛在距離”

鄧夏媛

變式教學是一種傳統(tǒng)和典型的中國數(shù)學教學方式，意在通過變式展示知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，使學生抓住問題的本質(zhì)，理解知識的來龍去脈，是對學生進行數(shù)學技能和思維訓練的重要方式. 在教學實踐中如何發(fā)揮變式題的功能，設(shè)置良好的問題情境讓學生在變式中經(jīng)歷探究過程，如何把握一題多變的深度，一題多解的效度，有效發(fā)展學生深層次思維呢？本文結(jié)合教學實踐作一探討.

數(shù)學問題解決的一個基本思路是把沒有解決的問題化歸為已經(jīng)解決的問題，復雜的問題化歸為簡單的問題.由于在未解決的問題（新知）和解決了的簡單問題（舊知）之間沒有清晰的聯(lián)系，因此有必要為完成這種化歸設(shè)置一系列臺階，即要設(shè)置合適的“潛在距離”.對同一問題來說，學生原有的認知水平及活動經(jīng)驗與所探究問題的潛在距離的大小，深刻影響著探究活動的難易程度和教學目標的達成，當兩者的潛在距離較?。ǘ叹嗦?lián)結(jié)）時，屬于近遷移，適宜于學生的理解和掌握；當兩者的潛在距離較大（長距聯(lián)結(jié)）時，屬于遠遷移，則有利于激發(fā)學生開展探究活動.下面是 “工程問題”的三種教法比較：

教法A：

教師出示準備題：1.一項工程，甲獨做10天完成，乙獨做15天完成，甲隊每天完成這項工程的幾分之幾，乙隊每天完成這項工程的幾分之幾？兩隊合做每天完成這項工程的幾分之幾？

2. 做一項工程，如果每天完成這項工程的，幾天可以完成？

在學生完成上述各題后，教師出示例題：

一項工程，甲獨做10天完成，乙獨做15天完成，兩隊合做幾天完成？

學生嘗試解答.

教法B：

出示：某山坡欲綠化的面積有30公頃，甲工程隊單獨做要10天完成，乙工程隊單獨做要15天完成，兩隊合做幾天完成？

學生嘗試解決：30 ÷ （30 ÷ 10 + 30 ÷ 15） = 6天.

師：如果將“綠化的面積有30公頃”改換為60、90、120、180公頃，又會如何呢？

學生分組計算發(fā)現(xiàn)：得數(shù)相等.

師：為什么面積在不斷變化，而兩隊合做的時間卻不變？

學生觀察，發(fā)現(xiàn)：總面積擴大幾倍，兩隊的工作效率也相應(yīng)擴大了相同的倍數(shù).

師：那如果隱藏（或不用）綠化總面積這個條件，你還能解嗎？

出示例題：一項工程，甲隊獨做10天完成，乙隊獨做15天完成，兩隊合做幾天完成？

學生探究.

教法C：

出示：一項工程，甲隊獨做20天完成，乙隊獨做也要20天完成.兩隊合做幾天完成？

學生：兩隊各完成一半，即每隊各用20天的一半時間10天就可完成.

教師出示例題：一項工程，甲獨做20天完成，乙獨做30天完成，兩隊合做幾天完成？

師設(shè)問：這時他們的合做時間還會是20天的一半嗎？或者是30天的一半呢？

學生：兩隊合做的時間在10天與15天之間.

師：嘗試猜一猜，并用你所喜歡的方法進行驗證.

學生探究.

在本例中，教法A是我們常見的一種教學方法，即通過對例題進行分解，設(shè)置準備題，縮短了學生原有認知與例題之間的潛在距離（準備題與例題屬于 “短距聯(lián)結(jié)”）. 因此學生在教師的“牽”、“引”下總能拾級而上，較容易地理解與接受，實現(xiàn)從舊知到新知的跨越. 但這種跨越卻是以壓縮學生自主探究空間為代價，“為什么要將總工作量視為單位1？”“為什么要這樣解答？”……學生存有疑惑.但對這些問題的探究卻隨著教師設(shè)置的“臺階”而一一“滑過”.

教法B則通過改編例題，在不改變原題結(jié)構(gòu)的同時，增加一個具體量，引導學生借助整數(shù)的思考方法，獲得了求“兩隊合做時間”的基本方法. 但整數(shù)的思考方法能否進一步抽象到分數(shù)上來呢？這時，教師巧妙地運用變式題，創(chuàng)設(shè)一種問題情境：通過改變具體量的數(shù)據(jù)，組織學生進行解答，進而發(fā)現(xiàn)具體量的更改并不妨礙結(jié)論的成立，由此將學生置于變與不變的困惑之中，學生迫切需要一個更一般性的解法來涵蓋所有的類型. 這時學生原有經(jīng)驗（具體化的整數(shù)思考方法）與問題（抽象化的分數(shù)思考方法）構(gòu)成了認知沖突，激活了學生思維的深層次參與，進而實現(xiàn)對數(shù)學知識本質(zhì)內(nèi)在聯(lián)系的深刻理解，達到不僅知其然，而且知其所以然.

教法C則是通過改變影響結(jié)論的數(shù)據(jù)——即將兩天獨做的時間設(shè)置為相同（均為20天），學生基于生活經(jīng)驗，不難發(fā)現(xiàn)，兩隊的合做的工作時間應(yīng)為20天的一半，即10天完成.在此基礎(chǔ)上，教師出示原題，并設(shè)問：兩隊合做完成的時間會是多少呢？把學生思維聚焦在本題的關(guān)鍵要素（兩隊獨做的時間）上，它與兩隊合做時間有著怎樣的關(guān)聯(lián)呢？由此組織學生進行猜測、交流、驗證等一系列探究活動，呈現(xiàn)了多元的解決方法：有學生從10天～15天中選擇數(shù)據(jù)進行嘗試與調(diào)整，有學生則設(shè)置一個具體量（如20與30的公倍數(shù)）進行推算，有學生則先建立起等式，再求解……

教法B與教法C有著異曲同工之妙，兩者都是對原題的重新加工，通過變式題，設(shè)置了適合學生進行自主探究的“潛在距離”，前一個關(guān)注于過程，從整數(shù)的思考方法遷移到抽象的分數(shù)思考，實現(xiàn)知識的“再創(chuàng)造”，引導學生從過程的變化中獲得結(jié)論；后一個則直面結(jié)論，借助原題的一種特例（兩隊獨做時間相同），來推及一般的結(jié)論，從對結(jié)論的獲得來反推過程，建立問題中關(guān)鍵要素與結(jié)論的相互聯(lián)系，并在這一過程中推進學生創(chuàng)新思維的發(fā)展.