淺談初中數(shù)學(xué)解題滲透的思想方法

徐旭云

所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng).所謂數(shù)學(xué)方法， 是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的途徑、程序、手段，它具有過(guò)程性、層次性和可操作性等特點(diǎn).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，因此，人們把它們合稱為數(shù)學(xué)思想方法.

1. 分類討論思想

分類討論是根據(jù)教學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性將其劃分為不同種類，即根據(jù)教學(xué)對(duì)象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類.分類是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段.在教學(xué)中，如果對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，就可以使大量紛繁的知識(shí)具有條理性.

例如，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值定義是采用分類法給出的，在這個(gè)定義中選擇a = 0作為分類的標(biāo)準(zhǔn).在每一類中，其結(jié)果都不包含絕對(duì)值符號(hào).因此定義也給出了脫去絕對(duì)值符號(hào)的一種方法.再如，在同一個(gè)圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半.為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，教學(xué)時(shí)常將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過(guò)圓心和圓周角的頂點(diǎn)，這時(shí)可能出現(xiàn)三種情況：（1）折痕是圓周角的一條邊，（2）折痕在圓周角的內(nèi)部，（3）折痕在圓周角的外部.驗(yàn)證時(shí)，要分三種情形來(lái)說(shuō)明，這里實(shí)際上也體現(xiàn)了分類討論的思想方法.還有，對(duì)三角形全等識(shí)別方法的探索，教材中的思考題：如果兩個(gè)三角形有三個(gè)部分（邊或角）分別對(duì)應(yīng)相等，那么有哪幾種可能的情況？同時(shí)，教材中對(duì)處理幾種識(shí)別方法時(shí)也采用分類討論，由簡(jiǎn)到繁，一步步得出，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生體驗(yàn)這種思想方法.

2. 數(shù)形結(jié)合思想

一般地，人們把代數(shù)稱為“數(shù)”而把幾何稱為“形”，數(shù)與形表面看是相互獨(dú)立，其實(shí)在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，圖形問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問(wèn)題.

初一教材引入數(shù)軸，就為數(shù)形結(jié)合的思想奠定了基礎(chǔ).有理數(shù)的大小比較、絕對(duì)值的幾何意義、列方程解應(yīng)用題中的畫(huà)圖分析等，充分顯示出數(shù)與形結(jié)合起來(lái)產(chǎn)生的威力，這種抽象與形象的結(jié)合，能使學(xué)生的思維得到鍛煉.

數(shù)形結(jié)合在各年級(jí)中都得到充分的利用.例如，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以通過(guò)比較點(diǎn)到圓心的距離與圓半徑兩者的大小來(lái)確定，直線與圓的位置關(guān)系，可以通過(guò)比較圓心到直線的距離與圓半徑兩者的大小來(lái)確定，圓與圓的位置關(guān)系，可以通過(guò)比較兩圓圓心的距離與兩圓半徑之和或之差的大小來(lái)確定.又如，勾股定理結(jié)論的論證、函數(shù)的圖像與函數(shù)的性質(zhì)、利用圖像求二元一次方程組的近似解、用三角函數(shù)解直角三角形等等都是典型的數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn).實(shí)踐與探索中行程問(wèn)題教學(xué)，經(jīng)常是利用線段圖解的方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生分析題中的數(shù)量關(guān)系.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問(wèn)題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記和理解；在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問(wèn)題的方法，從而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.抓住數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，不僅能夠提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學(xué)生遷移思維能力.

3. 整體思想

整體思想在初中教材中體現(xiàn)突出，如在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，常把數(shù)字與前面的“+，-”符號(hào)看成一個(gè)整體進(jìn)行處理；又如用字母表示數(shù)就充分體現(xiàn)了整體思想，即一個(gè)字母不僅代表一個(gè)數(shù)，而且能代表一系列的數(shù)或由許多字母構(gòu)成的式子等；再如整式運(yùn)算中往往可以把某一個(gè)式子看作一個(gè)整體來(lái)處理，如：（a + b + c）2 = [（a + b） + c]2視（a + b）為一個(gè)整體展開(kāi)等等，這些對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高解題效率是一個(gè)極好的機(jī)會(huì).

4. 化歸思想

化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法體系主梁之一.在實(shí)數(shù)的運(yùn)算、解方程（組）、多邊形的內(nèi)角和、幾何證明等等的教學(xué)中都有讓學(xué)生對(duì)化歸思想方法的認(rèn)識(shí)，學(xué)生有意無(wú)意接收到了化歸思想.如已知（x + y）2 = 11，xy = 1 求x2 + y2的值，顯然直接代入無(wú)法求解，若先把所求的式子化歸到有已知形式的式子（x + y）2 - 2xy，則易得： 原式 = 9；又如 “多邊形的內(nèi)角和”問(wèn)題通過(guò)分解多邊形為三角形來(lái)解決，這都是化歸思想在實(shí)際問(wèn)題中的具體體現(xiàn).再如解方程（組）通過(guò)“消元”、“降次”最后求出方程（組）的解等也體現(xiàn)了化歸思想；

化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法.化歸的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題來(lái)解.實(shí)現(xiàn)新問(wèn)題向舊問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化、未知問(wèn)題向已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象問(wèn)題向具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化等.除此之外，很多知識(shí)之間都存在著相互滲透和轉(zhuǎn)化：多元轉(zhuǎn)化為一元、高次轉(zhuǎn)化為低次、分式轉(zhuǎn)化為整式、一般三角形轉(zhuǎn)化為特殊三角形、多邊形轉(zhuǎn)化為三角形、幾何問(wèn)題代數(shù)解法、恒等的問(wèn)題用不等式的知識(shí)解答……

5. 變換思想

變換思想是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想.解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價(jià)變換，幾何圖形中的等積變換等等都包含了變換思想.具有優(yōu)秀思維品質(zhì)的一個(gè)重要特征，就是善于變換，從正反、互逆等進(jìn)行變換考慮問(wèn)題，但很多學(xué)生又恰恰常忽略從這方面考慮問(wèn)題，因此變換思想是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)重要武器.

從初中階段就重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，將為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，會(huì)使學(xué)生終生受益.