分式易錯(cuò)題分析研究

杜宣

甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度《初中學(xué)生數(shù)學(xué)易錯(cuò)題分析研究》課題（課題批準(zhǔn)號(hào)：GS[2014]GHB0668）成果.

《分式》這一章是中華人民共和國(guó)教育部于2013年審定的、人民教育出版社出版的義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容之一，本章內(nèi)容是每年中考的熱點(diǎn)考題之一，但由于主觀和客觀方面的原因，學(xué)生極容易做錯(cuò)本章中的有些題.下面我就本章中學(xué)生容易做錯(cuò)的一些題進(jìn)行了抄寫(xiě)和歸類(lèi)，做出錯(cuò)因分析，并給出正確解法.

1. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

，x - 1，，，，，（x + y），，.

錯(cuò)解：x - 1是整式；，，，，（x + y），，是分式.

錯(cuò)因分析：由于對(duì)分式的概念理解不清楚、不深刻、不透徹而出錯(cuò).具體地說(shuō)就是只看表面現(xiàn)象，即誤認(rèn)為只要有分?jǐn)?shù)線的就是分式.

正解：x - 1，，（x + y），是整式；，，，，是分式.

事實(shí)上，形如（A，B表示兩個(gè)整式，且B中含有字母）的式子叫做分式.A中可以不含字母，但B中必須含有字母.

2. 當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，分式有意義？

錯(cuò)解：令x（x - 1） ≠ 0，則x ≠ 0或x - 1 ≠ 0，即x ≠ 0或x ≠ 1. 所以當(dāng)x ≠ 0或x ≠ 1時(shí)，分式有意義.

錯(cuò)因分析：條件x ≠ 0或x - 1 ≠ 0表示兩層含義，即要么x ≠ 0，要么x - 1 ≠ 0.當(dāng)x ≠ 0，而x - 1 = 0時(shí)，x（x - 1） = 0；當(dāng)x = 0，而x - 1 ≠ 0時(shí)，x（x - 1） = 0.

正解：令x（x - 1） ≠ 0，則x ≠ 0且x - 1 ≠ 0，即x ≠ 0且x ≠ 1. 所以當(dāng)x ≠ 0且x ≠ 1時(shí)，分式有意義.

實(shí)際上，分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即B ≠ 0時(shí)，分式才有意義.

3. 當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，分式的值為0？

錯(cuò)解：令x（x + 2） = 0，則x = 0或x = -2.所以當(dāng)x = 0或x = -2時(shí)，分式的值為0.

錯(cuò)因分析：由于考慮問(wèn)題不全面而出錯(cuò).即只考慮了分子的值為0，而沒(méi)有考慮分母的值不能為0的情況.

正解：將原分式化成.

當(dāng)x + 2 ≠ 0時(shí)， = . 而x = 0時(shí)，x + 2 ≠ 0，且x + 3 ≠ 0.

所以當(dāng)x = 0時(shí)，分式的值為0.

實(shí)際上，分式的值為0是在分式有意義的條件下來(lái)說(shuō)的，當(dāng)x = -2時(shí)，分式分母x2 + 5x + 6的值為0，此時(shí)分式無(wú)意義.

4. 計(jì)算2.

錯(cuò)解一：2 = = = .

錯(cuò)解二：2 = = -.

錯(cuò)因分析：由于沒(méi)有弄清楚分式乘方的運(yùn)算法則而出錯(cuò).具體說(shuō)就是錯(cuò)解一只給分子乘方，沒(méi)有給分母乘方；錯(cuò)解二只給分母乘方，沒(méi)有給分子乘方.

正解：2 = = = .

實(shí)際上，分式的乘方要把分子和分母分別乘方.

5. 計(jì)算 = .

錯(cuò)解： = = = = .

錯(cuò)因分析：由于沒(méi)有弄清楚異分母分式的加法運(yùn)算法則而出錯(cuò).具體說(shuō)就是誤認(rèn)為分式的加法就是分子加分子，分母加分母.

正解： + = + = = .

實(shí)際上，在做異分母分式的加減運(yùn)算時(shí)，先要根據(jù)分式的基本性質(zhì)通分轉(zhuǎn)化為同分母的分式，再按同分母分式的加減法法則來(lái)計(jì)算.

實(shí)際上，解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，但求出的整式方程的解還需要代入最簡(jiǎn)公分母中加以檢驗(yàn)，如果最簡(jiǎn)公分母的值不等于0，那么求出的整式方程的解就是原分式方程的解；如果最簡(jiǎn)公分母的值等于0，那么求出的整式方程的解就是原分式方程的增解（根），從而說(shuō)明原分式方程無(wú)解.

當(dāng)然《分式》這一章中的易錯(cuò)題絕不僅限于此，而且這些易錯(cuò)題也可以防范，這就要求學(xué)生在做題時(shí)要：正確理解概念的本質(zhì)，使概念間不出現(xiàn)混淆現(xiàn)象；正確運(yùn)用運(yùn)算法則；全面考慮問(wèn)題，避免出現(xiàn)漏解或增解.