從“山窮水盡”走向“柳暗花明”

徐婧

【摘要】 “畫圖”作為一種解決問題的策略，以直觀、形象的外顯方式，數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)在蘊(yùn)含，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來進(jìn)行思考，實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維的結(jié)合，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化. “數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化、相互結(jié)合既是重要的數(shù)學(xué)思想，也是重要的解題方法.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合；有意義建構(gòu)；數(shù)學(xué)思想

“畫圖”作為一種解決問題的策略，以直觀、形象地外顯方式，數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)在蘊(yùn)含，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來進(jìn)行思考，實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維的結(jié)合，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化. “數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化、相互結(jié)合既是重要的數(shù)學(xué)思想，也是重要的解題方法.

現(xiàn)行蘇教版教材以圖文并茂的方式生動(dòng)地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，使得“抽象”的數(shù)學(xué)問題趣味化、生活化，更有助于學(xué)生分析問題和解決問題. 由此可見，“圖”在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著不可替代的地位和作用.

一、因需而“畫”

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非. ”畫圖作為一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“武器”，顯現(xiàn)其獨(dú)有的價(jià)值與妙用. 但不可濫用，只有在學(xué)生思維有需要時(shí)，才能顯現(xiàn)其“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的豁然意境.

1. “畫”在思維受困時(shí)

文字以干練、簡潔的形式傳遞信息，同時(shí)也賦予文字豐富的內(nèi)容. 對(duì)于小學(xué)生來說，透過文字信息的表層，剖開內(nèi)層的錯(cuò)綜復(fù)雜，尋找解決問題的金鑰匙，思維常常被困住，此時(shí)，另辟蹊徑成為一種迫切需要. 寥寥幾筆的圖示簡明扼要地表達(dá)題意，給小學(xué)生直觀形象的說明和建構(gòu)，是一種很好的解決問題的方法.

如蘇教版四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)有這樣一題：米行有大米若干袋，第一次賣出庫存的一半多20袋，第二次賣出剩下的一半少10袋，第三次賣出210袋剛好賣完. 米行原有大米多少袋？

通讀題目，不難發(fā)現(xiàn)米行原有的大米即是賣出的大米與剩下大米的總和，可是賣出的大米是多少袋呢？一時(shí)一籌莫展. 捋捋思緒，我們可以順著題意畫出如下示意圖，定能從中有所感悟.

循著題意的來龍去脈，倘若第二次正好賣出剩下的一半，那么剩下的大米就少了10袋，即200袋，不難算出第一次賣出后剩下的大米共有200 × 2 = 400袋；同理可推，倘若第一次賣出的正好是庫存的一半，那么剩下的大米就應(yīng)該是400 + 20 = 420袋，顯而易見，米行原有的大米有420 × 2 = 840袋.

紛繁復(fù)雜的文字描述或許擾亂了學(xué)生的思緒，但凡有了簡明扼要的圖示，學(xué)生即能走出困境，理清數(shù)量間的相互關(guān)系，解決問題的途徑也就水落石出了.

2. “畫”在思辨混淆處

小學(xué)生的年齡小，思維極易受到相近知識(shí)的干擾，導(dǎo)致思辨模糊不清，更有甚者理解片面化、極端化，產(chǎn)生思維定式. 為了弄清知識(shí)的真?zhèn)危瑤椭鷮W(xué)生形成正確、條理的認(rèn)知，畫圖有著不可估量的作用.

如一年級(jí)數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾，已知其中一個(gè)數(shù)，求另一個(gè)數(shù)”時(shí)，學(xué)生常常會(huì)受思維定式的影響，看到“多”就用加法計(jì)算，看到“少”就用減法計(jì)算，不明就里的張冠李戴，不僅解決不了問題，反而混淆了對(duì)新知的理解和掌握.

例1：手工課上，明明做了12朵紙花，紅紅比明明多做了3朵. 紅紅做了多少朵紙花？

緊鎖題眼“多”，誰做得多呢？是明明還是紅紅？據(jù)題意，可選用表示紙花，畫出下面的圖示：

明明：

紅紅：

和明明一樣多的部分 比明明多的部分

形象的圖示讓學(xué)生很快找到解決問題的辦法，12 + 3 = 15（朵）

例2：手工課上，明明做了12朵紙花，比紅紅多做了3朵. 紅紅做了多少朵紙花？

和例1相同的條件仍然是“多”，不同的是“多的對(duì)象”. 明明比紅紅做得多，紅紅就比明明做得少. 據(jù)題意，仍用表示紙花，可以畫出下面的圖示：

明明：

紅紅：

比明明少的部分

原來紅紅做的紙花只有12 - 3 = 9（朵）.

圖示辨析了思維，使學(xué)生明了“不是看到‘多就用加法計(jì)算，也不是看到‘少就用減法計(jì)算”. 思維清晰了，問題解決了，方法也就習(xí)得了.

二、因“畫”而明

美國教育家蘇娜丹戴克曾說過：“告訴我，我會(huì)忘記；做給我看，我會(huì)記??；讓我參加，我就會(huì)完全理解. ”學(xué)生在思維受困、思辨混淆的時(shí)候，畫圖成為學(xué)生解決問題的迫切需要，當(dāng)這種需要通過數(shù)形結(jié)合的直觀顯現(xiàn)傾瀉在學(xué)生的筆下時(shí)，學(xué)生從中學(xué)會(huì)梳理，主動(dòng)進(jìn)行建構(gòu)，自然就能獲得能力的提升和拓展.

1. 在“畫”中梳理

畫什么？怎么畫？嚴(yán)重影響和制約著問題的解決. 數(shù)學(xué)的圖是用抽象的符號(hào)代替具體的實(shí)物，把題目呈現(xiàn)的信息通過圖畫的方式表示出來，即對(duì)已知條件和問題進(jìn)行梳理，梳理的過程也就是思維條理清晰化的過程，問題的解決即初具形態(tài). 如六年級(jí)數(shù)學(xué)中關(guān)于“比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”的實(shí)際問題，學(xué)生常常確認(rèn)不了單位“1”的量，自然也就形成了南轅北轍的問題現(xiàn)狀. 其實(shí)，借助簡單的線段圖邊畫邊梳理已知條件和問題，思維的角度和方向也就明確了，問題的結(jié)果也就水到渠成了.

例：圖書角有故事書24本，文藝書的本數(shù)比故事書多. 圖書角有文藝書多少本？

梳理已知條件，文藝書的本數(shù)比故事書多，故事書的本數(shù)是單位“1”的量，也就是比較的標(biāo)準(zhǔn)量；文藝書的本數(shù)比故事書多了故事書本數(shù)的，即把故事書的本數(shù)平均分成3份，文藝書多了這樣的1份，即有這樣的4份. 不難發(fā)現(xiàn)，原來文藝書的本數(shù)是故事書本數(shù)的. 整理線段圖如下：

2. 在“畫”中建構(gòu)

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、得到結(jié)果、解決問題的過程. 從這個(gè)角度講，畫圖不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實(shí)問題提供重要工具，從而實(shí)現(xiàn)模型思想的主動(dòng)建構(gòu).

如一年級(jí)數(shù)學(xué)中關(guān)于括線的認(rèn)識(shí). 在數(shù)學(xué)中，括線用來表示將兩部分或兩部分以上的數(shù)據(jù)合并成一部分，即加法運(yùn)算的模型所在. 對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來說，枯燥的概念描述顯然是蒼白無力的，淺顯易懂的圖示反倒有著事半功倍的效果，極好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，生動(dòng)詮釋了加法的深刻意義. （如下圖）

圖1中，盤子里有5個(gè)蘋果，盤子外面有3個(gè)蘋果，一共有8個(gè)蘋果. 把左右兩部分蘋果合起來，完成了加法意義的建構(gòu).

圖2中，兩部分一共有7個(gè)羽毛球，其中左邊有1個(gè)，右邊有幾個(gè)羽毛球呢？這既是對(duì)加法逆運(yùn)算——減法的理解，同時(shí)也是對(duì)方程的雛形的感知.

3. 在“畫”中提升

畫圖作為一種解決問題的途徑和方法，不僅可以形象直觀地反映數(shù)量間的關(guān)系，啟迪學(xué)生的思維，而且可以通過“畫”調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

如四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“搭配的學(xué)問”. 小明買一個(gè)木偶娃娃（共3個(gè)），再配上一頂帽子（共有2頂）. 小明可以有多少種選配方法？根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生不難說出其中的選配方法，但有些凌亂，顯得無序，且不夠全面. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮圖示的優(yōu)勢(shì)，分別用自己所熟識(shí)的符號(hào)表示木偶娃娃和帽子，通過不同的組合，就可以輕松而有序地找到多種不同的選配方法. （摘選部分圖示如下）

學(xué)生通過畫一畫，深刻體會(huì)到圖示對(duì)解決問題的重要幫助，選擇不同的符號(hào)對(duì)題意進(jìn)行梳理，并能結(jié)合自己的“畫”中思考分析問題和解決問題，尋找到問題的結(jié)果，同時(shí)也是學(xué)會(huì)、會(huì)學(xué)、能學(xué)的能力體現(xiàn).

新的課程改革呼喚創(chuàng)新的思維方法，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的“六解放”，即解放孩子的頭腦，使孩子敢想；解放孩子的雙手，使孩子能干；解放孩子的眼睛，使孩子會(huì)觀察；解放孩子的嘴巴，使孩子多說；解放孩子的空間，使孩子能到大自然中去學(xué)習(xí)；解放孩子的時(shí)間，使孩子能充分發(fā)揮自己的聰明才智. 畫圖作為一種創(chuàng)新的、實(shí)用的、可操作的學(xué)習(xí)方式，給予學(xué)生更多想像的空間、表達(dá)的機(jī)會(huì)、提升的高度，真正實(shí)現(xiàn)樂學(xué)、會(huì)學(xué)、博學(xué)的高屋建瓴的最佳境界.