導數(shù)在高中數(shù)學中的應用

馬麗娜

在中學數(shù)學中，有許多以高等數(shù)學知識為背景的問題，若用初等數(shù)學方法去解往往繁雜冗長，如果能認真研究問題的來龍去脈，適當利用相關知識，問題就會很容易得到解決，導數(shù)作為微積分的核心概念之一，進入高中新教材給傳統(tǒng)的中學數(shù)學內(nèi)容注入了生機與活力，為中學數(shù)學問題的研究提供了新的平臺，拓寬了高考數(shù)學命題的空間.

下面結(jié)合具體實例從以下六個方面來說明導數(shù)在中學數(shù)學中的應用.

一、導數(shù)在解決函數(shù)問題中的應用

導數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，借助導數(shù)對可導函數(shù)的單調(diào)性能進行透徹的分析，為求函數(shù)的極值、最值提供一種簡單快捷的方法.之前討論一些函數(shù)的性態(tài)如單調(diào)性、極值性、奇偶性、周期性等都受到方法的限制，討論得既不深刻也不全面，且計算煩瑣，也不易掌握其規(guī)律，導數(shù)為我們深刻全面地研究函數(shù)的性態(tài)提供了有力的數(shù)學工具.

（一）研究函數(shù)的單調(diào)性

導數(shù)的幾何意義是研究函數(shù)圖像曲線變化規(guī)律的一個重要工具，是判斷函數(shù)單調(diào)性的最優(yōu)化的方法.

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性主要根據(jù)以下定理：若函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)可導，？坌x∈I若f′（x） < 0，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；若f′（x） > 0，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).

（二）求函數(shù)的最（極）值

中學數(shù)學教材的二次函數(shù)、三角函數(shù)和不等式內(nèi)容都涉及求函數(shù)的極值、最大（小）值的問題，所用方法不外乎是函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)性、三角函數(shù)的有界性，判別式法，二次函數(shù)的圖像，基本不等式以及由基本不等式推導出的重要不等式，但它們要求很高的處理技巧，對于很多函數(shù)極值問題都不能用上面的方法解決，有很大的局限性.若用導數(shù)來解則淡化技巧，學習了導數(shù)，函數(shù)極值和最值才算得到了徹底的解決.

費馬定理指出：若函數(shù)在x0可導，且x0是函數(shù)f（x）的極值點，則f′（x） = 0，即可導函數(shù)f（x）的極值點x0必是方程f′（x） = 0的根.費馬定理給出尋找可導函數(shù)極值點的范圍.即函數(shù)f（x）的極值點必在函數(shù)f（x）的穩(wěn)定點的集合中，但穩(wěn)定點又不一定都是極值點.通常我們可以按下法求已知函數(shù)f（x）的極值：

① 寫出f′（x），然后求使此導數(shù)為零的點；

② 應用第一判別法或第二判別法來驗證是否是極值點；可以用二階導數(shù)f″（x）來判斷.

區(qū)間I的最小值和最大值統(tǒng)稱為最值.求可導函數(shù)的最值可歸結(jié)為求可導函數(shù)在穩(wěn)定點及區(qū)間端點函數(shù)值中的最值.生產(chǎn)實踐和科學實驗所遇到的最好、最省、最大、最小等問題都可以歸結(jié)為數(shù)學的最值問題.

（三）函數(shù)圖像的描繪

中學數(shù)學教材在介紹二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)時通常用描點法作出函數(shù)的圖像.這種圖像一般是粗糙的，不一定能準確地反映曲線在一些點和區(qū)間上的性態(tài).因為描點法所選取的點不可能很多，而一些關鍵性的點，如極值點、拐點等可能漏掉，曲線的單調(diào)性、凸凹性等一些重要的性態(tài)也沒有掌握.因此，用描點法所描繪的函數(shù)圖像常常與真實的函數(shù)圖像相差很多.

現(xiàn)在學習了導數(shù)及其應用后，就可以應用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值性、凸凹性、拐點等的方法，從而比較準確地描繪函數(shù)圖像，一般來說描繪圖像可按下列的步驟進行：

（1）確定函數(shù)y = f（x）的定義域；

（2）觀察函數(shù)y = f（x）是否具有某些特征（奇偶性等）；

（3）觀察函數(shù)y = f（x）是否有垂直漸進線、斜漸進線，如果有漸進線將漸進線求出來；

（4）求出函數(shù)y = f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值，列表；

（5）求出函數(shù)y = f（x）的凹凸區(qū)間和拐點，列表；

（6）確定一些特殊點，如曲線y = f（x）與坐標軸的交點，以及容易計算函數(shù)值f（x）的一些點（x，f（x））.

在直角坐標系中，首先標明所有關鍵性點的坐標，畫出漸進線，其次按照曲線的性態(tài)逐段描繪.

二、導數(shù)在求曲線的切線方程中的應用

導數(shù)的引入拓寬了解決解析幾何問題的思路，f′（x0）的幾何意義是曲線y = f（x）上點（x0，f′（x0）） 處切線的斜率，故可據(jù)此來研究與曲線切線相關的問題，同時解析幾何的許多最值問題也可以用導數(shù)來處理.

求曲線的切線方程是導數(shù)的重要應用之一，用導數(shù)求切線方程的關鍵在于求出切點P（x0，y0）及斜率，其求法為：設P（x0，y0）是曲線y = f（x）上的一點，則以P的切點的切線方程為：y - y0 = f′（x0）（x - x0）.若曲線y = f（x）在點P（x0，f（x0））的切線平行于y軸（即導數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為x = x0.

下面是四種常見的類型及解法.

類型一：已知切點，求曲線的切線方程

此類題較為簡單，只需求出曲線的導數(shù)f′（x），并代入點斜式方程即可.

類型二：已知斜率，求曲線的切線方程

此類題可利用斜率求出切點，再用點斜式方程加以解決.

類型三：已知過曲線上一點，求切線方程

過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法.

類型四：已知過曲線外一點，求切線方程

此類題可先設切點，再求切點，即用待定切點法來求解.

三、導數(shù)在研究方程根的分布中的應用

設函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)，f′（x）在（a，b）上保持符號，若f（a）f（b） < 0，則f（x） = 0在（a，b）上有唯一實根，若f（a）f（b） > 0，則f（x） = 0在（a，b）上無實根.

此結(jié)論可推廣到無窮區(qū)間的情形，即：設函數(shù)f（x）在（a，+∞）上連續(xù)，f′（x）在（a，+∞）上保持符號，若f（a）與 f（x）異號，則f（x） = 0在（a，+∞）上有唯一實根，若f（a）與 f（x）同號，則f（x） = 0在（a，+∞）上沒有實根，對于區(qū)間（-∞，a）的情形有類似結(jié)論.

讓我們以導數(shù)的概念為入口，以導數(shù)的計算為抓手，以導數(shù)的應用為核心，站在增強應用意識、培養(yǎng)創(chuàng)新精神的高度，從而使導數(shù)在中學數(shù)學學習中發(fā)揮出它應有的功用.