高等數(shù)學中證明不等式的若干種方法

王云霞

【摘要】 不等式作為一個重要的分析工具和分析手段，在初等數(shù)學中已做過很多的研究，比如：換元法（增量換元法、三角換元法、比值換元法等），構(gòu)造法（構(gòu)造對偶式模型、構(gòu)造函數(shù)模型、構(gòu)造二次函數(shù)模型等），放縮法（去掉式子中的某些項放縮、應(yīng)用常用不等式放縮、適當放大或縮小某些項等）等等. 本文主要介紹高等數(shù)學中不等式的證明的六種方法：利用拉格朗日中值定理證明不等式、利用泰勒定理證明不等式、利用單調(diào)性證明不等式、利用極值和最大（小）值證明、利用函數(shù)的凹凸性進行不等式的證明以及涉及累次積分的不等式的證明.利用函數(shù)的各種特性來證明不等式，使不等式的證明更具普遍性和一般性.

【關(guān)鍵詞】 拉格朗日中值定理；泰勒定理；單調(diào)性； 極值；凹凸性

在高等數(shù)學及其應(yīng)用中，不等式的證明是一個比較復(fù)雜的問題，形式太多也就相應(yīng)的方法很多，但如果找到一種行之有效的方法將會達到一個事半功倍的效果，本文將介紹六種常見的方法：

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

利用拉格朗日中值定理可證明聯(lián)合不等式，步驟為：

（1）從中間表達式確定出f（x）及區(qū)間[a，b]；

（2）驗證f（x）在[a，b]滿足拉格朗日中值定理條件，得

二、利用泰勒定理證明不等式

如果已知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)存在，則往往可以考慮通過考慮泰勒公式將函數(shù)展開來進行證明.

三、利用單調(diào)性證明不等式

該方法適用于某區(qū)間成立的不等式，數(shù)字不等式通常是通過做輔助函數(shù)來完成，步驟為：

（1）移項（有時需要作簡單的恒等變形），使不等式的一端為“0”，另一端即為所求作的輔助函數(shù)f（x）；

（2）求f′（x），并驗證f（x）在指定區(qū)間的增減性（有時需求f ″（x），f ′″（x）才能判別f（x）在指定區(qū)間的增減性）；

（3）求出區(qū)間端點的函數(shù)值（或極限值），做出比較即得所證.

例3 設(shè)x > 0，常數(shù)a > e，證明（a + x）a < aa+x

不等式的證明方法除了上述之外還有很多，大家在學習的過程中可以進一步補充.

【參考文獻】

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