關(guān)于中美大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些對比和分析

杜志華

摘要：中美大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)模式、師生關(guān)系和教學(xué)效果等方面存在比較大的差別。文中通過中美大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些對比和討論，分析了兩種大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在諸多方面的不同特點，結(jié)合借鑒美國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些優(yōu)秀的經(jīng)驗，為了使我國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更富有成效，給出有關(guān)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些建議。

關(guān)鍵詞：大學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；中美兩國；教學(xué)對比

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）22-0004-03

眾所周知，數(shù)學(xué)在人類文明和社會發(fā)展的歷史中起著非常重要的作用。信息科學(xué)的不斷革新，工程技術(shù)的長久進(jìn)步，經(jīng)濟學(xué)說的廣泛發(fā)展，社會文化的深入研究等等，無不依賴于或借助于種種美妙數(shù)學(xué)思想和精巧的數(shù)學(xué)方法。特別是人類社會發(fā)展到今天，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到人類社會生活的方方面面。數(shù)學(xué)還對人類的思維和智力發(fā)展起了推動作用，數(shù)學(xué)是思維的體操。通過不斷的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，人類的智力水平在不斷地提升。數(shù)學(xué)教育的成功，現(xiàn)在可以毫不夸張地說，會嚴(yán)重影響到人類社會的發(fā)展和世界的未來。任何一個國家要為人類做出貢獻(xiàn)必須得重視和加強數(shù)學(xué)教育。數(shù)學(xué)的發(fā)展主要依賴于對已存在的數(shù)學(xué)知識和方法的教育、傳承和對未知數(shù)學(xué)知識和方法的創(chuàng)造和研究。本文主要考慮數(shù)學(xué)的教育方面，不涉及數(shù)學(xué)的研究方面。數(shù)學(xué)的教育方面僅涉及學(xué)校教育的數(shù)學(xué)教學(xué)方面，至于數(shù)學(xué)的家庭（home-schooled）或其他團體的數(shù)學(xué)教育不在考慮之列。粗略地講，數(shù)學(xué)的學(xué)校教育分初等數(shù)學(xué)教育和高等數(shù)學(xué)教育，初等數(shù)學(xué)教育主要集中于小學(xué)和中學(xué)的數(shù)學(xué)教育，高等數(shù)學(xué)教育集中于大學(xué)及研究院的數(shù)學(xué)教育。關(guān)于這一點，中美大致相同，但略有差別，譬如美國中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的一些AP課程（Advanced Placements，俗稱大學(xué)先修課程）實際上已經(jīng)涉及到高等數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容。除了下文中涉及到對大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響外，我們基本不討論初等數(shù)學(xué)教育。此外，本文也僅僅討論高等數(shù)學(xué)教育的大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)部分，主要討論中美大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)各自的一些特點；通過對比分析和討論，結(jié)合借鑒美國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)秀的經(jīng)驗，給出一些建議，以期對我國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有所裨益。

一、教學(xué)目的對比

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)一般分為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和研究生數(shù)學(xué)教學(xué)。前者主要在大學(xué)本科四年或?qū)？迫昶陂g完成，后者在大學(xué)畢業(yè)后研究生階段的三至六年時間內(nèi)完成。二者的教學(xué)目的是不一樣的，前者的教學(xué)目的是要求學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的一些基本知識和方法，為進(jìn)一步的專業(yè)領(lǐng)域的知識和方法的學(xué)習(xí)預(yù)備必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。而后者的教學(xué)目的是通過對深入或?qū)ｉT的數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，為從事專業(yè)領(lǐng)域的研究預(yù)備必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。不同專業(yè)開設(shè)的數(shù)學(xué)課程可以不同，但是通過對相應(yīng)的數(shù)學(xué)課程的教學(xué)和學(xué)習(xí)，都一致地是要達(dá)到上述目標(biāo)。從這個大方面來講，如此的大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的對中美兩國并無不同。然而，從小的方面來講，中美兩國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)目的有差別。中國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)比較重視對理論的學(xué)習(xí)，而美國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)更側(cè)重所學(xué)知識和方法的應(yīng)用。

二、教學(xué)模式對比

中美大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在教學(xué)模式上有很大的不同，相同的地方當(dāng)然是要通過教與學(xué)使學(xué)生盡可能地掌握所學(xué)的知識和方法并加以應(yīng)用。二者的不同之處及原因，主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

1.師資方面。大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)主要由從事數(shù)學(xué)或相近專業(yè)（如統(tǒng)計、物理等）工作的人員來承擔(dān)和完成。即便如此，中美的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的師資力量不完全相同，當(dāng)然一般是由教授、副教授和講師組成，這一點中美兩國都一樣。美國還有一種所謂的TA（teaching assistant）師資，由在讀的研究生組成。即在讀的研究生可以申請TA，承擔(dān)一些大學(xué)數(shù)學(xué)課程或習(xí)題課的教學(xué)，中國的研究生助教在校是不能進(jìn)行正規(guī)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的。美國數(shù)學(xué)研究生畢業(yè)找工作的時候需要寫一個Teaching Statement，因此也要求他們在研究生階段從事TA的工作。另外一個差別，美國的大學(xué)除了已經(jīng)有Tenure或正在追Tenure本校數(shù)學(xué)教師和其正在培養(yǎng)的研究生（碩士、博士都有）作為數(shù)學(xué)課程的任課教師，有時還會通過支付一定薪酬的方式短期或長期招聘一些不占Tenure的畢業(yè)生或其他學(xué)校教師擔(dān)任數(shù)學(xué)課程的任課教師。相比而言，中國的大學(xué)數(shù)學(xué)教師都必須是已經(jīng)畢業(yè)且獲得從教資格的本校教師?，F(xiàn)在的一個默認(rèn)的規(guī)定，在大學(xué)上講壇講授數(shù)學(xué)課程的必須博士畢業(yè)，具有博士學(xué)位是最低且必須滿足的條件。從表面的對比來看，美國的大學(xué)對數(shù)學(xué)教學(xué)的師資要求不如中國的嚴(yán)格。但這個表面只停留在學(xué)位及畢業(yè)證書和教師資格證等等本本的有無上，實質(zhì)上美國大學(xué)對大學(xué)數(shù)學(xué)課程的任課教師的要求重在教學(xué)能力以及教學(xué)能力的培養(yǎng)（后者主要是針對承擔(dān)教學(xué)的研究生而言），而不在于是否有上崗必需的一些證書。這是中美大學(xué)數(shù)學(xué)教師的本質(zhì)差別所在。師資方面的對比，中美兩國的主要不同體現(xiàn)在上崗條件的要求不同，中國的大學(xué)數(shù)學(xué)教師從教有硬性要求，美國有要求但沒有硬性規(guī)定必須的條件。從對大學(xué)數(shù)學(xué)教師的能力要求看，二者的條件都是比較高的，他們對所要講授的數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容要有很好的理解和把握，能解答教學(xué)中可能出現(xiàn)的來自學(xué)生所遇到的各種疑惑和提出的各種問題。

2.學(xué)生方面。中美兩國大學(xué)里的學(xué)生對數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中的學(xué)習(xí)方式和習(xí)慣是不同的。在正常的教學(xué)過程中，中國的學(xué)生很少會在課堂對某個知識點、公式推導(dǎo)或計算推理提出自己的疑惑或問題，并尋求老師解答或提供給同學(xué)們思考。中國的大學(xué)數(shù)學(xué)教師因為在規(guī)定的教學(xué)時間內(nèi)要完成一定的教學(xué)內(nèi)容或者由于其他原因，不鼓勵甚至不贊成學(xué)生在課堂上提問，學(xué)生有問題可以在課間或?qū)ｉT的答疑時間提出并給予解答，即使有專門的答疑時間，可還是很少有學(xué)生在這個時間提出疑慮或問題。而美國的學(xué)生很善于提問，無論在課堂上還是去教師的辦公室尋求答疑，不管他的問題看起來多么的簡單，只要學(xué)生他自己感到有疑惑或問題，他需要弄清楚他就會提出來尋求老師的解答。即使是MIT（麻省理工學(xué)院）的學(xué)生，在課堂上也會問一些在我們中國人看來非常簡單甚至不成為問題的問題，MIT有專門的公開課視頻網(wǎng)站，從中可以看到美國學(xué)生在提問上比較活躍。另外，美國的大學(xué)教師是比較喜歡學(xué)生在課堂提問題，會在課堂上任何時段給出時間讓學(xué)生提問題和鼓勵學(xué)生提問題，使一些問題在課堂上及時有效地得到解答，幫助學(xué)生更好地消化和理解所學(xué)的知識和方法。

3.課程教材。中美大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)課程的教材和教材使用的方式也有差別。中國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中采用的數(shù)學(xué)教材往往相對固定，譬如，許多院校的微積分課程的教材一直沿用的是同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》，經(jīng)過多次修訂和改版，現(xiàn)在已經(jīng)到了第六版了。而美國大學(xué)的數(shù)學(xué)課程的教材不固定，如同其初等數(shù)學(xué)教學(xué)一樣，不同學(xué)校不同專業(yè)（即使相同專業(yè)）甚至不同教師，使用的教材也不盡相同，一般是沒有指定教材的，教材只作參考用。其教材一般是由任課教師參考諸多相關(guān)書籍進(jìn)行summary或自己編寫的講義。因此，中國大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)在教學(xué)內(nèi)容上具有相對固定性或一定范圍內(nèi)的統(tǒng)一性（主要是為了滿足現(xiàn)行的研究生數(shù)學(xué)考試或每個學(xué)校同一課程的統(tǒng)一考試），而美國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容卻比較靈活，有些內(nèi)容和中國的數(shù)學(xué)教材里的有關(guān)內(nèi)容相同，更多內(nèi)容與中國教材里的不同甚至是中國教材里沒有的，當(dāng)然教學(xué)內(nèi)容的選擇取決于學(xué)校和教師，而這些講義經(jīng)過多次的使用后來很多都被出版成書，成為新的參考材料。教材使用的固定性和靈活性的不同決定了中美兩國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的存在必然的差別。前者由于內(nèi)容相對固定，在限定的時間內(nèi)，教師可引申和發(fā)揮的余地不大，而后者從講義編寫的開始就可以在內(nèi)容上靈活地加以選擇和發(fā)揮。當(dāng)然，美國大學(xué)數(shù)學(xué)教材可以靈活地選擇和編寫，取決于美國的大學(xué)對課程考試的形式相對中國也比較靈活，教師有決定考試內(nèi)容和考試形式的權(quán)力，不同的教師講授同樣的課程而考試的內(nèi)容和試題可以不盡相同。盡管如此，基本的數(shù)學(xué)知識和方法在其教學(xué)和考試中一定是會涉及到。

4.教學(xué)方法和手段。課內(nèi)教學(xué)是針對一定的教學(xué)內(nèi)容由教師按照一定的教學(xué)方法和手段進(jìn)行實施的。教學(xué)方法其實是因人而異的，不同的教師會有不同的教學(xué)方法，沒有可能做到標(biāo)準(zhǔn)化，也沒有必要標(biāo)準(zhǔn)化。雖然如此，眾多教學(xué)方法還是可以分成兩個大類：單邊灌輸型和雙邊互動型。前者主要是以教師為中心并主導(dǎo)教學(xué)的，學(xué)生主要是被動地接受知識；后者則是以學(xué)生為中心的教學(xué)方式，教師的作用是引導(dǎo)、啟發(fā)和幫助學(xué)生主動去學(xué)習(xí)。在前者的整個教學(xué)過程中，學(xué)生很少會提問題或有提問題的時間，主要以教師講解為主；后者的教學(xué)過程中，學(xué)生可以在教學(xué)過程中的任何時段提出問題，教師也會給學(xué)生提問題的時間，讓學(xué)生對所學(xué)的知識和方法進(jìn)行主動思考。中國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主要以前者為主，鮮有后者作為補充。而美國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)顯然采取的是后者，這也是美國學(xué)校教育的一貫采取的教學(xué)方法，不論小學(xué)、中學(xué)還是大學(xué)的教學(xué)。關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)手段，中美兩國也存在差別?，F(xiàn)今中國的大學(xué)教學(xué)已經(jīng)習(xí)慣使用PPT，當(dāng)然大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外。然而，美國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)絕大多數(shù)情形仍是傳統(tǒng)的手寫黑板形式。

三、教學(xué)效果對比

學(xué)生在生活中以及畢業(yè)后在工作實際中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力也可以反映出大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)效果的好壞。除了數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生外，美國大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的教學(xué)中對證明的要求沒有中國強，相反地，美國的大學(xué)教學(xué)更側(cè)重于數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，所以在其教學(xué)中總會看到很多實際應(yīng)用的例子。因此，只要是在大學(xué)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中表現(xiàn)不錯的學(xué)生在他們的工作和生活實際中運用數(shù)學(xué)知識的反應(yīng)力和能力比中國大學(xué)培養(yǎng)出來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較好的學(xué)生一般要好。這個差別的主要原因在于對教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點不同，一個側(cè)重于理論的掌握，一個側(cè)重于知識的應(yīng)用。盡管在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中（除數(shù)學(xué)專業(yè)外），定理的證明在教學(xué)中所占的比重不大，但是美國出版的大學(xué)數(shù)學(xué)講義里帶嚴(yán)格的定理證明，學(xué)生可以通過自學(xué)可以學(xué)習(xí)到嚴(yán)格的理論，而對于經(jīng)過美國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)訓(xùn)練的學(xué)生做到這一點并不是件難事。原因在于經(jīng)過問題解答式的數(shù)學(xué)教學(xué)訓(xùn)練和學(xué)習(xí)，是符合人的認(rèn)知規(guī)律的，會培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)自學(xué)能力。事實上，個人自我學(xué)習(xí)的過程是和美國大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程是一致的，也是問題驅(qū)動、尋求解答，然后加以應(yīng)用和創(chuàng)造的過程。在這個意義上講，美國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)效果更好一些。

四、教學(xué)特點分析

1.教學(xué)中的師生關(guān)系分析。中美兩國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)出不同的師生關(guān)系。“師者，所以傳道授業(yè)解惑也”。在中國，在教學(xué)中體現(xiàn)出的師生關(guān)系是教師的位置往往要高于學(xué)生，因為學(xué)生所學(xué)的知識需要教師來教授，學(xué)生在教學(xué)中往往是在被動地接受教師講授的知識，無形中形成教師在教學(xué)中的主體和中心地位，學(xué)生往往處于被動和次要地位。美國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)出的師生關(guān)系與中國正好相反，在教學(xué)中學(xué)生處于主體和中心地位，教師在教學(xué)中的一切活動都是為了幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和理解所學(xué)的知識和方法，所以學(xué)生往往可以教學(xué)過程中提出自己對所學(xué)知識和方法存在的問題和疑惑，教師也歡迎并樂意解答學(xué)生提出的問題。對比而言，中國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的師生關(guān)系重點體現(xiàn)在“傳道”，而美國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的師生關(guān)系重點體現(xiàn)在“授業(yè)和解惑”。師生關(guān)系的不同，對教學(xué)的影響是不同的，各有特點。中國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中表現(xiàn)出來的師生關(guān)系，對于學(xué)生在短時間內(nèi)學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)內(nèi)容是有幫助的，但不利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及主動地去學(xué)習(xí)的習(xí)慣；而美國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中保持的師生關(guān)系，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和養(yǎng)成善于提問并尋求解答的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對于創(chuàng)造力的培養(yǎng)有很大的益處，不利的是在相同時間內(nèi)學(xué)習(xí)到的具體數(shù)學(xué)知識和方法可能不及中國學(xué)生多。

2.學(xué)習(xí)特點和創(chuàng)新能力分析。中美大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的種種不同，決定了中美大學(xué)生的在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的學(xué)習(xí)特點和創(chuàng)新能力的不同。

從學(xué)習(xí)特點上看，中國大學(xué)的學(xué)生通過教師在課堂上講授，經(jīng)過課后的作業(yè)和訓(xùn)練，可以在短時間內(nèi)學(xué)習(xí)到很多規(guī)定內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識和方法，而且對所學(xué)知識和方法的掌握表現(xiàn)得很扎實。作為一般的大學(xué)生在知識和方法的識記和計算能力往往強于美國的學(xué)生，但這種能力是從初等教育開始就不斷反復(fù)和強化訓(xùn)練的結(jié)果（要知道，美國的中小學(xué)生花在作業(yè)和課后學(xué)習(xí)的時間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及中國學(xué)生的，關(guān)于這一點可見文獻(xiàn)[1]）。美國大學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點是在一定的時間內(nèi)學(xué)到的數(shù)學(xué)知識和方法在廣度和深度上（除數(shù)學(xué)專業(yè)外）可能不及中國學(xué)生多，計算能力也未見得比中國學(xué)生強，但對所學(xué)知識和方法的理解不會比中國學(xué)生差，甚至更強，主要原因是他們所學(xué)的知識和方法往往是在不斷地提問和解答中學(xué)習(xí)到的。中美兩國大學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)特點的最大不同點在于：中國學(xué)生是被動和被灌輸式的；美國學(xué)生是主動和問題解答式的。這兩種不同的學(xué)習(xí)特點導(dǎo)致了前者在應(yīng)試上比后者表現(xiàn)突出，而后者在對知識和方法的創(chuàng)新能力方面比前者強?？傮w而言，中國大學(xué)生的學(xué)習(xí)特點是對規(guī)定和已知的知識和方法的模仿學(xué)習(xí)能力很強，但對完全陌生或未知的知識和方法的創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力不足。美國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)使得學(xué)生在知識和方法的模仿和識記能力的表現(xiàn)雖不盡如人意，但美國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)會使學(xué)生的創(chuàng)造力得到培養(yǎng)，而中國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)恰恰相反，學(xué)生的創(chuàng)造力未被得到培養(yǎng)，甚至有失去創(chuàng)造能力的可能。

五、結(jié)語

鑒于上述對比和分析，我們應(yīng)在現(xiàn)行的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中更多地重視起教學(xué)的實質(zhì)而非一些形式的東西，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點應(yīng)該放在幫助學(xué)生主動去學(xué)習(xí)、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和加強學(xué)生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)上。具體來講，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展規(guī)律和人的認(rèn)知規(guī)律，重視學(xué)生在教學(xué)過程中對所學(xué)知識和方法會遇到的困惑和提出的問題，并及時給予解答；在教學(xué)中給予學(xué)生提問和解答學(xué)生問題的時間和環(huán)境，在教學(xué)中以學(xué)生的學(xué)習(xí)為主體，引導(dǎo)和幫助學(xué)生有意識主動地去學(xué)習(xí)，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力；應(yīng)該重視教學(xué)研究和比較教育研究（如文獻(xiàn)[2]），吸收借鑒中西方大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中優(yōu)秀經(jīng)驗，使我國的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更易于發(fā)揮學(xué)生的潛能，使他們無論在數(shù)學(xué)知識和方法的學(xué)習(xí)還是創(chuàng)新上比現(xiàn)在都有進(jìn)步和提高。

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