導(dǎo)數(shù)與積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

【摘 要】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，對于經(jīng)濟(jì)的分析也逐漸的引起了更多的人的重視，使用數(shù)學(xué)問題來解決經(jīng)濟(jì)問題是一個很好地途徑因此顯得越來越重要。導(dǎo)數(shù)和積分等高等書序知識，在對經(jīng)濟(jì)進(jìn)行分析時(shí)有著重要的作用，是十分關(guān)鍵的工具，因此可以使用導(dǎo)數(shù)和積分的知識在經(jīng)濟(jì)活動中對實(shí)際的問題進(jìn)行分析，從而為了企業(yè)的營業(yè)者提供一個正確的決策，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。本文主要對于如何將導(dǎo)數(shù)和積分應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)分析中進(jìn)行了簡析，希望能夠起到一定的參考價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】經(jīng)濟(jì)分析 數(shù)學(xué)應(yīng)用 導(dǎo)數(shù) 積分

1 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

所謂導(dǎo)數(shù)，指的就是數(shù)學(xué)中的因變量的增加量與自變量的增加的量的比值，當(dāng)這個增量無限的趨近于零的時(shí)候，就能夠得到這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。將其使用在經(jīng)濟(jì)分析中，經(jīng)常是使用f（0）來表示在0這個位置的變化率的，往往應(yīng)用到邊際問題以及彈性問題上。

在經(jīng)濟(jì)分析中，經(jīng)常會使用“平均”以及“邊際”這兩個概念來描述經(jīng)濟(jì)變量的變化情況。其中，平均的概念表示的是在自變量x處于某一個范圍時(shí)，因變量y隨之產(chǎn)生的變化情況。而邊際的概念指的則是當(dāng)自變量x的值處于某一個特定值的時(shí)候，其對應(yīng)的邊緣值y的變化情況。因此通過數(shù)學(xué)概念中倒數(shù)的定義，可以知道邊際概念指的就是平均量x的值的變化量無限小的時(shí)候?qū)?yīng)的y值的變化。在實(shí)際的應(yīng)用中，經(jīng)過用到的邊際變化包括：邊際成本、邊際利潤以及邊際效益等。

首先，可以使用導(dǎo)數(shù)來對邊際成本進(jìn)行分析。如果某種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為一個函數(shù)C（x），那么就可以將其邊際成本定義為其成本函數(shù)C（x）的導(dǎo)數(shù)，這種定義方式是有其實(shí)際的經(jīng)濟(jì)含義的，即：在產(chǎn)量為x的時(shí)候，多生產(chǎn)一個單位地產(chǎn)品（即 x=1），那么生產(chǎn)的總成就就增加了 C，所以對于邊際成本可以將其近似的表示為C（x）的導(dǎo)數(shù)。也有西方的經(jīng)濟(jì)學(xué)家對其做出了這樣的解釋，就是在產(chǎn)量達(dá)到了某個值q的時(shí)候，生產(chǎn)q之前的最后一個單位產(chǎn)品所需要的成本。而對于邊際收益的分析與對于邊際成本的分析類似，可以將其定義為總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表示在銷售量為q的時(shí)候，只要在增加一個單位的銷售量（即 x=1），就能夠增加總收益 R（x）。同理，邊際利潤指的是總利潤函數(shù)的一個導(dǎo)數(shù)，表示在銷售量為x的時(shí)候，如果銷售量能夠增加一個單位，利潤則會相對應(yīng)的增加 L（x）。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中通常將需求量與價(jià)格的相對的變化率成為彈性，也可以將其稱為需求的價(jià)格彈性，這是在商品的價(jià)格發(fā)生變化時(shí)對于變化的強(qiáng)弱進(jìn)行描繪的最好的一種方式。在市場經(jīng)濟(jì)中，經(jīng)營者必須要對于商品的價(jià)格有一個充分的掌握，這樣才能夠正確的掌握好商品的價(jià)格，從而使得企業(yè)得到更好的發(fā)展。商品的需求彈性在計(jì)算的過程中也需要涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，在這里就不仔細(xì)說明了。

2 積分的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)之中，求積分與求導(dǎo)數(shù)是最常見的兩種運(yùn)算，并且二者之間互為逆運(yùn)算。其中，不定積分表示的是對于所有的原函數(shù)進(jìn)行求解，而定積分則是對某一個范圍內(nèi)的原函數(shù)進(jìn)行求解。與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一樣，積分的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也是十分常見的，經(jīng)常會遇到對已知函數(shù)進(jìn)行積分求解的問題，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中則表現(xiàn)為使用積分來對最值問題以及資金的流量的現(xiàn)值問題進(jìn)行求解。

首先對于最值問題的求解表示為，在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用之中對于最低的平均成本地求解，以及獲得最大的利潤的求解。例如，在對于邊際成本已知的情況下，可以通過積分的方式來對總成本函數(shù)來進(jìn)行求解，從而能夠求得最低平均成本。相似的，對于最大的利潤的求解問題也可以通過對于邊際收益函數(shù)的積分獲得原函數(shù)，從而獲得最大的收益。

對于資金流量的現(xiàn)值的求解，表示為如果有一項(xiàng)投資的收益是通過若干期實(shí)現(xiàn)的，通常情況下會以一年作為一個周期，那么每一期的期末收益會存在著一定的差異，那么就可以將這些收益稱之為“資金流量”，也可以將其稱之為收益流量。如果說對于每一期的資金流量值為R1，R2，R3…，那么在第i期的資金流量就是Ri。在這樣的條件下，如果想要求得現(xiàn)值P，以及未來的收益在現(xiàn)在的價(jià)值，就可以采用積分的方式來進(jìn)行計(jì)算。如果我們設(shè)利潤為r，那么就可以采用這樣的方式進(jìn)行計(jì)算：

第一，如果是離散的情況，那么第i期的現(xiàn)值流量Ri就可以使用對于離散值進(jìn)行積分的方式來進(jìn)行求解，也就是所有期獲得的現(xiàn)值流量的總和，即：P=。

第二，如果此時(shí)函數(shù)處于連續(xù)的狀態(tài)，那么資金流量就是時(shí)間t的一個連續(xù)的函數(shù)。將t作為時(shí)間單位，并且以年為單位進(jìn)行計(jì)算，那么在第t年得到的資金流量就是R（t），這樣求得的這一期的年末資金流量總和就是一個對于t的函數(shù)的積分，且是從0到n的一個定積分，也就是P=。

如果在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)活動中，假設(shè)每年的收益流量為a元，并且持續(xù)了5年，而且獲得的年利率為r，那么就可以使用上述的公式進(jìn)行求解，并給此時(shí)R（t）是一個定值a，積分的范圍就是0到5，這樣就能夠很快的求得現(xiàn)值的大小。

3 結(jié)論

目前將數(shù)學(xué)很好地運(yùn)用在經(jīng)濟(jì)建模中是一種很常見的方式，而導(dǎo)數(shù)和積分的應(yīng)用則最為常見。對于企業(yè)這來說，在經(jīng)濟(jì)分析的過程中使用定量的方式來進(jìn)行精確地分析，得到準(zhǔn)確的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臎Q策，不但能夠使得決策者產(chǎn)生新思路進(jìn)行更好的決策起著至關(guān)重要的作用，而且對于企業(yè)得到更好的發(fā)展有著良好的促進(jìn)作用。因此本文主要分別得介紹了導(dǎo)數(shù)與積分的應(yīng)用，希望決策者能夠更好地利用數(shù)學(xué)方法做出正確決策。

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作者簡介：徐天陽，女，天津市武清區(qū)楊村一中高三24班

20001028出生。