利用系統(tǒng)理論的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)

鄭銳麗 吳澤賓

摘 要：本文主要應(yīng)用系統(tǒng)理論的觀點(diǎn)，結(jié)合部分高等數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，指出把“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)”看作一個(gè)系統(tǒng)，分析該系統(tǒng)的組分、結(jié)構(gòu)、子系統(tǒng)。并試著利用系統(tǒng)的多樣性、整體性、相關(guān)性理論理解各個(gè)系統(tǒng)，從而啟示學(xué)者如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)，為學(xué)習(xí)者學(xué)好高數(shù)提供思考，拓寬系統(tǒng)理論的實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)；子系統(tǒng)；學(xué)習(xí)；高等數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容，更是理工科學(xué)生學(xué)好專業(yè)課的基礎(chǔ)理論支撐。然而，大部分學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)存在畏難心理，對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)理解不夠全面、深刻，更不能培養(yǎng)學(xué)生解決問題的數(shù)學(xué)思維能力。系統(tǒng)的相關(guān)性、整體性、多樣性觀點(diǎn)啟示我們在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，要聯(lián)系自身情況分析學(xué)習(xí)效果，思考各知識(shí)模塊之間的聯(lián)系和區(qū)別，并從整體的角度看待“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)”這個(gè)過程。避免“只見樹木，不見森林”的局限思維，不再只是哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)不會(huì)學(xué)哪個(gè)，而是要帶著動(dòng)態(tài)聯(lián)系的思維方式來學(xué)習(xí)。

1 系統(tǒng)的闡述

系統(tǒng)是指由若干要素相互作用、并以一定的結(jié)構(gòu)形式復(fù)合組成的、在特定的外部環(huán)境下具有某種特定功能的有機(jī)整體。[ 1 ]一切事物都不可能孤立于周圍的環(huán)境，事物的內(nèi)部必定存在相互關(guān)聯(lián)的事物子群體，因而我們都可以利用系統(tǒng)的觀點(diǎn)來描述和分析。組分是指事物中包含的各個(gè)部分，不可再細(xì)分的組分稱為系統(tǒng)的要素或元素。系統(tǒng)的特性包括整體性、相關(guān)性、多樣性等。

1.1 整體性

整體性指系統(tǒng)具有其整體的布局、整體的行為方式、整體的特性、整體的功能、整體的發(fā)展方向，與外部其他系統(tǒng)整體的聯(lián)系等。[ 2 ]高等數(shù)學(xué)知識(shí)具有整體的解題思路、整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)、整體的數(shù)學(xué)思維方式、整體的邏輯結(jié)構(gòu)、整體的對(duì)理工學(xué)科產(chǎn)生的整體輔助作用等。

1.2 相關(guān)性

相關(guān)性指系統(tǒng)內(nèi)部不存在孤立的組分，任一組分或元素必定以系統(tǒng)或自身的發(fā)展為前提，與其他要素或組分相互關(guān)聯(lián)、相互依存、相互牽制、相互促進(jìn)等。學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)效率密切相關(guān)，兩者間相互作用，相互促進(jìn)或相互牽制。

1.3 多樣性

多樣性指系統(tǒng)內(nèi)部組分或要素、關(guān)系等的多元化、差異性，系統(tǒng)是多樣性的統(tǒng)一。學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)工具、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)或效果、自身基礎(chǔ)、高等數(shù)學(xué)知識(shí)是系統(tǒng)的組分，這些組分相互之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，體現(xiàn)了系統(tǒng)的多樣性或差異性。

1.4 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的可分性

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)指各組分之間相互關(guān)聯(lián)方式的總和。

系統(tǒng)的可分性或劃分子系統(tǒng)是指當(dāng)系統(tǒng)的組分或要素的數(shù)量較多，且彼此之間存在較大的差異，為了方便系統(tǒng)分析，可以將特點(diǎn)相同或相近的組分或要素合并起來，形成若干子系統(tǒng)。若利用集合的思想來描述，可設(shè)表示某個(gè)系統(tǒng)，表示其元素或組分集合，根據(jù)子系統(tǒng)與系統(tǒng)間的關(guān)系，有，稱為系統(tǒng)的子系統(tǒng)，且具有系統(tǒng)的特性。[ 6 ]

2 如何利用系統(tǒng)理論學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)

從學(xué)習(xí)者的角度分析，如果把“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)”看作一個(gè)系統(tǒng)，則可把其劃分為“學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)、自身基礎(chǔ)子系統(tǒng)、學(xué)習(xí)方法子系統(tǒng)、知識(shí)子系統(tǒng)、學(xué)習(xí)工具子系統(tǒng)、評(píng)價(jià)或效果子系統(tǒng)，這些子系統(tǒng)或組分相互作用構(gòu)成整個(gè)學(xué)習(xí)系統(tǒng)。[ 3 ]學(xué)習(xí)者必須弄清自身的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，根據(jù)自身的基礎(chǔ)特點(diǎn)確定學(xué)習(xí)方法并選擇合適的工具教輔書或?qū)W習(xí)伙伴，學(xué)習(xí)吸納知識(shí)，建立自身的知識(shí)系統(tǒng)，通過評(píng)價(jià)及時(shí)調(diào)整學(xué)習(xí)方法或樹立正確的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，以此提高學(xué)習(xí)效率或效果，不斷優(yōu)化學(xué)習(xí)系統(tǒng)。從而提高自身學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性和實(shí)際應(yīng)用能力，不斷提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。以下是系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖1：

如圖所示，箭頭方向表示子系統(tǒng)之間的作用關(guān)系，箭頭雙向說明各子系統(tǒng)之間的作用關(guān)系是雙向的。各個(gè)子系統(tǒng)之間的相互關(guān)系共同構(gòu)成了“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)”的有機(jī)整體系統(tǒng)。

從學(xué)習(xí)者的角度分析，下面給出“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)”系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)聯(lián)系圖2。

各個(gè)子系統(tǒng)又包含各個(gè)要素或組分，以下闡述各個(gè)子系統(tǒng)的組成。

1）學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)包括興趣需求、專業(yè)需求、升學(xué)需求、拿學(xué)分需求等。學(xué)習(xí)者必須認(rèn)清自身學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的，才能做出正確的學(xué)習(xí)選擇和學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)。學(xué)習(xí)需求因人而異，有的出于學(xué)習(xí)興趣；有的僅僅為了拿學(xué)分畢業(yè)；有的則是因?yàn)閷I(yè)學(xué)習(xí)的要求，如工程計(jì)算相關(guān)專業(yè)；也有的學(xué)習(xí)者是為了專插本或考取研究生，再有學(xué)習(xí)者出于多個(gè)學(xué)習(xí)需求。該子系統(tǒng)也可稱為“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)”的目標(biāo)系統(tǒng)。

2）學(xué)習(xí)基礎(chǔ)子系統(tǒng)包括基礎(chǔ)好、基礎(chǔ)一般、基礎(chǔ)差三個(gè)要素。該子系統(tǒng)與其他子系統(tǒng)間均相互聯(lián)系、相互影響，它們之間存在直接聯(lián)系或間接聯(lián)系。例如：基礎(chǔ)好的學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)傾向于升學(xué)需求或興趣需求，基礎(chǔ)差的則趨于拿學(xué)分畢業(yè)。反過來，不同的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)影響學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)態(tài)度和方法，進(jìn)一步影響學(xué)習(xí)者的知識(shí)結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)和評(píng)價(jià)效果子系統(tǒng)，最后又對(duì)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)產(chǎn)生影響，使各子系統(tǒng)間形成作用閉環(huán)。

3）學(xué)習(xí)知識(shí)子系統(tǒng)包括概念、性質(zhì)、應(yīng)用三大組分。概念組分包括極限、導(dǎo)數(shù)、極值、不定積分、定積分等概念；另一方面，每個(gè)概念對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，如導(dǎo)數(shù)的幾何意義；每個(gè)概念的實(shí)際應(yīng)用，如不定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用等。學(xué)習(xí)者知識(shí)系統(tǒng)的豐富程度取決于其對(duì)各項(xiàng)知識(shí)的掌握程度，通過對(duì)知識(shí)點(diǎn)的消化理解，進(jìn)而總結(jié)歸納出知識(shí)要點(diǎn)。知識(shí)系統(tǒng)也可理解為知識(shí)模塊，各個(gè)模塊之間相互關(guān)聯(lián)，相互補(bǔ)充。總之，學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)“由薄到厚再由厚到薄”的過程，前階段注重知識(shí)的積累，后階段強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的歸納、理解及應(yīng)用。

4）學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)或效果子系統(tǒng)包括學(xué)習(xí)者平時(shí)練習(xí)的情況、學(xué)習(xí)考核結(jié)果、學(xué)習(xí)者自我評(píng)價(jià)、其他學(xué)習(xí)者的評(píng)價(jià)、教師評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)目的不在于證明，而在于改進(jìn)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)系統(tǒng)。因?yàn)樵u(píng)價(jià)結(jié)果輸出后形成反饋信息輸入，學(xué)習(xí)方法子系統(tǒng)、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)子系統(tǒng)或?qū)W習(xí)工具子系統(tǒng)等子系統(tǒng)收到信息后必定作出系統(tǒng)調(diào)整，不斷改善和優(yōu)化學(xué)習(xí)方法，所以評(píng)價(jià)子系統(tǒng)直接影響學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)效果，進(jìn)而影響學(xué)習(xí)目標(biāo)子系統(tǒng)。

5）學(xué)習(xí)方法子系統(tǒng)包括迂回學(xué)習(xí)法、理論式學(xué)習(xí)法、技巧性學(xué)習(xí)法、題海戰(zhàn)術(shù)法等。

高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)最大的區(qū)別在于高數(shù)側(cè)重?cái)?shù)學(xué)理論的理解、應(yīng)用，中學(xué)數(shù)學(xué)側(cè)重計(jì)算和解題的技巧性，故學(xué)習(xí)者初學(xué)高數(shù)時(shí)無法適應(yīng)高數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。無法理解數(shù)學(xué)概念及其實(shí)際應(yīng)用或者跟后面所學(xué)知識(shí)的關(guān)系，這時(shí)可采用迂回學(xué)習(xí)法。即暫時(shí)記下無法理解的內(nèi)容，繼續(xù)學(xué)習(xí)后面的知識(shí)并回顧已學(xué)知識(shí)，達(dá)到溫故知新，更知故的效果。[ 4 ]

另外，高等數(shù)學(xué)概念相對(duì)枯燥抽象，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)時(shí)可采取理論聯(lián)系實(shí)際的方法理解和記憶概念。以導(dǎo)數(shù)為例，導(dǎo)數(shù)概念是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是工程、經(jīng)濟(jì)、管理、電子計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域中一種重要的數(shù)學(xué)計(jì)算工具，如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的彈性分析、邊際成本分析、邊際利潤分析、邊際產(chǎn)量分析等。所以學(xué)習(xí)者必須重視理論概念的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。

6）工具子系統(tǒng)包括各類學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書和學(xué)習(xí)文具，同時(shí)也包括教師和同學(xué)。選擇不同的輔導(dǎo)書對(duì)學(xué)習(xí)者必定產(chǎn)生不同的作用。

3 舉例

下面以高等數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的子系統(tǒng)“概念”為例說明。該子系統(tǒng)可再分為若干個(gè)主要子系統(tǒng)：數(shù)列極限、函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、原函數(shù)、不定積分、定積分、二重積分、微分方程、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)。[ 5 ]

極限概念是高等數(shù)學(xué)理論體系中最基本的組成部分。由數(shù)列xn=f（n）當(dāng)項(xiàng)數(shù)n→∞時(shí)極限概念（即“ε-δ語言”）進(jìn)一步引申出函數(shù)y=f（x）在自變量x→∞和x趨于某一點(diǎn)x0時(shí)各自的極限定義；再將函數(shù)y=f（x）中因變量y對(duì)自變量x的平均變化率Δy/Δx在Δx→0時(shí)極限值定義為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)或微商，記為f ′（x0）或

；緊接著，給出原函數(shù)的概念：若在某個(gè)區(qū)間上有F′（x）=f（x），則稱F（x）是f（x）在該區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)；再將f（x）的全體原函數(shù)F（x）+C（C為常數(shù)）定義為f（x）的不定積分，記為f（x）dx；最后，把聯(lián)系自變量、函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系式稱為微分方程，通過積分逆運(yùn)算解微分方程，可得出函數(shù)y=f（x）；如：

已知y=f（x）滿足方程=-，求y=f（x）？

解：把方程變形為：=-；

兩邊同時(shí)積分得：lny=ln+C1，

令C1=lnC，即lny=ln+lnC=ln，

所以y=。

通過各概念之間的聯(lián)系，學(xué)習(xí)者可將以上概念合并劃分為一個(gè)子系統(tǒng)。如下圖3所示：

學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)概念的過程中應(yīng)思考各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的多樣性、關(guān)聯(lián)性、同一性，對(duì)聯(lián)系較緊密的組分或元素進(jìn)行合并劃分子系統(tǒng)，形成整體思維，不斷構(gòu)建自身的理論體系框架、概念性質(zhì)聯(lián)系框架、知識(shí)應(yīng)用結(jié)構(gòu)框架；或者學(xué)到一個(gè)階段后溫故，回頭理解已經(jīng)學(xué)過的概念知識(shí)和概念性質(zhì)以及相應(yīng)的知識(shí)應(yīng)用點(diǎn)，加深對(duì)已學(xué)知識(shí)的理解的應(yīng)用并更好的學(xué)習(xí)理解現(xiàn)階段學(xué)的知識(shí)點(diǎn)。

4 結(jié)語

文章的目的在于鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者應(yīng)用系統(tǒng)理論的思維方法來看待“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)”這一過程。從不同方面分析“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)”的結(jié)構(gòu)組成，進(jìn)而闡述各組分或子系統(tǒng)的組成，并對(duì)各子系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，論述各子系統(tǒng)間的相互作用，最后綜合分析，建立“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)”系統(tǒng)的內(nèi)部聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，啟示學(xué)習(xí)者如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)，為學(xué)習(xí)者提供思考的理論路徑，旨在達(dá)到事半功倍的效果。

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作者簡介：鄭銳麗（1988.09-），女，廣東揭陽人，研究方向：管理系統(tǒng)工程；吳澤賓（1987.10-），男，廣東揭陽人，碩士研究生，研究方向：信息系統(tǒng)工程。