恰當選擇解題策略，臺理轉化解題方向

張自鶴

轉化和化歸思想是高中數(shù)學中最重要的思想方法，恰當?shù)馗鶕?jù)問題的條件選擇解題策略，合理地轉化解題方向是數(shù)學學習的重要任務.本文以圓錐曲線中最值問題的解法為例，探討在解決圓錐曲線中的最值問題中如何恰當選擇解題策略，合理轉化解題方向.

圓錐曲線中的最值問題是解析幾何中常見的問題，是高考的熱點問題，也是難點問題之一，解決這類問題的常用策略主要有：圓錐曲線定義轉化法、切線法、參數(shù)法、函數(shù)法和基本不等式法.

策略一：圓錐曲線定義轉化法

圓錐曲線定義轉化法就是根據(jù)網(wǎng)錐曲線的定義，把所求的最值問題轉化為平面上兩點之間的距離、點到直線的距離等等，這是求圓錐曲線最值問題的基本方法，其關鍵是用好圓錐曲線的定義.

例1 已知拋物線y=2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值時點P的坐標.

分析 由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，從而求|PA|+|PF|的問題可轉化為求|PA|+d的問題.

評注 圓錐曲線的定義是解決解析幾何問題的重要指導思想，用定義轉化法求最值，特別適合求與曲線上的點到焦點距離有關的問題，其根據(jù)就是橢網(wǎng)或雙曲線上的點到兩焦點之間有著固定的規(guī)律，以及拋物線上任意一點到準線的距離與到焦點的距離相等.

策略二：參數(shù)法

參數(shù)法就是根據(jù)曲線方程的特點，用適當?shù)膮?shù)表示曲線上的點的坐標，把所求最值問題歸結為求解關于這個參數(shù)的函數(shù)最值的問題，這種方法的要點是選取合適的參數(shù)表示曲線上點的坐標.

評注 解析幾何中的圓、橢圓、雙曲線上的動點都可以以角為參數(shù)來表示，拋物線上的動點則可以以一個變量為參數(shù)，從而把問題轉化為利用求三角函數(shù)或變量表示的函數(shù)的最值的方法來求解解析幾何的最值問題.

策略三：切線法

當所求的最值是圓錐曲線上的點到某條直線（或直線上的點）的距離的最值時，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線之間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上取得最值的點，這種方法就是切線法.

分析 曲線上的點到直線的距離通常都可以轉化為點點距、點線距或線線距來完成，本題可通過直線逼近做切線，把問題轉化為線線距來完成.

評注 切線法的基本思想是數(shù)形結合，在使用切線法時要注意面出草圖，根據(jù)圖形大致確定何時取得最值.

策略四：基本不等式法

基本不等式法就是先將所求的最值用變量表示出來，再利用基本不等式求這個表達式的最值.基本不等式法是求圓錐曲線中最值問題時應用最為廣泛的一種方法.

分析 （l）依條件，構建關于p，t的方程；

（2）建立直線AB的斜率k與線段AB中點坐標間的關系，并表示弦AB的長度，把問題轉化為函數(shù)問題，運用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求d的最大值.

評注 利用基本不等式法求最值的關鍵是用合適的變量表示出所求的目標，然后利用基本不等式求得這個目標函數(shù)的最值，在使用基本不等式求最值時要特別注意使用條件，特別是等號能不能取到以及所建立的目標函數(shù)中的變量受什么因素的制約等.

策略五：函數(shù)法

函數(shù)法就是先把所求的最值表示為關于某個變量的函數(shù)，然后通過研究這個函數(shù)的最值來求出所要的最值，這是求解各類最值問題最為普遍的方法，其關鍵是建立函數(shù)關系式.

（2）因為A，B為定點，所以|AB|為定值，所以當點P到直線的距離d最大時，△ABP的面積最大，故問題轉化為只需求點P到直線的距離d最大即可，同時還要注意當動點P從A到B運動時，動點P的坐標受限制，故在求最值要考慮坐標的取值范圍.

解析 （l）由題意可求得直線l的方程為：y=2x-2，拋物線C的方程為：x=-2y.此處不再贅述.

評注 函數(shù)法是高中數(shù)學中廣為應用的一種方法，用這種方法求圓錐曲線中的最值問題時，關鍵是要選用一個適當?shù)淖兞?，先用這個變量來表達要解決的問題，這個變量通常選用直線的斜率、截距、點的坐標等，同時還要特別注意所建立的函數(shù)關系式中自變量的取值范圍，這些范圍就決定了函數(shù)的最值，在解題時要予以充分的考慮.

圓錐曲線中的最值問題，綜合性強，運算量大，對學生的思維要求高，要根據(jù)題目條件恰當選擇解題策略，合理轉化解題方向.解決這類問題時要注意運用數(shù)形結合、合理轉化等方法，將問題轉化到我們常見的解題通性通法上來，其中最基本、最常用的策略是要根據(jù)題意，恰當?shù)亟柚兞拷⑵鸷瘮?shù)關系，然后借助求函數(shù)最值的方法來解決圓錐曲線的最值問題.