表達(dá)式a=△v/△t適舍于曲線運(yùn)動(dòng)嗎？

曹艷如

加速度的概念是在直線運(yùn)動(dòng)中引入的，那么表達(dá)式適用于曲線運(yùn)動(dòng)嗎？很多人認(rèn)為不適用，以平拋運(yùn)動(dòng)為例，給出的具體理由如下.

如圖1所示，一物體從O點(diǎn)以初速度vo做平拋運(yùn)動(dòng)，取運(yùn)動(dòng)軌跡上的任意兩點(diǎn)A、B，設(shè)物體自拋出點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的時(shí)間分別為t1、t2，物體在該兩點(diǎn)的速度大小分別為v1、v2，將v1、v2分別分解在水平方向和豎直方向上，其分速度分別為vo、v1y，和vo、v2y，如圖2所示.

則由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得：

實(shí)際上，是加速度的定義式，應(yīng)該適合于任何情況下加速度的運(yùn)算，那么以上解釋錯(cuò)在哪里呢？

速度的變化量與速度、加速度一樣均為矢量，它們的運(yùn)算符合矢量合成法則，不能直接求其代數(shù)和.用以上方法求解△v時(shí)，把速度和速度的變化量當(dāng)做標(biāo)量來處理了，沒有考慮到它們的矢量性，因此該求解方法是錯(cuò)誤的.那么，對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)的加速度，正確的理解是怎樣的？下面分四種運(yùn)動(dòng)情況加以具體說明.

一、平拋運(yùn)動(dòng)的加速度

由矢量的知識(shí)可得，△v與v1、v2的關(guān)系如圖3所示.結(jié)合圖2可知，△v=v2y-v1y=gt2-gtl=g△t，即物體速度的變化僅在豎直方向上，這與水平方向上不受力是一致的.

二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度

如圖4所示，取物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡上的任意兩點(diǎn)A、B，設(shè)物體在該兩點(diǎn)的速度分別為v1、v2，且V1=V2=v，物體由A到B經(jīng)歷時(shí)間為△t，半徑轉(zhuǎn)過的同心角為Aθ，速度的變化量為△v.

由矢量知識(shí)可得Av如圖5所示，根據(jù)。△θ→時(shí)，△v與v1的夾角a→π/2，所以瞬時(shí)加速度的方向指向圓心，它其實(shí)就是向心力產(chǎn)生的向心加速度.

可見，對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)也是適用的.

三、變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度

做變速網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)的物體，某一時(shí)刻所受的合力F可以分解為沿著半徑方向的力Fn和沿著切線方向的力Ft，如圖6所示.由牛頓第二定律可知，力Fn只能改變速度的方向，產(chǎn)生法向加速度an（即向心加速度），而力Ft則可以改變速度的大小，產(chǎn)生切向加速

如圖7所示，物體做變速網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)，取軌跡上的任意兩點(diǎn)A、B，設(shè)物體在該兩點(diǎn)的速度分別為v1、v2，物體由A到B的時(shí)間為△t，此過程中半徑轉(zhuǎn)過的網(wǎng)心角為Aθ，速度的變化量為△v.

由矢量知識(shí)可知△v如圖8所示，在v2上截取一段V1'，使vl'=V1-令v2-vl'=△vt.現(xiàn)在以Av為對(duì)角線，以△vt為一鄰邊作平行四邊形，即將速度的變化量△v分解為Avt和△vn如圖9所示.其中△vt是因?yàn)樗俣却笮∽兓鸬乃俣茸兓?，而Avn則是因?yàn)樗俣确较蜃兓鸬乃俣茸兓?

當(dāng)At→0時(shí)，Aθ→O，且網(wǎng)弧AB趨近于直線段，速度v1、v2方向趨于一致，所以△vt=v2-v1，△vn=v1△θ，則A點(diǎn)的瞬時(shí)切向加

四、一般曲線運(yùn)動(dòng)的加速度

在研究曲線運(yùn)動(dòng)的路程時(shí)，我們經(jīng)常把一般的曲線無限分割成許多小段，把每一段當(dāng)做直線段來處理，即用“以直代曲法”.在這里求解加速度，如果仍用這種方法，則不能反映物體運(yùn)動(dòng)速度方向的變化.那么，怎樣才能真實(shí)反映速度的變化呢？

我們可以把一般的曲線無限分割成許多小段，看成是由一系列不同半徑的小網(wǎng)弧組成，即以“以圓代曲”.如圖10所示，我們可以在曲線上過任意一點(diǎn)4與其兩側(cè)無限接近的相鄰點(diǎn)作一個(gè)圓，在極限的情況下，這個(gè)圓就叫做A點(diǎn)的曲率圓，曲率圓的半徑叫做曲率半徑.一般來說，軌跡上的不同點(diǎn)具有不同的曲率半徑，曲率半徑越小，此處曲線的彎曲程度越大.

引入曲率網(wǎng)以后，曲線運(yùn)動(dòng)就可以看作是由許多不同曲率半徑的變速圓周運(yùn)動(dòng)組成，由以上分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的方法，我們同樣可以得出物體的切向加速度和法向加速度仍然滿足公式

事實(shí)上，直線運(yùn)動(dòng)、網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)都可以看作一般曲線運(yùn)動(dòng)的特例，均可由一般曲線運(yùn)動(dòng)的研究方法推導(dǎo)出它們的加速度，例如：速直線運(yùn)動(dòng).

當(dāng)at=0時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng).

綜上所述，是加速度的定義式，它適合于任意形式運(yùn)動(dòng)加速度的求解，在應(yīng)用時(shí)要注意v、△v和a的矢量性.我們對(duì)知識(shí)的接受遵循著由淺人深、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的規(guī)律，因此教材中從最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)——直線運(yùn)動(dòng)引入加速度的概念.隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的深入，我們要注意拓展自己的思維，不能拘泥于最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形式，更不能被簡(jiǎn)單的現(xiàn)象所迷惑，要善于利用所學(xué)過的概念解釋相關(guān)的新問題，從而提升自己的發(fā)散、推理、綜合等思維能力.