基于粒子群算法的粗糙博弈模型與算法設(shè)計*

曹黎俠，黃光球

1.西安建筑科技大學管理學院，西安7100552.西安工業(yè)大學理學院，西安710032

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology

1673-9418/2016/10(04)-0565-08

E-mail: fcst@vip.163.com

http://www.ceaj.org

Tel: +86-10-89056056

* The Natural Science Basic Research Program of Shaanxi Province under Grant No. 2015JZ010 (陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃); the Social Science Foundation of Shaanxi Province under Grant No. 2014P07 (陜西省社會科學基金); the Science & Technology Association Decision-Making Advisory Issue of Xi’an under Grant No. 201517 (西安市科協(xié)決策咨詢課題); the Fund Project of Xi’an Technological University under Grant No. XAGDXJJ1324 (西安工業(yè)大學校長基金項目).

Received 2015-07,Accepted 2015-10.

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版: 2015-10-20, http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20151020.1041.004.html

Rough Game Model and Algorithm Design Based on Particle Swarm Optimization?

CAO Lixia1,2+, HUANG Guangqiu11. College of Management, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China2. College of Science, Xi’an Technological University, Xi’an 710032, China

+ Corresponding author: E-mail: caolx_8@163.com

CAO Lixia, HUANG Guangqiu. Rough game model and algorithm design based on particle swarm optimization. Journal of Frontiers of Computer Science and Technology, 2016, 10(4): 565-572.

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基于粒子群算法的粗糙博弈模型與算法設(shè)計*

曹黎俠1,2+，黃光球1

1.西安建筑科技大學管理學院，西安710055
2.西安工業(yè)大學理學院，西安710032

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology

1673-9418/2016/10(04)-0565-08

E-mail: fcst@vip.163.com

http://www.ceaj.org

Tel: +86-10-89056056

* The Natural Science Basic Research Program of Shaanxi Province under Grant No. 2015JZ010 (陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃); the Social Science Foundation of Shaanxi Province under Grant No. 2014P07 (陜西省社會科學基金); the Science & Technology Association Decision-Making Advisory Issue of Xi’an under Grant No. 201517 (西安市科協(xié)決策咨詢課題); the Fund Project of Xi’an Technological University under Grant No. XAGDXJJ1324 (西安工業(yè)大學校長基金項目).

Received 2015-07,Accepted 2015-10.

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版: 2015-10-20, http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20151020.1041.004.html

Rough Game Model and Algorithm Design Based on Particle Swarm Optimization?

CAO Lixia1,2+, HUANG Guangqiu1
1. College of Management, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China
2. College of Science, Xi’an Technological University, Xi’an 710032, China

+ Corresponding author: E-mail: caolx_8@163.com

CAO Lixia, HUANG Guangqiu. Rough game model and algorithm design based on particle swarm optimization. Journal of Frontiers of Computer Science and Technology, 2016, 10(4): 565-572.

摘要：連續(xù)博弈中至少存在一個混合策略Nash均衡，但是關(guān)于無限策略混合策略Nash均衡的解法，以及局中人的策略集或是效益函數(shù)是不確定性博弈均衡問題，國內(nèi)外相關(guān)的研究成果還比較少。運用粒子群算法對目標函數(shù)沒有嚴格要求，參數(shù)較少，編碼簡單的優(yōu)勢,創(chuàng)立了一種計算無限策略混合策略的近似算法；并在此基礎(chǔ)上提出了粗糙博弈論的概念，以粗糙集和Vague集的理論為基礎(chǔ)，發(fā)現(xiàn)了一種粗糙博弈論轉(zhuǎn)化為經(jīng)典博弈論的方法。無限策略混合策略Nash均衡的近似算法和粗糙博弈論的研究為策略集和效益函數(shù)不確定時的博弈問題提供了理論依據(jù)。算法示例結(jié)果表明，基于改進的粒子群算法的無限策略混合策略Nash均衡近似算法和粗糙博弈論的解法是有效可行的。

關(guān)鍵詞：粗糙集；粒子群算法；混合策略納什均衡；Vague集

1　引言

經(jīng)典博弈論只解釋了納什均衡的含義，但沒有給出計算納什均衡的通用計算方法[1-4]。作為博弈論應用的關(guān)鍵，許多學者研究了納什均衡的計算方法及其計算復雜度[5-8]。這些研究成果主要解決的是有限策略的混合策略納什均衡和無限策略的純策略納什均衡，而無限策略的混合策略納什均衡研究成果較少。文獻[9]給出了無限策略的混合策略納什均衡解的存在性定理和一種迭代算法[9]，但其只適用于確定性的博弈模型，并沒有解決不確定博弈論[10]均衡解的問題。文獻[10]介紹了3種方法將各目標的支付矩陣?k轉(zhuǎn)化為清晰的支付矩陣，再選擇合適的目標權(quán)重把多目標的對策問題轉(zhuǎn)化為單目標對策問題，或者根據(jù)Vague線性規(guī)劃法求解。但其只研究了支付矩陣不確定時的矩陣博弈混合策略納什均衡，沒有解決策略集為粗糙集時的博弈問題。關(guān)于n人不確定性博弈及博弈的均衡解國內(nèi)外相關(guān)的研究成果還比較少。而當前政治、經(jīng)濟、文化等博弈論的應用領(lǐng)域普遍存在著策略集和效益函數(shù)不確定時的博弈和需要求解無限策略混合策略的納什均衡問題。

因此，本文首先運用極限法的基本思想和粒子群算法對n人無限策略的混合策略納什均衡進行了系統(tǒng)的研究；然后提出了粗糙博弈論的概念和求解的基本思想與方法；最后通過實例說明本文方法的有效性。

2　理論基礎(chǔ)

2.1博弈論簡介

博弈論[1-2]就是研究和幫助在相互依存情況中，理性人應當如何做決策使得自己利益極大化的數(shù)學理論。它源于歷史上一些頗為有趣的游戲，也是一門學問艱深的理論，目前已經(jīng)廣泛應用于政治、經(jīng)濟、旅游、國際關(guān)系等諸多領(lǐng)域，因此博弈理論及其應用也日益受到人們的關(guān)注與重視。

常見的博弈分類包含非合作博弈和合作博弈，其中非合作博弈包括完全信息靜態(tài)博弈、完全信息動態(tài)博弈、不完全信息靜態(tài)博弈和不完全信息動態(tài)博弈4種類型。

對于完全信息靜態(tài)博弈來說，如果存在一種策略組合，使得每個參與人的策略是對其他參與人策略的最優(yōu)反應，如果某種情況下無一參與者可以獨自行動而增加收益（即為了自身利益的最大化，沒有任何單獨的一方愿意改變其策略），則此策略組合被稱為納什均衡[1-2]。

混合策略的n人非合作博弈由下列三因素確定：

（1）局中人的集合N={1,2,…,n}；

（3）每個局中人i有一個支付函數(shù)μi=μi(x)。

若局中人i的策略集Si=[ai,bi]，則博弈G=[N,{Si},μi{S1,S2,…,SN}]混合策略為Si上的一個概率分布Fi(x), xi∈[ai,bi]。

本文采取連續(xù)博弈離散化的方法得到混合策略納什均衡近似值。

2.2粗糙集的基本概念

1982年，Pawlak發(fā)表了經(jīng)典論文Rough Sets，宣告了粗糙集理論的誕生。此后，粗糙集理論引起了許多數(shù)學家、邏輯學家和計算機研究人員的興趣，他們在粗糙集的理論和應用方面做了大量的研究工作。目前，粗糙集已成為人工智能領(lǐng)域中一個較新的學術(shù)熱點，在機器學習、知識獲取、決策分析、過程控制等許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應用。與本文相關(guān)的基本概念如下[11]。

粗糙集：給定知識庫S=(U,R)，對于每個子集X∈U和一個等價關(guān)系R∈ind(S)，可以根據(jù)R的基本集合的描述來劃分集合X，定義X的R下近似集和上近似集分別如下：

R-(X)={x∈U:xR?X}

R-(X)={x∈U:xR?X≠?}

也把posR(X)=R-(X)稱為X的R正域，nesR(X)=UR-(X)稱為X的R負域，而集合bnR(X)=R-(X)-R-(X) 為X的R邊界域。如果集合bnR(X)是空集，則稱X關(guān)于R是清晰的；如果bnR(X)非空，則稱X關(guān)于R是粗糙的。

知識依賴性的度量：S=(U,R)為知識庫，且C，D?R，定義k=rc(D)=card(posc(D)/card(U))為知識D是k度可推導的。這里card(posc(D))表示根據(jù)C、U中所有一定能歸入D的元素的數(shù)目；系數(shù)rc(D)可以看作C和D間依賴性的量度。

3　無限策略博弈混合策略納什均衡的解法

文獻[9]給出了當效益函數(shù)只有有限個第一類間斷點時，n人非合作完全信息靜態(tài)博弈混合策略納什均衡解是存在的，并給出了一種無限策略混合策略納什均衡的近似解法。這種解法是將無限策略博弈均衡問題轉(zhuǎn)化為有限策略博弈，運用非線性規(guī)劃法達到求其混合策略均衡解的目的，但是當支付函數(shù)比較復雜，表現(xiàn)為維數(shù)比較高的多峰函數(shù)時，難以實現(xiàn)高效優(yōu)化[12]。鑒于粒子群算法對目標函數(shù)沒有連續(xù)性等要求的優(yōu)勢，并且粒子群算法較其他智能優(yōu)化算法具有參數(shù)較少，容易編碼實現(xiàn)，收斂速度快，易于與其他智能算法嫁接等特點，給出一種用粒子群算法來求解無限策略的博弈論混合策略納什均衡的算法[13]。

3.1算法的基本思想

假設(shè)有n個局中人，每個局中人i的策略集Si都是有界閉區(qū)間，其效益函數(shù)μi(x)關(guān)于Xi在策略集Si上只有有限個第一類間斷點。由文獻[9]知，該博弈存在無限策略混合策略納什均衡。下面依據(jù)數(shù)學分析中極限法的基本思想以定量代變量，結(jié)合粒子群算法的基本原理[14-15]，給出無限策略博弈論混合策略納什均衡近似解的基本思想。

首先把局中人i的策略集分成m個區(qū)域，如果有間斷點，把間斷點作為劃分時的分界點，則在第j個子區(qū)域上的納什均衡解實質(zhì)是最優(yōu)化問題（1）的解：

其中，Sid是第i個局中人的一個純策略；xi是第i個粒子的位置xi∈Si；Δij是局中人i的策略集Si=[ai,bi]的第j個小區(qū)域。

然后在每個子區(qū)域上運用粒子群算法對最優(yōu)化問題（1）進行求解，即為該子區(qū)域上的純策略納什均衡解。

在粒子群算法中，每個粒子代表博弈的一個混合局勢，它們在混合策略組合的空間內(nèi)搜尋最優(yōu)的位置。在博弈的納什均衡中，博弈參與人的策略都是對對方策略的最優(yōu)反應，因此代表納什均衡的粒子具有最優(yōu)的適應度。在算法迭代中，粒子會根據(jù)觀察到的博弈結(jié)果向個體自身最優(yōu)解學習，且向群體中表現(xiàn)更優(yōu)的同伴學習。通過學習，每個局中人會調(diào)整自己的策略，因此粒子在博弈的混合策略組合的空間內(nèi)不斷發(fā)生移動，并最終趨向博弈的均衡點。

最后，根據(jù)極限法中以常量代變量的基本思想，以該區(qū)域上的純策略納什均衡解代替該區(qū)域上其他各點的值，就得到了博弈混合策略納什均衡解的近似值。

3.2改進的粒子群算法求博弈均衡解的算法設(shè)計|Δij-1-Δij|≤δ成立，δ是給定的一個閾值，如果在區(qū)間Δij上，對?x1,x2,…,xi-1,xi+1,…,xn，恒有

根據(jù)算法的基本思想，對粒子群算法進行改進，設(shè)計算法步驟如下：

算法1基于粒子群算法的博弈均衡解的求解算法

步驟1將局中人i的策略集Si任意劃分為m個區(qū)域Δi1,Δi2,…,Δim，如果有間斷點，把間斷點作為劃分的分界點。

步驟3在每個子區(qū)域上使用粒子群算法求出該子區(qū)域上n人博弈納什均衡解，具體步驟如下：

（1）對于給定的j，確定種群的規(guī)模粒子數(shù)H=40，維數(shù)D，學習因子c1=c2=1.6；記憶更新粒子數(shù)J=8，慣性權(quán)重ω=0.729 8；迭代終止條件為最大迭代次數(shù)50次或適應值|| f(x)≤10-6；并令進化代數(shù)k=0。

（2）初始化所有粒子的位置和速度（隨機?。?。

（4）從記憶庫中選擇J個粒子來替換粒子群中那些適應函數(shù)值排在整個粒子群中后J位的粒子。

（5）由式（4）動態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重ω：

（6）由式（5）更新粒子的速度和位置，然后轉(zhuǎn)入（3）。

步驟4當j依次取1，2,…，m，重復（1）～（6），得表1即為局中人i的混合策略納什均衡解。

Table 1 Mixed strategy Nash equilibrium solution of player i表1　局中人i的混合策略納什均衡解

此算法還可以通過對初始粒子可行化以及對算法迭代步長加以控制，保證粒子在算法迭代過程中始終保持在博弈的混合策略組合空間內(nèi)。

對n個局中人的博弈，只要局中人的策略集是有界閉區(qū)間，效益函數(shù)在策略集上有有限個第一類間斷點，則其混合策略納什均衡解都可以用算法1求解。算法1的建立有著廣泛的應用領(lǐng)域，能夠滿足經(jīng)濟、金融效益函數(shù)的基本要求，為不確定博弈均衡問題的求解奠定了理論基礎(chǔ)。

3.3算法示例

算法1中每個粒子由所有局中人的混合策略來表示，即X=(X1,X2,…,Xn)，根據(jù)納什均衡的定義與性質(zhì)，粒子的適應度函數(shù)如下：

顯然，當且僅當混合局勢為納什均衡解時，適應度函數(shù)取得最小值0，因此博弈的混合策略組合空間內(nèi)只有納什均衡點的適應度為最小。

設(shè)博弈的局中人N=3，局中人i的策略集為：

局中人的效益函數(shù)依次為：

該博弈滿足混合策略納什均衡存在的條件，并且設(shè)δ=1。根據(jù)算法1，把局中人i (i=1,2,3)的策略集劃分為43個小區(qū)域，記為Δ111,Δ112,…,Δ211,…,Δ444。其中各變量分割點依次為1, 2, 3; 0.7, 1.3, 1.9; 0.5, 1.0, 1.5。

考慮到文章篇幅以及只是為了說明算法的有效性和可行性問題，隨機抽取16個區(qū)域作為研究對象。在此D=3，通過Matlab 2008b編程，按照算法1，得到這16個區(qū)域上的純策略納什均衡解、適應函數(shù)值、效益函數(shù)值如表2所示，局中人的混合策略結(jié)果如表3所示。

Table 2 Running result of improved particle swarm algorithm表2　改進的粒子群算法的運行結(jié)果

Table 3 Mixed strategies Nash equilibrium of players表3　混合策略納什均衡解

該算例來源于文獻[9]。文獻[9]給出的近似算法的結(jié)果是連續(xù)型混合策略納什均衡解；本文的近似算法是用策略區(qū)間上的最優(yōu)概率作為混合策略，最大的優(yōu)點就是直觀，也適用于多維、多峰目標函數(shù)。算法1的運行結(jié)果局中人更容易做出在某小區(qū)間以多大的概率進行策略選擇的決策，而文獻[9]還需要進一步的計算。

4　無限策略的粗糙博弈論納什均衡的求解

4.1粗糙博弈論的概念

定義1在經(jīng)典博弈論的三要素中，如果局中人的策略集具有不可分辨性，或者效益函數(shù)是模糊的，二者至少滿足其一，理性局中人應當如何做決策使得自己利益極大化的數(shù)學理論，稱為粗糙博弈論。

粗糙博弈論按照博弈重復進行的次數(shù)分為動態(tài)粗糙博弈和靜態(tài)粗糙博弈；按照局中人了解其他參與者的信息分為完全信息粗糙博弈和不完全信息粗糙博弈。本文只研究完全信息非合作靜態(tài)粗糙博弈論。

定義2在粗糙博弈中，通過粗糙策略集的精確化[13]，效益（支付）函數(shù)的清晰化[10]，將粗糙博弈問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典博弈模型，此時局中人在精確化后的策略集、清晰化后的效益函數(shù)中，得到的經(jīng)典博弈模型的均衡解作為粗糙博弈模型的粗糙均衡解。

定義3在完全信息非合作靜態(tài)粗糙博弈論中，設(shè)博弈的局中人、局中人的粗糙策略集、模糊效益（支付）函數(shù)構(gòu)成了完全信息靜態(tài)粗糙博弈模型。該博弈模型通過描述法的方式表示。

局中人：i=1, 2,…,n；

粗糙策略集：論域U上知識S的子集X∈U，關(guān)于等價關(guān)系R∈ind(S)是粗糙的策略集；

模糊效益函數(shù)：模糊效益函數(shù)的Vague集為{|x∈(ai,bi)}。

據(jù)定義2，可以將粗糙博弈模型轉(zhuǎn)化為經(jīng)典博弈模型，達到求其均衡解的目的。

4.2粗糙博弈模型的求解

根據(jù)粗糙集上近似集、下近似集、正域、負域、邊界域和粗糙度的有關(guān)概念[13]，將邊界域中的元素以概率p劃分到正域，以1-p的概率劃分到負域，其中p為常量，以此方法完成粗糙策略集的精確化。根據(jù)Vague集理論與方法[10]，模糊效益函數(shù)可以完成清晰化。因此，根據(jù)定義2，粗糙均衡解的計算可以分為以下三步來完成。

（1）粗糙策略集的精確化

設(shè)局中人i的粗糙策略集為(ai,bi)，它的一個等價關(guān)系R∈ind(ai,bi)，可以根據(jù)R的基本集合的描述來劃分集合(ai,bi)為3個經(jīng)典集合：posR(ai,bi)、negR(ai,bi)、bnR(ai,bi)。采用連續(xù)屬性離散化的方法[14]將局中人i的策略集(ai,bi)=[posR(ai,bi)+(bnR(ai,bi))p]?[negR(ai,bi)+ (bnR(ai,bi))(1-p)]離散化。設(shè)局中人i在R的bnR(ai,bi)中以概率p選擇posR(ai,bi)的策略，以1-p的概率選擇negR(ai,bi)的策略；然后對局中人的策略集進行約簡[16]，合并具有不可分辨關(guān)系的對象；再以約簡后的策略為決策條件，以效益函數(shù)為目標條件，建立決策表，產(chǎn)生約簡規(guī)則組合，即為局中人i的精確策略集。

（2）效益（支付）函數(shù)的清晰化

設(shè)局中人i的模糊效益函數(shù)的Vague集為{|x∈(ai,bi)}，通過式（6）將模糊效益（支付）函數(shù)清晰化[10,15]。

如果局中人i的粗糙策略集已精確化，模糊效益函數(shù)分別在集合[posR(ai,bi)+(bnR(ai,bi))p]和[negR(ai,bi)+ (bnR(ai,bi))(1-p)]上已清晰化，這樣，局中人i的效益函數(shù)取以S1i和S2i為權(quán)的加權(quán)平均值：

其中card[ ]表示元素的數(shù)目或是區(qū)間的長度。

（3）粗糙博弈模型的求解

此時的模型轉(zhuǎn)化為局中人i（i=1,2,…，n）的策略集為經(jīng)典集合、效益函數(shù)為確定性函數(shù)的博弈模型的求解，可以運用經(jīng)典博弈論的理論與方法來完成。

綜上所述，只要博弈局中人的策略集和效益函數(shù)滿足粗糙博弈論的概念，都可以通過以上步驟將粗糙博弈論轉(zhuǎn)化為經(jīng)典博弈論，再按照算法1求出博弈模型的均衡解。

4.3應用舉例

4.3.1問題的描述和模型的建立

假設(shè)在電子商務交易中，存在兩個網(wǎng)絡交易平臺，商戶只能加入其中一個交易平臺才能夠進行電子商務活動。這樣網(wǎng)絡交易平臺間存在著博弈，這兩個交易平臺構(gòu)成了博弈的局中人。影響平臺效益的因素是多方面的，如平臺的管理水平、廣告費、人氣指數(shù)、信譽度、盈利額、銷售量等。這些因素構(gòu)成平臺間博弈的策略集，平臺效益函數(shù)是局中人策略集上的一個Vague值，這樣建立起二人零和粗糙博弈模型。

4.3.2模型的求解

（1）策略集的精確化

通過發(fā)放網(wǎng)絡調(diào)查問卷和統(tǒng)計分析，對平臺的管理水平、廣告費、人氣指數(shù)、信譽度、盈利額、銷售量在平臺效益中的重要程度進行評價，評價為高、中、一般、低，依次賦值為4、3、2、1，平臺的收益提高賦值為1，否則賦值為0。結(jié)果如表4。

Table 4 Influence of players strategy on benefit表4　局中人策略的選擇對收益的影響

首先合并具有不可分辨關(guān)系的對象，刪除表4的6、7兩行；然后進行屬性約簡，得到約簡屬性集{Y3,Y4}、{Y1,Y5}、{Y1,Y6}、{Y2,Y5}、{Y2,Y6}。取屬性規(guī)則{Y3,Y4}進行數(shù)據(jù)挖掘，得出規(guī)則：

Y3中∨Y3一般Y4高→平臺收益“1”即當網(wǎng)絡平臺的“人氣指數(shù)中”或者“人氣指數(shù)一般且信譽度高”時，平臺效益都會增加。因此，平臺管理者有兩種策略可以選擇：一是設(shè)法提高平臺的人氣指數(shù)；二是重點關(guān)注提高平臺信譽度。無論這兩種策略的哪一種，都需要平臺管理者付出財力和精力來做，因此二者之間存在著資源競爭關(guān)系。從而，局中人精確化的策略集為{Y3中,Y3一般Y4高}。

（2）效益函數(shù)的清晰化

根據(jù)式（6）將A1、A2清晰化分別為：

假設(shè)專家打分和平臺自己的統(tǒng)計資料的權(quán)重分別為0.4和0.6，將兩個效益矩陣進行線性集結(jié)，得到：

根據(jù)算法1進行求解，得：

x*=(0.038,0.962,0)，y*=(0.577,0.423,0), v=0.282

當然，也可以根據(jù)線性規(guī)劃法來求解，誤差在0.001。即平臺1以0.038的概率選擇提高平臺的人氣指數(shù)，以0.962的概率選擇提高平臺的信譽度；平臺2以0.577的概率選擇提高人氣指數(shù)，以0.423的概率選擇提高信譽度，此時雙方達到混合策略納什均衡，其均衡值為0.282。

5　結(jié)論

經(jīng)典博弈論模型和均衡解的研究存在兩個弊端：一是無限策略混合策略的納什均衡的研究成果較少；二是經(jīng)典博弈論模型都只是針對確定性的策略集和效益函數(shù)所做的研究，并沒有解決不確定性博弈問題。

本文首先運用連續(xù)屬性離散化的方法將無限策略集劃分為有限個區(qū)間，在每個區(qū)間上運用改進的粒子群算法給出了該區(qū)間上的純策略納什均衡解，再根據(jù)極限理論得出無限策略的混合策略納什均衡的一種近似解法。由于粒子群算法對目標函數(shù)沒有過高的要求，收斂速度快，適應性強，從而該近似算法具有較強的適應性。此外，本文首次定義了粗糙博弈論、粗糙博弈模型、粗糙博弈模型的均衡解，并發(fā)現(xiàn)了一種將粗糙博弈論轉(zhuǎn)化為經(jīng)典博弈論的一種方法，實現(xiàn)了借助于經(jīng)典博弈論納什均衡的方法來求解粗糙博弈論的均衡解。應用實例表明，本文的定義和求解算法是有效可行的。

本文針對均衡解的算法研究和粗糙博弈的理論研究是對博弈論現(xiàn)有理論的發(fā)展，拓寬了這門學科的應用范圍。

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CAO Lixia was born in 1971. She is a Ph.D. candidate at Xi’an University of Architecture and Technology, and an associate professor at Xi’an Technological University. Her research interests include rough set, complex network, operation research and cybernetics, management decision analysis and game theory, etc.

曹黎俠（1971—），女，陜西西安人，西安建筑科技大學博士研究生，西安工業(yè)大學副教授，主要研究領(lǐng)域為粗糙集，復雜網(wǎng)絡，運籌學與控制論，管理決策分析及博弈論等。

HUANG Guangqiu was born in 1964. He received the Ph.D. degree from Northeast University. Now he is a professor and Ph.D. supervisor at Xi’an University of Architecture & Technology. His research interests include e-business and network security, information management, systems engineering, complex system simulation and control, decision optimization and management, etc. He has completed 76 research projects including the national key scientific research projects, the national natural science foundation projects, provincial and ministerial level research projects, etc. He has published more than 200 papers and 6 works.

黃光球（1964—），男，博士，西安建筑科技大學教授、博士生導師，主要研究領(lǐng)域為電子商務與網(wǎng)絡安全，信息管理，系統(tǒng)工程，復雜系統(tǒng)仿真與控制，決策優(yōu)化與管理等。共完成科研課題76項，其中包括國家“七五”、“八五”、“九五”重點科研項目3項，國家自然科學基金項目2項；在國內(nèi)外重要期刊和會議上發(fā)表學術(shù)論文200多篇，出版著作6部。

Abstract:There is at least one mixed strategy Nash equilibrium in continuous game, but there are little related research results in existing literature about infinite mixed strategy Nash equilibrium and uncertainty game problem. The uncertainty game refers to the game equilibrium problem that the players’strategy set or benefit function are uncertainty. This paper creates an approximation algorithm of infinitely mixed strategy Nash equilibrium, using the advantages of particle swarm optimization, fewer parameters, simple coding and not strictly required to objective function. This paper also proposes the concept of rough game theory, and gives a method converting rough game to a classic game theory based on rough set and vague set theory. This paper provides a theoretical basis for game problem when the strategy sets and benefit function problem are fuzzy. The examples show that the approximation algorithm of infinite mixed strategy Nash equilibrium based on improved particle swarm algorithm and rough game theory solution are feasible and effective.

Key words:rough set; particle swarm optimization; mixed strategy Nash equilibrium; Vague set

文獻標志碼：A

中圖分類號：O225

doi:10.3778/j.issn.1673-9418.1507080