一類分?jǐn)?shù)階哈密頓系統(tǒng)非平凡解的存在性

程 偉，徐家發(fā)

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

一類分?jǐn)?shù)階哈密頓系統(tǒng)非平凡解的存在性

程 偉，徐家發(fā)

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

利用變化的噴泉定理，研究了一類分?jǐn)?shù)階哈密頓系統(tǒng)。構(gòu)造合適的工作空間和變分結(jié)構(gòu)，在非線性項超二次增長的情形下獲得該系統(tǒng)非平凡解的存在性，相關(guān)結(jié)論推廣和改進(jìn)了某些已有的結(jié)果。

分?jǐn)?shù)階哈密頓系統(tǒng)；噴泉定理；非平凡解

本文主要研究以下分?jǐn)?shù)階哈密頓系統(tǒng)非平凡解的存在性:

u∈Hα(R,RN)

(1)

其中α∈(1/2,1),t∈R,u∈RN,W∈C1(R×RN,R)，▽W(xué)是W關(guān)于u的梯度。關(guān)于L(t), 我們始終假設(shè)以下條件成立：

?t∈R,u∈RN

近年來，對于分?jǐn)?shù)階問題的研究越來越受到人們的青睞，數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)用新的分?jǐn)?shù)階模型能更精確地模擬現(xiàn)實問題。分?jǐn)?shù)階微分方程非常適合用來描述現(xiàn)實生活中具有記憶和遺傳特性的問題，如：分形和多孔介質(zhì)中的彌散、電容理論、電解化學(xué)、半導(dǎo)體物理、湍流、凝聚態(tài)物理、粘彈性理論、生物數(shù)學(xué)及統(tǒng)計力學(xué)等等，因此研究這類方程解的性質(zhì)有理論和現(xiàn)實意義。在文[1]中, 作者列舉了大量分?jǐn)?shù)階模型在實際問題中的應(yīng)用。例如電化學(xué)模型，Caputo在討論電化學(xué)的可極化介質(zhì)時，提出電場E和電流密度D之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)階模型，一維的情形為

γD(v)+αD=σE+δE(v)

其中γ,α,σ,δ皆為常數(shù),D(v)=DvD,E(v)=DvE,ν是實數(shù)。運(yùn)用變分方法和臨界點(diǎn)理論研究分?jǐn)?shù)階問題是比較新的課題, 近期有很多學(xué)者致力于這方面的工作, 參見文獻(xiàn)[2-9]及其所附參考文獻(xiàn)。

在文[2]中, Torres運(yùn)用山路定理研究了問題(1)非平凡解的存在性,其中W滿足著名的Ambrosetti-Rabinowitz條件：

(AR) 存在常數(shù)μ>2使得

0<μW(t,x)≤(x,▽W(xué)(t,x)),

?(t,x)∈R×RN{0}

在文[3]中, 在W次二次增長的情形下, 作者運(yùn)用虧格理論獲得了問題(1)無窮多解的存在性。他們的具體條件是：

(FHS1) 對任意的t∈R,W(t,0)=0, 且

?(t,x)∈R×RN

其中，1

(FHS2) 存在常數(shù)1 <σ≤? < 2 使得

(▽W(xué)(t,x),x)≤σW(t,x),
?(t,x)∈R×RN{0}

(FHS3)W(t,x)=W(t,-x),

?(t,x)∈R×RN。

在文[4]中, 在W次臨界增長的情況下, 作者運(yùn)用噴泉定理獲得了問題(1)高能量解的存在性，并運(yùn)用山路定理和Ekeland變分原理獲得了帶有擾動項的分?jǐn)?shù)階哈密頓系統(tǒng)至少兩個非平凡解的存在性(N= 1)：

Wu(t,u(t))+g(t),u∈Hα(R×R)

(2)

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文運(yùn)用變化的噴泉定理研究問題(1)非平凡解的存在性,為此我們首先給出本文所使用的假設(shè)條件：

(H1)W∈C1(R×RN,R),且存在d1>0和p∈(2,+∞)使得

?(t,x)∈R×RN

(H4) 存在d2>0,L>0 使得

定理1 若條件(H1)-(H4)和(FHS3)成立，則問題(1)至少存在一個非平凡解。

1 基礎(chǔ)知識

首先介紹有關(guān)Liouville-Weyl分?jǐn)?shù)階的計算。α(0<α<1)階Liouville-Weyl分?jǐn)?shù)階積分定義為:

(3)

和

(4)

由此可給出α(0<α<1)階Liouvlle-Weyl分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義:

(5)

和

(6)

定義(5)-(6)式可以改寫成以下形式

(7)

和

(8)

令u(x)是定義在R上的函數(shù)，經(jīng)過傅里葉變換可以得到如下的等式：

(9)

(10)

以下構(gòu)造問題(1)對應(yīng)的變分結(jié)構(gòu)，賦予Banach空間Lp(R,RN)(p∈[2,+∞) 的范數(shù)為

賦予Banach空間L∞(R,RN)的范數(shù)為

令

注1 根據(jù)引理1, 由于

則可得u∈Lq(R,RN)，?q∈[2,+∞)，如果u∈Hα,α∈(1/2,1)。

記

Xα

(L(t)u(t),u(t))]dt<∞}

則Xα是一自反可分的Hilbert 空間，其上的內(nèi)積為

(L(t)u(t),v(t))]dt

相對應(yīng)的范數(shù)為

為方便，簡記

引理2[2-3]若條件(L)成立，則Xα連續(xù)嵌入到Hα。

引理3[2-3]若條件(L)成立，則嵌入Xα→Lq(R,RN)(q∈[2,+∞))既是連續(xù)的又是緊的。

因此結(jié)合引理1，對任意的q∈[2,+∞]，存在Cq使得

(11)

考慮C1-泛函Φλ:X→R如下：

Φλ(u)=A(u)-λB(u),λ∈[1,2]

(12)

引理4[10](12)式所定義的泛函Φλ滿足：

(C1) 對任意的λ∈[1,2]，Φλ映有界集為有界集，且

Φλ(u)=Φλ(-u),?(λ,u)∈[1,2]×X;

(C3) 存在rk>ρk>0使得

?λ∈[1,2]

則

?λ∈[1,2]

2 主要定理的證明

為了得到問題(1)弱解的存在性，在Xα上定義相應(yīng)的能量泛函如下：

(13)

?(t,u)∈R×RN

(14)

結(jié)合(11)式可知B和J都是良定義的。更進(jìn)一步，記(Xα)*是Xα的對偶空間，根據(jù)文[11]中的引理1，若條件(L)和(H1)成立，則B∈C1(Xα,R),B′:Xα→(Xα)*是緊的，因而J∈C1(Xα,R)，且對任意的u,v∈Xα，有

▽W(xué)(t,u(t)),v(t))dt,

并由此可知，問題(1)的弱解就是能量泛函J的臨界點(diǎn)。

對于j,k∈N,定義Xj顯然且dimXj<∞,?j∈N。

為了運(yùn)用引理4來證明我們的結(jié)論，定義泛函A，B和Φλ如下：

引理5 若條件(L)，(H1)-(H2)成立，則存在ρk>0使得

證明 根據(jù)條件(H1)-(H2), 對于任意給定的ε>0, 存在Cε使得

?(t,u)∈R×RN

結(jié)合(11)式，有

有

證畢。

引理6 若條件(L), (H1)-(H3)成立，則存在rk>0使得

證明 首先證明存在ε>0使得

?u∈X{0},X?Xα,dimX<∞

(15)

否則對任意的n∈N,存在序列{un}∈X{0}使得

(16)

否則的話，

(17)

從而

(18)

對任意的n∈N，定義

以及

從而對足夠大的n，有

meas(Λn∩Λ0)=

從而對足夠大的n，

?(t,u)∈R×RN

注意到dimYk<∞,所以

這是矛盾的。矛盾表明maxu∈Yk,‖u‖=rkΦ1(u)≤0。證畢。

(19)

?k≥1,

?n∈,k≥1

結(jié)合(19)式，有

(20)

vn→v0弱收斂于Xα

(21)

vn→v0強(qiáng)收斂于Lq(R,RN),q∈[2,+∞)

(22)

vn(t)→v0(t)a.e.t∈R

(23)

(24)

以下分兩種情況討論：

第一種情況：v0不恒等于0。

這與(24)式矛盾。

第二種情況:v0恒等于0。

根據(jù)(24)式，注意到λn→1，有

(25)

注意到條件(H2)，存在d5>0使得

?

結(jié)合條件(H4)，有

▽W(xué)(t,x),x)-2W(t,x)]+d5,

?(t,x)∈R×RN

從而由(22)-(23)式可知

這與(25)式矛盾。

[1] 鄭祖庥. 分?jǐn)?shù)微分方程的發(fā)展和應(yīng)用[J]. 徐州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2008, 26 (2): 1-10.

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[12] WILLEM M. Minimax theorems [M]. Boston: Birkhauser, 1996.

Existence of nontrivial solutions for a class of fractional Hamiltonian systems

CHENG Wei,XU Jiafa

(School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

Using the variant fountain theorem, a class of fractional Hamiltonian systems are studied. With establishing appropriate work space and variational structure, the existence of nontrivial solutions for the superquadratic fractional Hamiltonian systems is obtained, and the obtained results extend and improve some known results.

fractional Hamiltonian systems; fountain theorem; nontrivial solutions

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.05.004

2016-03-16

國家自然科學(xué)基金資助項目(11371117)；重慶師范大學(xué)基金資助項目(15XLB011)

程偉(1985年生)，男；研究方向：拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)，微分方程；通訊作者：徐家發(fā);E-mail:xujiafa292@sina.com

O175.2

A

0529-6579(2016)05-0021-06