年年歲歲題相似,歲歲年年題不同
——形散神同的幾道高考解幾題的研究

黑龍江省牡丹江市第八中學(xué)　(157014)　孔德泉

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年年歲歲題相似,歲歲年年題不同
——形散神同的幾道高考解幾題的研究

黑龍江省牡丹江市第八中學(xué)(157014)孔德泉

在全國(guó)高考異彩紛呈的大舞臺(tái)上,解析幾何試題一直扮演著重要角色,這道綜合題集數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等重要數(shù)學(xué)思想于一身,是甄別學(xué)生層次的較好題目,文理科均以壓軸題或次壓軸題出現(xiàn),其地位及作用舉足輕重.該試題求解常常需要學(xué)生具有較強(qiáng)的計(jì)算能力,涉及較大的計(jì)算量時(shí)學(xué)生常心存恐懼,望而卻步,引得無數(shù)學(xué)子競(jìng)折腰,成為部分學(xué)生突破高分的一個(gè)瓶頸.

分析解析幾何試題,把握解析幾何復(fù)習(xí)備考方向,突破該題,取得相應(yīng)分?jǐn)?shù)是全體考生的期盼,更是數(shù)學(xué)教師的重要使命,高考命題專家會(huì)對(duì)具有典型背景的試題分不同年份,不同省份,不同變式進(jìn)行多角度考查,正可謂,年年歲歲題相似,歲歲年年題不同.數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)高三備考學(xué)生對(duì)于本質(zhì)相同的解析幾何問題進(jìn)行拓展研究,顯得尤為重要.本文通過對(duì)2009全國(guó)二卷,2013北京卷,2015全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ,2015山東解析幾何綜合題出自同一背景的探究,意在揭示這幾道解析幾何題的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)高考命題的規(guī)律,有效地提高高三復(fù)習(xí)效率.

1.形散神同

2015山東理科第20題對(duì)此命題進(jìn)行了考查：

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

圖1

2015全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理科第20題正是考查此推論:已知橢圓C： 9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,直線l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.

(Ⅰ)證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值；

(Ⅰ)求a,b的值；

命題中的OAPB為平行四邊形可否成為菱形,結(jié)論會(huì)怎樣？于是得到命題3與2013北京卷解析幾何題的不期而遇.

圖2

(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積；

(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由．

由命題2及推論得,AC為x2+4y2=1的切線,由圖易知OB與AC垂直,AC的斜率不存在,點(diǎn)B是W的頂點(diǎn)(證明略).

2.拓展探究

波利亞曾說：“類比是一個(gè)偉大的引路人, 類比是提出新命題或獲得新發(fā)展之不竭的源泉”.在雙曲線中結(jié)論如何？過原點(diǎn)O的射線與母雙曲線,子雙曲線分別交于點(diǎn)P,M,過子雙曲線上的點(diǎn)M作切線與母雙曲線無交點(diǎn)成為探究的難點(diǎn),可是與其共軛雙曲線交于兩點(diǎn),結(jié)果柳暗花明,水落石出.得到如下命題：

圖3

通過類比同樣可得雙曲線的命題4的有關(guān)推論.此處留給讀者繼續(xù)研究.

根據(jù)以上背景分析,適當(dāng)變式又可編擬許許多多的相關(guān)試題,如平行四邊形成為矩形、正方形可編擬習(xí)題1、習(xí)題2,橢圓替換為雙曲線可編擬習(xí)題3等.

3.復(fù)習(xí)建議

第一、各省市高考試題凝聚了命題專家的集體智慧,具有權(quán)威性、示范性、借鑒性,在解析幾何知識(shí)復(fù)習(xí)時(shí),一定要選擇高考真題作為備考習(xí)題,研究同一省份近幾年、近十幾年,甚至更久的高考真題,不僅僅是解析幾何題如此；第二、認(rèn)真研究這些備考習(xí)題,不僅要和學(xué)生一起探究其共同背景,還要引導(dǎo)學(xué)生得出有價(jià)值的變式,使學(xué)生跳出題海,找出題源,舉一反三,以不變應(yīng)瞬變,為備考做充分準(zhǔn)備；第三、在解析幾何綜合題的復(fù)習(xí)中,有效利用解題教學(xué)進(jìn)行學(xué)生思維訓(xùn)練,使高三習(xí)題課更好地貼近數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué),挖掘其重要數(shù)學(xué)思想方法,在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的過程中學(xué)會(huì)思考,可適當(dāng)減速,給學(xué)生充分的思考時(shí)間,只有學(xué)生有效地思考,才能發(fā)生真正意義上的數(shù)學(xué),高度重視解析幾何習(xí)題探究中歸納、類比、聯(lián)想等數(shù)學(xué)方法在數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展、結(jié)論形成過程中的作用,深刻領(lǐng)悟同宗同源解析幾何習(xí)題的“形散而神不散”,在事物的發(fā)展變化中,形成數(shù)學(xué)思想方法,養(yǎng)成理性思維習(xí)慣.授人以魚,不如授人以漁,結(jié)論無用,但過程斷然無價(jià),當(dāng)學(xué)生離開數(shù)學(xué)課堂后,還會(huì)留下些有價(jià)值的東西…….