M-矩陣Fan積的最小特征值下界的新估計

陳付彬, 趙建興

(1.昆明理工大學 津橋學院，云南 昆明 650106; 2.貴州民族大學 理學院, 貴州 貴陽 550025)

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M-矩陣Fan積的最小特征值下界的新估計

陳付彬1, 趙建興2

(1.昆明理工大學 津橋學院，云南 昆明 650106; 2.貴州民族大學 理學院, 貴州 貴陽 550025)

摘要:利用Cauchy-Schwitz不等式給出非奇異M-矩陣A和B的Fan積A★B的最小特征值下界的新估計式，并與其他文獻中的估計式進行比較.數值算例表明，新估計式在一定條件下改進了Johnson和Horn給出的經典估計式，同時也優(yōu)于其他已有的幾個估計式，比現有的估計式更接近真值.

關鍵詞:M-矩陣；Fan積；最小特征值；下界

M-矩陣不僅是計算數學和矩陣理論的重要研究課題之一, 而且在生物學、物理學、經濟數學等諸多領域都有著重要的實用價值. 矩陣Fan積是一種特殊的矩陣乘積, 被廣泛應用于偏微分方程中的弱極小原理和概率論中特征函數等方面的研究中. 在這些研究中, 非奇異M-矩陣Fan積的最小特征值下界的估計成為研究熱點之一, 并得到了一系列相關的估計式[1-11]. 文中將對這一問題做進一步探討，給出非奇異M-矩陣Fan積的最小特征值τ(A★B)下界的一個新估計式, 該結果在一定條件下比現有的一些結果更加精確.

1預備知識

用Cn×n(Rn×n)表示n階復(實)矩陣集,記N={1,2,…,n}.若aij≥0(aij>0)，則稱A是非負矩陣(正矩陣)，記為A≥0(A>0), 矩陣A=(aij)∈Cn×n的n個特征值λ1,λ2,…,λn組成的集合稱為矩陣的譜，記為σ(A).特征值的模的最大值稱為矩陣A的譜半徑, 記為ρ(A). 若A為非負矩陣，則由Perron-Frobenius定理知,ρ(A)∈σ(A), 且有非負特征向量x與之對應, 滿足Ax=ρ(A)x[12].

令A∈Zn, 記τ(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)}，由文獻[1]中的結論知:τ(A)∈σ(A), 稱τ(A)為A的最小特征值.

設A是非奇異M-矩陣, 則存在正向量u,v,使得Au=τ(A)u,vTA=τ(A)vT, 其中u和v分別稱為矩陣A的右Perron特征向量和左Perron特征向量.

假設A,B∈Mn, 則A,B的Fan積定義為A★B=C=(cij),有

由文獻[1]中的結論知：若A,B∈Mn, 則A★B∈Mn.

對于M-矩陣A和B的Fan積最小特征值下界的估計, 前人做了很多研究. 1991年,Johnson和Horn在文獻[1]中給出一個經典的結果

(1)

方茂中改進上述不等式, 在文獻[2]中給出如下結果

(2)

黃榮同樣對不等式(1)進行改進，在文獻[3]中給出如下結果

(3)

劉慶兵改進不等式(2), 在文獻[4]中給出下面結果

(4)

李耀堂改進文獻[1-3]的結果，在文獻[5]中給出如下結果

(5)

其中

論文將給出τ(A★B)的新下界作為對前人研究結果的有益補充, 并且保證這個新的下界比現有的一些經典結果更接近于τ(A★B)的真實值, 且新結果將包含文獻[4]中的結論.

2主要結果

引理1設a=(a1,a2,…,an)T≥0，b=(b1,b2,…,bn)T≥0, 則

其中：m=1,2.

證明由Cauchy-Schwitz不等式容易證明結論成立.

引理2[1]設A,B是非奇異M-矩陣, D,E是正的對角矩陣, 則

引理3[14]設A=(aij)∈Cn×n, 則A的所有特征值都位于復平面的下列區(qū)域

定理1設A=(aij), B=(bij)∈Rn×n是非奇異M-矩陣, 則

(6)

其中：m=1,2.

證明顯然n=1, 式(6)成立, 下面假設n≥2.

若A★B不可約, 則A和B是不可約的M-矩陣，且分別存在正向量

使得

即

設

U=diag(u1,u2,…,un),V=diag(v1,v2,…,vn).

令

即

且

由引理2可知

所以

(7)

由不等式(7)，得

所以，有

若A★B為可約矩陣,Zn中的矩陣是非奇異M-矩陣的充分必要條件是其所有順序主子式為正[15]. 定義T=(tij)為n階置換陣, 其中t12=t23=…=tn-1,n=tn,1=1, 其余元素為零.對于足夠小的ε>0, A-εT,B-εT的所有順序主子式為正,所以，當ε>0足夠小時，A-εT, B-εT均是不可約的M-矩陣. 用A-εT,B-εT代替A,B，再令ε→0,則由連續(xù)性知結論(6)仍然成立.

在定理1中令m=1,得

即是文獻[4]中定理7的結果.

3數值算例

為方便計算，利用文獻[5]中的例子，令

所以

依據式(1)，得

依據式(2)，得

依據式(3)，得

依據式(4)，得

依據式(5)，得

在論文定理1中令m=2，得

參考文獻：

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[15]BERMAN A, PLEMMONS R J. Nonnegative matrices in the mathematical sciences[M]. New York: Academic Press, 1979.

(責任編輯朱夜明)

New estimation on lower bound for the minimum eigenvalue of the Fan product of M-matrices

CHEN Fubin1， ZHAO Jianxing2

(1. Oxbridge College, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650106, China；2. College of Science, Guizhou Minzu University, Guiyang 550025, China)

Abstract:A new lower bound on the minimum eigenvalue for the Fan product A★B of two nonsingular M-matrices A and B was given by using Cauchy-Schwitz inequality and compared the new bound with the classical results in the literature. Numerical example showed that the new estimating formula improve the result of Johnson and Horn effectively in some cases, and also was better than the other existing results, which approached the real value than existing ones.

Key words:M-matrix; fan product; minimum eigenvalue; lower bound

中圖分類號：O151.21

文獻標志碼:A

文章編號:1000-2162(2016)03-0012-05

作者簡介：陳付彬(1979-)，男，山東臨沂人，昆明理工大學副教授.

基金項目:國家自然科學基金資助項目(71161020, 11501141)；云南省教育廳科學研究基金資助項目(2013C165, 2015C107Y)

收稿日期：2015-03-11

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2016.03.003