奇合數(shù)n不是完全數(shù)的一些命題

張四保

(喀什大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,新疆 喀什 844008)

?

奇合數(shù)n不是完全數(shù)的一些命題

張四保

(喀什大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,新疆 喀什 844008)

摘要:奇完全數(shù)問題是數(shù)論中的一著名難題. 探討形如4m+1的奇正整數(shù)是否為完全數(shù)問題，給出其在σ(π(α))≡2(mod8)條件下不是完全數(shù)的一些命題，由此可以類似地討論其在σ(π(α))≡6(mod8)條件下的情形，從而可以給出4m+1型合數(shù)不是完全數(shù)的一系列條件.

關鍵詞:完全數(shù)；奇完全數(shù)；條件

初等數(shù)論是密碼學研究的重要基礎理論[1]，其有著很多的研究熱點課題.設σ(n)是正整數(shù)n所有正約數(shù)(包括1與n)的和函數(shù).如果正整數(shù)n滿足σ(n)=2n，則n被稱為完全數(shù).完全數(shù)問題是數(shù)論中的著名難題之一，許多學者對其進行了探究. 截至目前，人們只發(fā)現(xiàn)了49個完全數(shù)，且它們都是偶數(shù).是否存在奇完全數(shù)，這已成為數(shù)論中的一難題[2]. 因而研究是否存在奇完全數(shù)，或者給出某奇正整數(shù)不是完全數(shù)的條件，是數(shù)論中一項十分有意義的工作.

Euler研究給出了奇完全數(shù)n的形式為

(1)

其中：π與qi(i=1,2,…,s)為互素的奇素數(shù)；q1，q2，…，qs是滿足q1

1主要結論

當n是形如(1)式且為4m+1型的奇合數(shù)時，由于σ(n)是積性函數(shù)，有

由于π≡α≡1(mod4)，則π≡α≡1,5(mod8). 因而，當π≡1(mod8)時，有

當π≡5(mod8)時，有

其中：k是使得α=4k+1成立的非負整數(shù).

此時，當k≡0(mod2)，有σ(πα)≡6(mod8)；當k≡1(mod2)，有σ(πα)≡2(mod8).

綜合以上討論，恒有

由于

8m+2≡2(mod8)，

則當σ(πα)≡2(mod8)時，有

當σ(πα)≡6(mod8)時，有

由于qi(i=1,2,…,s)為奇素數(shù)，則qi可寫成qi≡±1(mod8)，qi≡±3(mod8)這4種形式.

當qi≡1(mod8)時，有

(2)

當qi≡-1(mod8)時，有

(3)

當qi≡3(mod8)時，有

(4)

當qi≡-3≡5(mod8)時，有

(5)

證明當qi都滿足qi≡1(mod8)，qi的指數(shù)2βi滿足βi≡1(mod4)時，有

此時，當s≡1(mod2)，即s為奇數(shù)，有

當qi都滿足qi≡1(mod8)，qi的指數(shù)2βi滿足βi≡3(mod4)時，有

此時，當s≡1(mod2)，即s為奇數(shù)，有

而當σ(πα)≡2(mod8)，有

因而，此時n不是完全數(shù).證畢.

證明qi都滿足qi≡1(mod8)，qi的指數(shù)2βi滿足βi≡1(mod4)時，有

qi的指數(shù)2βi滿足βi≡2(mod4)時，有

qi的指數(shù)2βi滿足βi≡3(mod4)時，有

此時，當指數(shù)滿足βi≡1(mod4)的素因子個數(shù)為偶數(shù)個，滿足βi≡2(mod4)與βi≡3(mod4)的素因子個數(shù)都為奇數(shù)個，有

當指數(shù)滿足βi≡3(mod4)的素因子個數(shù)都為偶數(shù)個，滿足βi≡1(mod4)與βi≡2(mod4)的素因子個數(shù)都為奇數(shù)個，有

此時，當指數(shù)滿足βi≡1(mod4)與βi≡2(mod4)的素因子個數(shù)都為奇數(shù)個，有

當指數(shù)滿足βi≡1(mod4)個數(shù)為奇數(shù)個，而滿足βi≡2(mod4)的素因子個數(shù)為偶數(shù)個，有

此時，當指數(shù)滿足βi≡1(mod4)的素因子個數(shù)為奇數(shù)個，滿足βi≡2(mod4)與βi≡3(mod4)的素因子個數(shù)都為偶數(shù)個，有

當指數(shù)滿足βi≡3(mod4)的素因子個數(shù)為奇數(shù)個，滿足βi≡1(mod4)與βi≡2(mod4)的素因子個數(shù)都為偶數(shù)個，有

此時，當滿足qi≡1(mod8)的素因子的個數(shù)為奇數(shù)個，滿足qi≡3(mod8)的素因子的個數(shù)為奇數(shù)個時，有

當滿足qi≡1(mod8)的素因子的個數(shù)為奇數(shù)個，滿足qi≡3(mod8)的素因子的個數(shù)為偶數(shù)個時，有

因而，此時n不是完全數(shù).證畢.

此時，當滿足qi≡1(mod8)的素因子的個數(shù)為奇數(shù)個，滿足qi≡5(mod8)的素因子的個數(shù)為奇數(shù)個時，有

當滿足qi≡1(mod8)的素因子的個數(shù)為偶數(shù)個，滿足qi≡5(mod8)的素因子的個數(shù)為奇數(shù)個時，有

因而，此時n不是完全數(shù).證畢.

此時，當滿足qi≡3(mod8)與qi≡5(mod8)的素因子的個數(shù)都為奇數(shù)個，有

當滿足qi≡3(mod8)的素因子個數(shù)為偶數(shù)個，而滿足qi≡5(mod8)的素因子的個數(shù)都為奇數(shù)個，有

因而，此時n不是完全數(shù).證畢.

此時，當滿足qi≡1(mod8)與qi≡3(mod8)的素因子的個數(shù)都為偶數(shù)，滿足qi≡5(mod8)的素因子的個數(shù)為奇數(shù)個時，有

當滿足qi≡1(mod8)與qi≡3(mod8)的素因子的個數(shù)都為奇數(shù)，滿足qi≡5(mod8)的素因子的個數(shù)為奇數(shù)個時，有

因而，此時n不是完全數(shù).證畢.

2結束語

參考文獻：

[1]李濱.多元一次不定方程解的結構及其應用[J].安徽大學學報(自然科學版)， 2015， 39(5)： 6-12.

[2]蓋伊．數(shù)論中未解決的問題[M]．張明堯,譯. 北京：科學出版社， 2003．

[3]DICKSON L E． History of theory of number[M]． Washington: Washington Carnegie Institution, 1919．

[4]BRENT R P, COHEN G L, RIELE H J. Improved techniques for lower bounds for odd perfect numbers[J]. Math Comp, 1991, 57: 857-868.

[5]MICHA E, RAO I . Odd perfect numbers are greater than 101500[J]. Math Comp, 2012, 81(279): 1869-1877.

[6]NIEISEN P P. Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors[J]. Math Comp, 2007, 76: 2109-2120.

[7]GOTO T, OHNO Y. Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108[J]. Math Comp, 2008, 77: 1859-1868.

[8]PASCAL O, MICHA E, RAO I. On the number of prime factors of an odd perfect number[J]. Math Comp, 2013, 83 (289): 2435-2439.

[9]ZHANG S B. Some results of a certain odd perfect number[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2014, 29(2): 167-170.

[10]MCDANIEL W L, HAGIS P. Some results concerning nonexistence of odd perfect numbers of the form pαm2β[J]. The J Fibonnacci Quart, 1975, 13 (1) : 25 -28.

[11]IANNUCCI D E, SORLI R M. On the total number of prime factors of an odd perfect number[J]. Math Comp, 2003, 72: 2078 -2084.

[12]STARNI P. On some properties of the Euler’s factor of certain odd perfect numbers[J]. J Number Theory, 2006, 116(1): 483- 486.

[13]朱玉揚.奇完全數(shù)的幾個命題[J].數(shù)學進展， 2011， 40(5)： 595-598.

[14]管訓貴.關于完全數(shù)的一點注記[J].青海師范大學學報(自然科學版)， 2014， 30 (4)：4-7.

(責任編輯朱夜明)

Several results on the positive odd numbersnis not perfect number

ZHANG Sibao

(School of Mathematics and Statistics, Kashgar University, Kashgar 844008,China)

Abstract:The problem of perfect number was a well-known difficult problem in number theory. In this paper, the problem that the positive odd numbers of the form 4m+1 was not perfect number was studied. And in the condition of σ(π(α))≡2(mod8), some results on the composite number be the form of 4m+1 was not perfect were given. Similarly, the conditions of was not odd perfect number in the condition of σ(π(α))≡6(mod8) can be discussed. Therefore, a series of conditions of the form of 4m+1 was not perfect number could be given.

Key words:perfect number; odd perfect number; condition

中圖分類號：O156

文獻標志碼:A

文章編號:1000-2162(2016)03-0006-06

作者簡介：張四保(1978-)，男，江西峽江人，喀什大學副教授.

基金項目:國家自然科學基金資助項目( 11201411)；喀什大學科研基金資助項目(142513)

收稿日期：2015-05-25

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2016.03.002