帶有末端角度和軌跡路徑點約束的MPSC制導律設計

李新三，汪立新，范小虎，閆循良，薛 亮，王明建

（1.第二炮兵工程大學 三系，西安 710025；2.第二炮兵工程大學 士官學院，青州 262500）

帶有末端角度和軌跡路徑點約束的MPSC制導律設計

李新三1，汪立新1，范小虎2，閆循良1，薛 亮1，王明建2

（1.第二炮兵工程大學 三系，西安 710025；2.第二炮兵工程大學 士官學院，青州 262500）

針對多約束制導問題，給出了一種同時滿足末端角度約束和飛行軌跡路徑點約束的模型預測擴展控制制導方法，該制導方法通過滿足飛行軌跡路徑點約束實現(xiàn)靈活調(diào)節(jié)飛行軌跡，可以大大縮短目標防御反應時間。模型預測擴展控制制導方法是基于非線性最優(yōu)控制理論，給出了控制量表達式以二次形式近似時制導律的設計過程。模型預測擴展控制制導方法只能對末端時刻輸出量進行約束，通過對該制導方法進行擴展，使其還可以滿足飛行軌跡路徑點約束。仿真結果表明，考慮飛行軌跡路徑點約束時，導彈經(jīng)過設定的路徑點并以給定的彈道傾角命中目標。

制導；模型預測擴展控制；末端攻擊角度約束；軌跡路徑點約束

目前，國內(nèi)外對帶有末端攻擊角度約束的制導律技術研究給與了極大的關注[1-5]。帶有末端攻擊角度約束的制導技術最早由 Kim和 Grider[1]提出，Kim和Grider采用最優(yōu)控制理論對角度和位移偏差進行最小化，對地面勻速運動目標進行跟蹤攻擊。Lee等人[2]將一種帶落角約束的最優(yōu)控制律應用于目標機動的情形。印度學者Padhi和Oza[6-9]提出了一種帶有末端多約束的模型預測靜態(tài)規(guī)劃（MPSP）制導算法，該方法采用靜態(tài)協(xié)態(tài)變量求解最優(yōu)控制問題，可以節(jié)省制導算法運算時間，具有在線應用的潛力。受MPSP和模型預測控制（MPC）[10]方法啟發(fā)，文獻[11]對MPSP方法中的控制量進行一次形式參數(shù)化近似處理，給出了一種模型預測擴展控制（MPSC）制導方法。與MPSP方法相比，MPSC方法中的控制指令變化更加平緩，利于控制量指令跟蹤。

以上研究均是對飛行速度方向進行約束控制，并沒有對姿態(tài)角進行約束控制。Ilan Rusnak等人[12]基于控制制導一體化理論實現(xiàn)對彈體末端姿態(tài)角進行直接控制。文獻[13]提出了一種在制導體系下的對彈體末端姿態(tài)角進行間接約束的制導方法。

飛行器在滑翔飛行過程中必須經(jīng)過一些特定點，以完成偵察、載荷投放和突防等任務，這些點被稱為“路徑點”[14]。文獻[14]在側向制導中采用基于飛行方向走廊的滾轉反向邏輯，滿足飛行過程中禁飛區(qū)、路徑點及終端航向誤差的約束條件。文獻[15] 將改進的阻力加速度制導方法應用于固定路徑點的目標重瞄滑翔制導算法中。文獻[14]和文獻[15]均只是事先選擇一個確定的路徑點。如果地對地戰(zhàn)術導彈是通過氣動舵面進行操縱，那么進行制導律設計時就必須確保高度增益不能太大。針對這一問題，本文對MPSC制導方法進行擴展，使其同時滿足末端角度約束和飛行軌跡路徑點約束。通過在飛行軌跡上設置一系列路徑點約束，依靠這種策略既可以調(diào)節(jié)飛行軌跡的高度，還可以實現(xiàn)對目標進行欺騙，縮短目標防御反應時間。如果飛行軌跡優(yōu)化能夠實時完成，動態(tài)調(diào)整飛行軌跡路徑點還可以使得飛行器靈活選擇突防策略。

1 MPSC制導方法

對于一般形式的非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和輸出方程如下：

，使得末端時刻的實際輸出 YN與期望輸出滿足：。運用線性化理論對式(1)和式(2)在各節(jié)點上進行離散化，得：

式中，

由于初始狀態(tài)1X是確定的，因此，1d 0X= ，式(3)可簡化為

通過迭代計算求解誤差系數(shù)矩陣kB：首先，定義如下式：

式(6)~(9)實現(xiàn)對誤差系數(shù)矩陣kB的迭代計算，運算量大大減小。

控制量表達式采用二次形式，如式(10)所示：

式中，a、b和c為當前控制量系數(shù)，kt為時間節(jié)點。

式中，0a、0b和0c為更新前控制量系數(shù)。

將式(12)代入式(6)，得：

式中，

式(14)可以寫成如下形式：當式(19)中方程個數(shù)小于等于系數(shù)a、b和c個數(shù)時，通過下式求解a、b和c：

如果式(19)中未知變量的個數(shù)大于方程數(shù)量，最優(yōu)解可以通過極小化目標函數(shù)求解，選取如下性能指標函數(shù)：

對式(22)進行變分運算，得：

將yC 、yD 和yE分別代入式(23)~(25)，得：

將a、b和c分別代入式(14)，得：

即

式中，

由式(30)得：

因此，控制量偏差為

當前控制量為

前面介紹的MPSC制導方法并不能滿足飛行軌跡路徑點約束。下一節(jié)將對帶有軌跡路徑點約束的MPSC制導方法進行分析。

2 帶有軌跡路徑點約束的MPSC制導律設計

本文對MPSC制導方法進行擴展，使其滿足飛行軌跡路徑點約束。

離散形式的帶有飛行軌跡路徑點約束的制導問題可以描述如下：

性能指標：

其中，狀態(tài)方程、輸出方程和性能指標函數(shù)對應于路徑點( 1)i- 至i之間的飛行軌跡，iN為第i個路徑點對應的離散點個數(shù)。

由于飛行軌跡路徑點i的狀態(tài)是前一段飛行軌跡的末端狀態(tài)，同時也是后一段飛行軌跡的初始條件，因此帶有飛行軌跡路徑點約束的制導問題屬于一個復雜的耦合問題。各路徑點對應的輸出偏差方程為

將式(37)代入式(36)，得：

將式(12)中dkU 代入式(38)，得：

式中，

式(39)即為第i個路徑點對應的輸出偏差方程。飛行軌跡上各個路徑點對應的輸出偏差方程和性能指標函數(shù)可以寫成下式：

式(41)是一個線性方程，選取性能指標函數(shù)使連續(xù)兩個軌跡路徑點之間飛行軌跡的控制能量最小。整個飛行軌跡上的性能指標函數(shù)如下式：

第i個路徑點對應的輸出偏差方程寫成下式：

式(41)中系統(tǒng)輸出偏差方程為線性形式，采用下式表示飛行軌跡路徑點輸出偏差方程：

式中，

與式(14)和式(21)類似，可以對式(42)和式(44)構成的系統(tǒng)進行求解。需要注意的是，各段飛行軌跡對應的誤差系數(shù)矩陣必須具有相同的列數(shù)，因此，各段飛行軌跡中離散控制量的個數(shù)是相同的。

為了驗證帶有飛行軌跡路徑點約束MPSC制導算法的有效性，假設導彈在豎直平面內(nèi)運動，通過空氣舵進行操縱，因此，必須滿足動壓條件，需要對飛行高度進行限制。豎直平面內(nèi)的質(zhì)心運動方程如下式：

式中，x和y為慣性坐標系中的位移，V為速度，γ為彈道傾角，ca為指令加速度，T為推力，D為氣動阻力。

導彈采用氣動控制，要求以期望的彈道傾角命中目標，并且滿足飛行軌跡路徑點約束，因此輸出方程分別采用如下形式：

① 末端彈道傾角和位置約束：與第i個約束相對應的期望輸出方程為

② 飛行軌跡路徑點約束：與第j個路徑點約束相對應的輸出方程為

制導問題求解時首先需要對狀態(tài)方程和輸出方程進行離散化處理，這里采用歐拉法進行離散化。另外，本文運用PN制導律對初始控制量進行猜測。由于篇幅限制，論文不再詳細闡述。

3 數(shù)值仿真與分析

分別針對不考慮飛行軌跡路徑點約束和考慮飛行軌跡路徑點約束這兩種情況進行仿真分析。導彈結構參數(shù)請參照文獻[16]，假設飛行器垂直發(fā)射，攻角α=0°，彈道傾角γ=90°，初始位置位于坐標原點。仿真時，時間、位置和加速度指令等參數(shù)進行歸一化處理。

圖1 飛行軌跡示意圖Fig.1 Trajectories

圖2 彈道傾角變化曲線Fig. 2 Histories of elevation flight path angle

圖3 加速度指令變化曲線Fig.3 Histories of acceleration command

圖1 為飛行軌跡變化示意圖，圖2為彈道傾角變化曲線。不考慮飛行軌跡路徑點約束時，采用式(46)形式的約束，飛行器以的傾角命中目標。由于飛行器的彈道高度太高，導致動壓過低，需要采用其他的操控方式進行控制?？紤]飛行軌跡路徑點約束時，采用式(46)和式(47)形式的約束。由圖1可知，飛行軌跡經(jīng)過設定的約束路徑點，以的傾角命中目標。因此，通過引入飛行軌跡路徑點約束對飛行高度進行限制，調(diào)節(jié)飛行軌跡的形狀，可以提高飛行器的突防能力。圖3為法向加速度指令變化曲線，由于法向加速度指令采用二次形式近似，在整個制導過程中法向加速度指令在有限范圍內(nèi)變化平緩，并沒有出現(xiàn)突變。

4 結 論

本文提出了一種滿足末端角度約束和飛行軌跡路徑點約束的 MPSC制導方法。通過飛行軌跡路徑點約束限制飛行高度，不僅可以使動壓滿足采用氣動舵進行操控的條件，還可以借助于飛行軌跡的調(diào)節(jié)縮短目標防御反應時間。由于 MPSC制導算法計算量較小，因此可以通過飛行軌跡地實時優(yōu)化進行飛行軌跡路徑點地動態(tài)調(diào)節(jié)，使得飛行器具備靈活選擇突防策略的能力。目前這方面的研究在已公開的文獻中還比較少。

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Guidance law of model predictive spread control with waypoints and terminal impact angle constraints

LI Xin-san1, WANG Li-xin1, FAN Xiao-hu2, YAN Xun-liang1, XUE Liang1, WANG Ming-jian2
(1. Department 3, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China; 2. Petty Officer Academy, The Second Artillery Engineering University, Qingzhou 262500, Shandong, China)

In view of guidance law with multi-constraints, a suboptimal guidance law with both terminal impact angle and waypoints constraints is presented by using the proposed model predictive spread control (MPSC) technique. Waypoints constraint gives the flexibility to shape the trajectory as well as to deny the enemy a long reaction time. The MPSC guidance law is based on nonlinear optimal control theory. The design process of guidance law is given, supposing that the controlled variable adopts quadratic approximation. Some modifications on the MPSC guidance law are given, then it can also satisfy the flight trajectory constraints instead of only satisfying the final output constraints. Simulation results show that the missile can pass through the given waypoints in addition to achieving near zero miss distance with demand flight path angle.

guidance law; model predictive spread control; terminal impact angle constraint; waypoint constraint

V444

A

1005-6734(2016)01-0119-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.01.022

2015-10-23；

2015-12-29

國家自然科學基金（61503390）

李新三（1982—），男，博士研究生，從事導航制導仿真技術研究。E-mail: xinsan_2006@163.com

聯(lián) 系 人：汪立新（1966—），男，教授，博士生導師。E-mail: wanglixin066@sina.cn