• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    利用對稱性計算二重積分

    2016-05-14 11:04朱永婷王樺
    關(guān)鍵詞:奇偶性對稱性

    朱永婷 王樺

    [摘要]為了簡化重積分的運算,考慮到積分區(qū)域的對稱性,依據(jù)被積函數(shù)的奇偶性,介紹利用對稱性計算重積分的方法,并借助實例說明其應(yīng)用。

    [關(guān)鍵詞]奇偶性;對稱性;二重積分

    重積分的計算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重點,也是每屆學(xué)生學(xué)習(xí)的難點?,F(xiàn)有的教材給出了通用的計算方法,化重積分為累次積分,但對大多數(shù)初學(xué)者來說,它的計算是令人頭疼的事情。如果把重積分的計算與對稱性相結(jié)合,會大大的減小計算量,降低計算難度。本文突破教材,從對稱性角度出發(fā),介紹一種行之有效的簡便計算方法。

    在定積分的計算中,我們有對稱性區(qū)間上偶倍奇零的結(jié)論,即:

    設(shè)f(x)在[-a,a]上連續(xù),

    ①若f(x)為偶函數(shù),則 ∫a-af(x)dx=2∫a0f(x)dx;

    ②若f(x)為奇函數(shù),則∫a-af(x)dx=0。

    如果我們將一元函數(shù)奇偶性的定義推廣到多元函數(shù),那么在對稱域上,重積分是否也有類似的結(jié)論?下面我們以二重積分為例進行探討。

    (一)多元函數(shù)廣義奇偶性的定義

    定義 如果二元函數(shù) z=f(x,y)的定義域是一個對稱區(qū)域D(關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、原點對稱),設(shè)A∈D,其對稱點為A′,若恒有f(A)=-f(A′) (f(A)=f(A′)),則稱 z=f(x,y)是該對稱區(qū)域上廣義的奇(偶)函數(shù)。為了敘述方便,以后我們統(tǒng)一稱為奇(偶)函數(shù)。

    從定義可以看出,二元函數(shù)在對稱區(qū)域上奇偶性的判斷,首先在對稱區(qū)域內(nèi),尋找相互對稱的任意兩點A和A′;然后判斷A和A′點處對應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系,若相等則為對稱區(qū)域上的偶函數(shù),若相反則為對稱區(qū)域上的奇函數(shù)。

    例1 判斷f(x,y)=sinx+siny在關(guān)于原點對稱區(qū)域上的奇偶性。

    解 設(shè)A(x,y)在積分區(qū)域內(nèi),其關(guān)于原點對稱的點為A′(-x,-y),則:

    f(A)=f(x,y)=sinx+siny。

    f(A′)=f(-x,-y)=sin(-x)+sin(-y)=-(sinx+siny)。

    所以f(A)=-f(A′),因此sinx+siny是關(guān)于原點對稱區(qū)域上的奇函數(shù)。

    (2)積分區(qū)域為對稱區(qū)域時的計算

    定理 若積分區(qū)域D(關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、原點對稱),設(shè)A∈D,其對稱點為A′,

    Df(x,y)dxdy=0f(A)=-f(A′)2D1f(x,y)dxdyf(A)=f(A′)

    其中D1表示D位于對稱軸(點)一側(cè)的部分。

    積分區(qū)域D的對稱性有四種不同的情形,但是只要滿足在對稱區(qū)域上,被積函數(shù)具有相應(yīng)的奇偶性,就能利用偶倍奇零的原則化簡重積分。

    例2 利用對稱性計算D(|x|+|y|+sinx+siny)dxdy,其中D為 |x|+|y|≤1所圍平面閉區(qū)域。

    解 在對稱區(qū)域上,函數(shù)的奇偶性不同,所以我們把被積函數(shù)分成兩部分,其中D4代表D在第四象限的部分。

    原式=D(|x|+|y|)dxdy+D(sinx+siny)dxdy

    =2D1+D4(|x|+|y|)dxdy+0

    =4D1(|x|+|y|)dxdy+0

    =43。

    由此例題說明,利用對稱性計算二重積分可以大大簡化計算,即節(jié)省了時間,又提高了正確率。但是在使用的過程中需要注意的兩個條件,1。積分區(qū)域D具有對稱性;2。被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域內(nèi)具有相應(yīng)的奇偶性。

    例3 I=Dx[1+yf(x2+y2)]dxdy,其中D是由y=x3,y=1,x=-1所圍成的平面閉區(qū)域,f為連續(xù)函數(shù)。

    解:在積分區(qū)域內(nèi)作輔助線y=-x3,此曲線將積分區(qū)域D分為兩部分D1和D2,D1關(guān)于x軸對稱,D2關(guān)于y軸對稱,則

    I=D1x[1+yf(x2+y2)]dxdy+D2x[1+yf(x2+y2)]dxdy

    =D2xdxdy+0

    =25。

    從上面的例題不難發(fā)現(xiàn),在二重積分的計算中,利用“對稱區(qū)域上偶倍奇零”的原則,會達到事半功倍的效果。同樣,該原則也可以推廣到三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分的化簡計算上。

    [參考文獻]

    [1]毛綱源。高等數(shù)學(xué)解題方法歸納[M]。武漢:華中科技大學(xué)出版社,2001。

    [2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系。高等數(shù)學(xué)[M]。北京:高等教育出版社,2007。

    猜你喜歡
    奇偶性對稱性
    一類截斷Hankel算子的復(fù)對稱性
    等腰三角形的對稱性
    函數(shù)的圖象、單調(diào)性和奇偶性
    巧用對稱性解題
    橫向不調(diào)伴TMD患者髁突位置及對稱性
    對稱,不僅只有美——巧用對稱性,速解高考題
    函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性
    巧用對稱性解題
    佳木斯市| 隆林| 婺源县| 乌拉特后旗| 遂溪县| 兴业县| 深水埗区| 运城市| 上栗县| 凯里市| 浠水县| 大竹县| 称多县| 临夏县| 玛沁县| 阿合奇县| 阜平县| 平遥县| 镇安县| 个旧市| 梁河县| 射洪县| 昭觉县| 南丹县| 和顺县| 正安县| 彰化县| 孟州市| 平泉县| 金堂县| 云霄县| 密云县| 徐闻县| 高陵县| 东海县| 德江县| 宁强县| 即墨市| 集安市| 泸溪县| 论坛|