仔細研讀教材 精心設計教學

周長林　王英偉

[摘要]提高課堂效率是數(shù)學教學的永恒主題，是無數(shù)數(shù)學教師追求的目標，那么怎樣讓課堂高效，使學生的思維得到訓練，學習數(shù)學的能力提高，這就要求教師要立足教材，整合教材，了解學情，精心設計好每一堂課。

[關(guān)鍵詞]課堂教學；整合教材；思維訓練

一、教學設計要瞻前顧后

教師要整體把握教材，通曉教材的前后聯(lián)系，宏觀了解其編寫的體例與說明，形成對教材的宏觀認識，清楚各個模塊的前后聯(lián)系。仔細研讀教材，理解編者的意圖。

案例1：《任意角的三角函數(shù)定義》教學設計的一些思考

在學習任意角的三角函數(shù)定義之前，學生在初中已學過直角三角形中銳角的三角函數(shù)的定義，而且學生對這個定義印象非常深刻。在講本節(jié)課之前，我反復琢磨，怎樣立足初中學過的定義，依據(jù)學生現(xiàn)有認知經(jīng)驗，將“舊”定義，趕出學生的頭腦，樹立起“新”觀念。另外，對于不同版本的教材，任意角的三角函數(shù)定義也略有不同，一種是終邊坐標法，一種是單位圓法。兩者各有優(yōu)點，終邊坐標法符合三角函數(shù)形成發(fā)展的規(guī)律，反映數(shù)學概念的本質(zhì)，突出比值，易與初中定義銜接；單位圓法，定義形式簡單，更符合函數(shù)的概念，為今后學習三角函數(shù)值在各象限的符號、同角的三角函數(shù)關(guān)系、誘導公式提供了方便，這也正是編者的意圖。兩種定義各有千秋、難以取舍。怎樣設計本節(jié)課，才能既符合學生原有的認知水平，又使教學流暢、自然，兼顧不同定義的優(yōu)點。

《任意角的三角函數(shù)定義》教學片斷：

圖 1

教師：在Rt△POQ（如圖1）中，若OQ=x，QP=y，OP=r，記∠POQ=α。

求：sinα，cosα，tanα。

圖 2

教師：將Rt△POQ（如圖2）放在坐標系中，以O為原點，α為任意角，點P的坐標為（x，y），則α的正弦、余弦、正切可以看成角α終邊上點的坐標比，與點P在終邊的位置有關(guān)嗎？

教師：請同學們回憶函數(shù)的概念。（期待學生說出從實數(shù)到實數(shù)的映射，而在α的正弦、余弦、正切中，α（弧度）是實數(shù)，卻與比值對應，不符合以往對函數(shù)的認識，怎樣將它們的形式優(yōu)化？（從而引出單位圓的概念。）

教師：怎樣選取點P，能將sinα=yr，cosα=xr的形式得到優(yōu)化。（學生自然會想到r=1，找到點P）

在例1中，求5π3的正弦、余弦和正切值。學生會想到用單位圓法。可是在例2中，已知角α的終邊經(jīng)過點P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。學生會感受的終邊坐標法的優(yōu)越性。

這樣教師通過問題引導、層層遞進，使復雜問題簡單化，簡單問題具體化，定義得以優(yōu)化。實際學生得到了兩種形式的任意角的三角函數(shù)定義，發(fā)現(xiàn)雖形式不同，但本質(zhì)一樣，上升到哲學高度。最后強調(diào)本節(jié)課一“破”一“立”，打破了三角函數(shù)定義在直角三角形的局限，樹立了用角終邊上點的坐標來定義三角函數(shù)的新觀念。

日本數(shù)學教育家米山國藏說：“學生們在初中、高中等接受的數(shù)學知識，因畢業(yè)進入社會幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數(shù)學，通常是出校門不到兩年，很快就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深地銘刻在頭腦中的數(shù)學精神、數(shù)學思想方法、研究方法、推理方法和著眼點卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。”我理解的高效課堂是通過這節(jié)課學生學到了知識，發(fā)展了思維，提升了能力并能上升到哲學的高度。在學生走出教室、走出校門，若干年后，仍留在頭腦中的東西。

縱觀數(shù)學教材的編排，知識是呈螺旋式上升的，教師要了解中小學數(shù)學中每個主要概念的來龍去脈，把知識連成線、織成面、構(gòu)成網(wǎng)。高中數(shù)學知識中，許多章節(jié)起著承前啟后的作用，肩負著重要的使命。如《平面向量的基本定理》，這一節(jié)內(nèi)容是本章的“分水嶺”，在這之前向量只有“形”和“符號”的表示，向量的運算也只有“形”和“符號”的運算。而在這之后，向量有了坐標，就將向量的運算納入到數(shù)的運算范疇；平面向量的基本定理既是向量共線定理的發(fā)展，又為今后學習空間向量基本定理奠定了基礎(chǔ)。因此教師在實施教學時必須采用聯(lián)系的觀點，立足教材，巧妙地對教學進行設計，更好地整合教材，才能有高效的課堂教學。

二、教學設計要左顧右盼

作為新時代的教師，特別是具有新課程理念的教師，不但要熟知本學科知識結(jié)構(gòu)，具備駕馭、整合本學科教材的能力，還應跳出本學科教材，汲取跨學科教材的養(yǎng)分，搞好跨學科教材的整合。高中數(shù)學與物理、地理、化學等學科都有密切的關(guān)系，因此教師在設計教學時，還要橫向比較，加強學科間的聯(lián)系。

數(shù)學與物理兩學科有許多知識的交叉與融合點，如向量、向量的平行四邊形和三角形法則，割線逼近切線、變力做功、瞬時速度、周期教學時間有滯后或超前現(xiàn)象，要根據(jù)教學需要作適當調(diào)整，可適當將數(shù)學（物理）所學的相關(guān)知識以問答形式布置給學生預習，或引導學生閱讀數(shù)學（物理）教材中的相關(guān)內(nèi)容，加深對知識的理解，加強學科間的聯(lián)系，讓學生感受到數(shù)學是物理的工具，物理又促進了數(shù)學的發(fā)展。

案例2：如小船渡河問題

小船渡河問題屬于高中物理必修2《質(zhì)點在平面內(nèi)的運動》中的合成與分解問題。實際要運用向量中的平行四邊形法則來解決，而數(shù)學知識的學習要滯后物理。那么在數(shù)學人教版必修4第二章《向量》部分習題2。5 B組第二題涉及小船行使時間最短問題。

一條河的兩岸平行，河的寬度為d=500 m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸，已知船在靜水中的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=2 km/h，要使船航行的時間最短，那么船行使的距離與合速度的比值必須最小。

分三種情況：（1）船順流行駛，與水流成銳角；

（2）船與對岸垂直行駛，與水流成直角；

（3）船逆流行駛，與水流成鈍角。

物理學采用的“化復雜問題為簡單問題”的處理方法，把復雜運動看作是簡單運動的合成，分運動的性質(zhì)決定了合運動的性質(zhì)。渡河問題是學生的薄弱環(huán)節(jié)，主要反映在用數(shù)學知識解決物理問題的能力較弱。

物理中將問題簡化，各分運動與合運動具有等時、等效性。

圖 3

如圖3船頭與河岸垂直時，航行時間最短：t=s1v1=dv1。

數(shù)學的解決方法：

設v1與v2的夾角為θ，合速度為v，v2與v的夾角為α，行使距離為d，則

sinα=v1sinθv=10sinθv，d=0。5sinα=v20sinθ，

d|v|=120sinθ。

所以，當θ=90°，即船垂直于對岸行速時所用時間最短。

對于同一問題，兩學科解決的方法不同，物理偏重于應用，將問題簡化，數(shù)學完全從運算的角度，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值的問題，但本質(zhì)是一樣的。更反映了數(shù)學是物理的工具，物理為數(shù)學注入了活力。因此教師在教學時，要善于尋找學科間的聯(lián)系，打破學科間的壁壘，優(yōu)化課堂設計，提高課堂效率。

三、教學設計要聯(lián)系實際

新課程增加了數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增強了數(shù)學的應用價值，讓學生學習有用的數(shù)學。而實際教學中，受傳統(tǒng)教學思想的影響，教師對數(shù)學應用不夠重視，對與應用有關(guān)的內(nèi)容整合、駕馭能力較差，導致學生害怕、抵觸與應用有關(guān)的知識和題目。其實，這類問題“難”在從實際背景中提煉出數(shù)學問題，這就要求我們在教學過程中重視從學生的生活經(jīng)驗出發(fā)更好地理解與掌握抽象的數(shù)學概念與知識，把抽象出來的數(shù)學概念與知識應用于新的情境。

案例3：《三角函數(shù)模型的簡單應用》的教學片斷

圖 4

如圖4，設地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射緯度，φ為該地的緯度值。當?shù)叵陌肽軎娜≌?，冬半年δ取負值?/p>

如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40°）的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應小于多少？

問題1 圖4中θ，δ，φ這三個角之間的關(guān)系是什么？

如圖4這三個量之間的關(guān)系是θ=90°-φ-δ（當?shù)叵陌肽軎娜≌?，冬半年δ取負值）?/p>

問題2 當太陽高度角為θ時，設高為h0的樓房在圖 5地面上的投影長為h（如圖5），那么θ，h0，h三者滿足什么關(guān)系？

h0=htanθ。

問題3 根據(jù)地理知識，北京地區(qū)一年中，正午太陽直射什么緯度位置時，物體的影子最短或影子最長？

太陽直射北回歸線時物體的影子最短，直射南回歸線時物體的影子最長。

問題4 綜上分析，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應小于多少？

解 要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應取太陽直射南回歸線的情況考慮，此時的太陽直射緯度為-23°26′。

根據(jù)太陽高度角的定義，有θ=90°-|40°-（-23°26′）|=26°34′，所以h=h0tanθ=h0tan26°34′≈2h0。

即在蓋樓時，為使樓不被前樓遮擋，要留出相當于樓高兩倍的間距。

本題是研究樓高與樓在后地面的投影長的關(guān)系問題，是將實際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型，然后根據(jù)所得的模型解決問題。

教材中涉及與實際生產(chǎn)生活聯(lián)系的內(nèi)容很多，數(shù)學應用對教師的教學提出了新的挑戰(zhàn)，既要了解實際生產(chǎn)生活相關(guān)知識，又要與數(shù)學知識有機的整合，根據(jù)學情設計教學方案。

總之，教師對教材理解的深度、整合駕馭教材的能力，直接影響教學設計的科學性，有效性，從而決定課堂教學是否高效。

[參考文獻]

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