數(shù)列遞推思想的應(yīng)用

黃旭東

數(shù)列作為高考的考點(diǎn)與熱點(diǎn)，在歷年的高考中所占比例較大，特別在綜合題中的應(yīng)用，能力要求越來越高.其中數(shù)列遞推思想，具有很強(qiáng)的邏輯性，是學(xué)習(xí)邏輯推理和化歸能力的好素材，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的好載體，其遞推思想在解題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛.下面對數(shù)列遞推思想的應(yīng)用作簡要梳理，供參考.

在歸納推理中應(yīng)用

例1 如圖，一白珠下面掛一黑珠，每一黑珠下掛一黑珠與一白珠，則第11行黑珠的個數(shù)為________.

[…第一行][…第二行][…第三行][…第四行][…第五行][…第六行]

解析 設(shè)第行黑珠的個數(shù)為個，則，則第行黑珠的個數(shù)為等于第行黑珠的個數(shù)為與第行白珠的個數(shù)之和，由于第行白珠的個數(shù)即為第行中黑珠個數(shù)，故有.

點(diǎn)撥 此題通過運(yùn)用遞推思想得到一個遞推關(guān)系，正是著名的“斐波拉契數(shù)列”. 在一些數(shù)列歸納通項(xiàng)的推理中，利用遞推思想，構(gòu)建遞推公式，使有限拓展到無限，由特殊變成一般規(guī)律，這是解決此類問題常見思路與方法，同理這也體現(xiàn)了合理推理的精髓所在.

構(gòu)建“遞推公式”，巧證數(shù)列不等式

例2 已知函數(shù)設(shè)滿足 ，，數(shù)列滿足，.證明：.

解析 本題可不用數(shù)學(xué)歸納法證，直接應(yīng)用遞推公式證更加簡潔，簡證如下.

時，顯然成立.

時，由題意得，，且，

綜上所述，.

點(diǎn)撥 此題由兩邊結(jié)構(gòu)中都有，故聯(lián)想遞推關(guān)系，類比“已知等比數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)方法”，適當(dāng)放縮使問題得以解決.在中學(xué)階段某些壓軸數(shù)列不等式的證明中，常利用此遞推思想結(jié)合放縮法進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸.

構(gòu)建遞推數(shù)列模型，求無限往復(fù)數(shù)學(xué)問題

例3 設(shè)是正三角形的邊上的任意一點(diǎn)，從 向邊引垂線，垂足為，再從向邊引垂線，垂足為；再從向邊引垂線，垂足為，再從重復(fù)以上操作，得當(dāng)時， 能否無限趨近于某一點(diǎn)？若能，請指出這一點(diǎn)的位置；若不能，請說明理由.

解析 此題為典型的無限往復(fù)問題，其本質(zhì)為求極限點(diǎn)，看似很復(fù)雜，我們先不妨構(gòu)建遞推關(guān)系，如圖.

不妨設(shè) ，正三角形邊長設(shè)為1，

.

故當(dāng)時，無限趨近于的距的等分處.

點(diǎn)撥 在無限反復(fù)問題中，過程較繁瑣. 這類問題通過構(gòu)建相鄰過程的二元數(shù)量的遞推關(guān)系，由“理不斷”的無限反復(fù)變成相對固定的數(shù)列遞推模型來解決，問題解答順利而流暢！

用遞推思想解決一些濃度混合應(yīng)用題

例4 現(xiàn)有流量均為300m3/s的兩條河流匯合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2kg/m3和0.2kg/m3. 假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干觀測點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個觀測點(diǎn)的過程中，其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100m3的水量，即從股流入股100m3水，經(jīng)混合后，又從股流入股100m3的水量并混合.問：從第個觀測開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3（不考慮泥沙沉淀）.

解析 設(shè)第個觀測點(diǎn)兩股水流含沙量分別為kg/m3與kg/m3，

則，

且 =①，

=②.

①-②得， =.

故從第9個觀測點(diǎn)開始，兩股水流含沙量之差小于0.01kg/m3.

點(diǎn)撥 在濃度混合問題中，不斷地“混合”，使問題變得較為“混沌”，此類問題可通過構(gòu)建交叉遞推數(shù)列，再利用遞推數(shù)列的解法去化“混沌”為“清晰”，使思路明了而清晰.

遞推思想在計(jì)數(shù)方面的應(yīng)用

例5 將一個圓分成個扇形部分，依次為，每一扇形分別用種不同顏色中任一種涂色，其中相鄰部分涂不同顏色，則不同的染色方案有多少種？

解析 設(shè)有種涂色方案，則表示用這種不同的顏色按同樣的規(guī)則填涂類似的塊區(qū)域.

顯然，先涂區(qū)域有種；再涂區(qū)域，不能與區(qū)域同色，有種，再涂區(qū)域，不能與區(qū)域同色，也有種，按照這種方式一直涂到區(qū)域.

我們不妨只考慮區(qū)域與區(qū)域不同色，則共有種.

但其中包含區(qū)域與區(qū)域同色的情形，當(dāng)區(qū)域與區(qū)域同色時，可將此二區(qū)域視為一個區(qū)域來涂色，這種情形下的涂色方法恰為于是就得出了一個遞推關(guān)系：

上式可改寫成：.

即數(shù)列（）是一個公比為-1的等比數(shù)列.

綜上所述，

點(diǎn)撥 在一些復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)列遞推思維組建遞推關(guān)系可起到“皰丁解?！钡淖饔?，使問題清晰而明了.需要說明的是，此題涉及到計(jì)數(shù)中的染色問題，通過遞歸關(guān)系得到一個一般化的通式，此式在染色問題中應(yīng)用相當(dāng)廣泛.

遞推思想在某些概率問題方面的應(yīng)用

例6 已知，正四面體中，一枚棋子從一個頂點(diǎn)出發(fā)，選任何一條棱移動的概率都相等，每次移動前，擲一次骰子，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，則棋子原地不動；若出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則移動. 一枚棋子從點(diǎn)開始移動到點(diǎn)，求擲次骰子，才到達(dá)點(diǎn)的概率.

解析 設(shè)擲次骰子時到達(dá)點(diǎn)的概率為，由題意知，在點(diǎn)選擇任一條棱的概率均為，向前移動一次概率為 ，則分二類：（1）擲第次時不在點(diǎn)，則到達(dá)必順擲奇數(shù)點(diǎn)且從該點(diǎn)移動到，則其概率為；（2）擲第次時在點(diǎn)，則第次必順擲偶數(shù)點(diǎn)且不移動，則其概率為.

故由（1）（2）知，

則有，

故數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為

公比為的等比數(shù)列.

則有，即即擲次骰子，才到達(dá)點(diǎn)的概率.

點(diǎn)撥 此題位置不確定，擲點(diǎn)奇偶不定，關(guān)系復(fù)雜，利用遞推思想是最有郊的方法，通過構(gòu)建遞推數(shù)列，問題迎刃而解.一般存在相互依存關(guān)系問題的概率都可運(yùn)用遞推思路去解決.

綜上所述，靈活運(yùn)用遞推思維，構(gòu)造遞推數(shù)列解決某些問題，可以起到化繁為簡、化抽象為具體的奇效. 其運(yùn)用過程中，融高度的邏輯性于一體，是數(shù)學(xué)中化歸思想的深度體現(xiàn)，因此在平時高考復(fù)習(xí)中，應(yīng)引起我們足夠的重視.