立體幾何熱點掃描

秦愷然

立體幾何解答題，文科突出考查直觀感知和簡單的推理論證，比如證明線面平行或垂直，計算幾何體的表面積或體積等，不涉及線面角和二面角；理科更注重對空間想象能力和推理論證能力的考查，平行和垂直關(guān)系以及計算線面角或二面角都是重要內(nèi)容，同時，題目的設(shè)計兼顧“幾何法”和“向量法”.

平行與垂直關(guān)系

例1 如圖，在直三棱柱中，面和面都是正方形且互相垂直，為的中點，為的中點. 運用向量方法證明：

（1）平面；

（2）平面平面.

分析 從點出發(fā)的三條直線，，兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系.

證明一 由題意得，，，兩兩垂直，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形邊長為1，則，，，，，，.

（1）

（2）設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，.

點撥 空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量法來論證，而用向量法證明空間線線、線面、面面平行或垂直時，實質(zhì)上轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系. 利用空間向量證明平行與垂直的方法與步驟如下. （1）坐標(biāo)運算法：①建立空間直角坐標(biāo)系，建系時，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；②建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素；③通過空間向量的運算研究平行、垂直關(guān)系；④根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)問題. （2）基向量運算法：①選基向量，要盡量選用三個不共面的且夾角最好為90°（其次為60°或120°）、模長或其關(guān)系已知的向量為基向量；②將相關(guān)向量用基向量表示；③將證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運算；④根據(jù)運算結(jié)果得結(jié)論.

直線與直線或面的夾角

例2 如圖，長方體中，，，，點，分別在，上，. 過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形. 求直線與平面所成角的正弦值.

分析 由交線圍成的正方形，計算相關(guān)數(shù)據(jù). 以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，并求平面的法向量和直線的方向向量，利用求直線與平面所成角的正弦值.

解 作，垂足為則，，因為為正方形，所以.于是，所以.以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則即所以可取.又，故.所以直線與平面所成角的正弦值為.

點撥 （1）異面直線所成的角的范圍是（0，]. 求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決. 具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來求角.

（2）直線與平面所成的角的范圍是[0，]. 求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法.具體步驟如下：①找過斜線上一點與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；③把該角置于三角形中計算.而利用向量法求線面角的方法：①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）；②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.

二面角

例3 如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，為的中點. 求二面角的余弦值.

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量. 設(shè)平面AEB的法向量，利用線線垂直，數(shù)量積為零，列方程求出法向量，再根據(jù)二面角公式求出法向量的余弦值.

解 取的中點，連接，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，由于平面與軸垂直，則設(shè)平面的法向量為，平面的法向量，則，二面角的余弦值. 又二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.

點撥 二面角的范圍是（0，π]，解題時要注意圖形的位置和題目的要求.

（1）作二面角的平面角常有三種方法：棱上一點雙垂線法、面上一點三垂線法、空間一點垂面法.

（2）利用空間向量求二面角可以有兩種方法. 一是利用二面角的平面角的定義，分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小. 二是通過平面的法向量來求：設(shè)二面角的兩個半平面的法向量分別為和，則二面角的大小等于兩個平面的法向量的角或其補角，設(shè)二面角為，即=（或=）. 利用兩個平面的法向量求二面角時，要注意觀察兩個半平面所成角的范圍，或者題目要求.

探索性問題

主要考查空間幾何體中尋找使結(jié)論成立的條件或探索使結(jié)論成立的點是否存在等問題，全面考查大家立體幾何及空間向量知識的應(yīng)用，同時考查空間想象能力、邏輯思維能力、探究能力和運算能力以及函數(shù)與方程思想.

例4 如下左圖，在三棱臺中，分別為的中點. 若平面，，，求平面與平面所成的角（銳角）的大小.

分析 思路一：連接，設(shè)，連接證明兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作于點，作于點，連接，證明即為所求的角，然后在三角形中求解.

所以平面與平面所成角（銳角）的大小為.

點撥 （1）利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，它無需進(jìn)行復(fù)雜的論證推理，只需通過坐標(biāo)運算進(jìn)行判斷，但對運算有較高要求，運算結(jié)論要準(zhǔn)確. （2）解題時，注意把要成立的結(jié)論做為已知條件，據(jù)此列方程或方程組，把存在性問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否存在，在限制范圍內(nèi)是否有解”等，因此把空間問題轉(zhuǎn)化為運算問題，使問題的解決變的簡單更有效.