基于ARMA平穩(wěn)時(shí)間序列的機(jī)票價(jià)格預(yù)測(cè)模型

林鑫 解沐萱 陳巍立 孟楠 王雪瑩 梁晨旭

摘要：伴隨著網(wǎng)絡(luò)訂票平臺(tái)的普及，越來越多的人選擇這些平臺(tái)來訂購飛機(jī)票，然而航空公司會(huì)根據(jù)自己的一套復(fù)雜定價(jià)機(jī)制隨時(shí)調(diào)整機(jī)票價(jià)格，機(jī)票的價(jià)格波動(dòng)幅度比較大。文章基于山海關(guān)機(jī)場(chǎng)的某航線，連續(xù)追蹤了半年的數(shù)據(jù)建立了時(shí)間序列模型，并給出了預(yù)測(cè)機(jī)票價(jià)格的ARMA模型，為顧客節(jié)省費(fèi)用提供了一定的理論依據(jù)以及實(shí)際幫助。

關(guān)鍵詞：機(jī)票價(jià)格；價(jià)格預(yù)測(cè)；ARMA模型；山海關(guān)機(jī)場(chǎng)；時(shí)間序列模型 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類號(hào)：TP393 文章編號(hào)：1009-2374（2016）05-0019-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.05.010

1 概述

航空公司根據(jù)收益管理系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)價(jià)格調(diào)整，票價(jià)變化明顯，所以機(jī)票價(jià)格浮動(dòng)大這一特點(diǎn)使價(jià)格預(yù)測(cè)極具實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。目前，國內(nèi)針對(duì)機(jī)票價(jià)格預(yù)測(cè)模型的研究多在超售模型、價(jià)格走勢(shì)規(guī)律、航空公司定價(jià)機(jī)制等方面。而國外已有如FareCast和FareCompare等成熟的機(jī)票價(jià)格預(yù)測(cè)工具，是機(jī)票價(jià)格預(yù)測(cè)和追蹤網(wǎng)站中的佼佼者。由于國內(nèi)的航空公司使用的收益管理與國外有所不同，導(dǎo)致國外的預(yù)測(cè)方式大多不適合國內(nèi)的機(jī)票價(jià)格變化。在此基礎(chǔ)上，國內(nèi)有許多學(xué)者對(duì)機(jī)票價(jià)格的預(yù)測(cè)進(jìn)行了研究。顧兆軍以北京首都機(jī)場(chǎng)某航線為例，主要從飛機(jī)的離港時(shí)間入手，結(jié)合時(shí)間序列算法建立了機(jī)票的價(jià)格預(yù)測(cè)模型；陳巖松主要從技術(shù)層面利用垂直搜索技術(shù)和HBase分布式數(shù)據(jù)庫建立了機(jī)票價(jià)格預(yù)測(cè)系統(tǒng)；黃承真主要從云計(jì)算的視角，利用Hadoop的任務(wù)分配策略從技術(shù)層面上建立了機(jī)票價(jià)格預(yù)測(cè)的模型。

本文將在此基礎(chǔ)上以國內(nèi)航線為例，研究某既定日起飛的航班機(jī)票在預(yù)售期內(nèi)的價(jià)格浮動(dòng)，利用時(shí)間序列算法建立某既定日期與航班的機(jī)票在未來幾天內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)預(yù)測(cè)模型。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第一部分為理論基礎(chǔ)，介紹了時(shí)間序列的重要概念和定義，并引入了ARMA模型的基本理論；第二部分為模型建立，從數(shù)據(jù)預(yù)處理，包括缺失值的填補(bǔ)和異常值的剔除，并從數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及隨機(jī)性的檢驗(yàn)、模型識(shí)別、參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)詳細(xì)介紹了整個(gè)模型的建立過程；第三部分為模型預(yù)測(cè)，通過建立的ARMA模型預(yù)測(cè)未來5期的機(jī)票價(jià)格，并與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比確定誤差率；第四部分為模型結(jié)論，總結(jié)了本文對(duì)于基于ARMA模型的機(jī)票價(jià)格預(yù)測(cè)所做的工作，并指出了模型的優(yōu)缺點(diǎn)，對(duì)未來的研究工作提出了建議。

2 理論基礎(chǔ)

在統(tǒng)計(jì)研究中，常用按時(shí)間順序排列的一組隨機(jī)變量表示一個(gè)隨機(jī)時(shí)間的時(shí)間序列，簡(jiǎn)記為或。對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列來說，通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)可以分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類。對(duì)于平穩(wěn)序列而言，我們已經(jīng)有一套非常成熟的平穩(wěn)序列建模方法。在統(tǒng)計(jì)上，通常可以建立一個(gè)線性模型來擬合該序列的發(fā)展，并借此提取該序列中的額有用信息。其中ARMA（auto regression moving average）即自回歸移動(dòng)平均模型是目前最常用的平穩(wěn)序列擬合模型。

一般而言，我們把具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為ARMA（p，q）：若=0，該模型稱為中心化ARMA（p，q）模型。特別是當(dāng)q=0時(shí)，ARMA（p，q）模型就退化成了AR（p）模型；當(dāng)p=0時(shí)，ARMA（p，q）模型就退化成了MA（q）模型。

3 模型建立

3.1 模型假設(shè)及數(shù)據(jù)搜集

由于當(dāng)今網(wǎng)絡(luò)訂票平臺(tái)的普及，人們可以提前數(shù)天就預(yù)訂飛機(jī)票。而由于種種原因，機(jī)票的價(jià)格始終在不斷波動(dòng)，即某天的機(jī)票在航班起飛之前會(huì)有不同的價(jià)格。為了方便模型的建立，我們考慮如下假設(shè)：（1）機(jī)票的最低價(jià)必然出現(xiàn)在飛機(jī)起飛之前的30天內(nèi)；（2）顧客沒有航班偏好性以及時(shí)段偏好性，購買機(jī)票時(shí)始終以“最便宜”為目的；（3）機(jī)票價(jià)格在一天內(nèi)保持不變；（4）飛機(jī)航班始終能滿足顧客需求。

在此基本假設(shè)下，我們利用網(wǎng)絡(luò)爬蟲在去哪兒、攜程等多個(gè)網(wǎng)站獲得了山海關(guān)機(jī)場(chǎng)從秦皇島飛往石家莊半年的數(shù)據(jù)。而同時(shí)為了反映同一天機(jī)票價(jià)格在不同預(yù)訂時(shí)期的變動(dòng)，我們對(duì)連續(xù)30天的數(shù)據(jù)取算術(shù)平均值，進(jìn)行模型的建立。

3.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

數(shù)據(jù)預(yù)處理主要可以分為三部分：數(shù)據(jù)清洗、異常值剔除、缺失值的填補(bǔ)。

由于機(jī)票價(jià)格數(shù)據(jù)是通過網(wǎng)絡(luò)爬蟲在網(wǎng)絡(luò)訂票平臺(tái)獲取的，因此會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)冗余、無關(guān)數(shù)據(jù)等問題，我們首先需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行基本的數(shù)據(jù)清洗。

對(duì)于清理之后的數(shù)據(jù)，我們要識(shí)別出時(shí)間序列的異常值?？紤]到進(jìn)行時(shí)間序列建模時(shí)在模型定階上我們很大程度上地參考了自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖的拖尾性和結(jié)尾性，而其判斷標(biāo)準(zhǔn)為兩倍標(biāo)準(zhǔn)差，即兩倍標(biāo)準(zhǔn)差以外的值為異常值。利用這個(gè)原理，我們計(jì)算了時(shí)間序列觀察值的Z分?jǐn)?shù)，并剔除大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)。

對(duì)于缺失數(shù)據(jù)的處理一般有刪除個(gè)案、刪除缺失值等會(huì)丟失樣本信息的方法，也有插補(bǔ)法，即利用其他數(shù)據(jù)替代或者估算缺失值，常見的有均值插補(bǔ)法、線性插補(bǔ)法、EM算法等。本文針對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特性，選擇了均值插補(bǔ)法，彌補(bǔ)被剔除了的異常值以及原本就存在的缺失值，以便于進(jìn)行模型的下一步分析。

3.3 平穩(wěn)性及隨機(jī)性的檢驗(yàn)

拿到了完整的、無缺失的時(shí)間序列數(shù)據(jù)之后，我們首先對(duì)它的平穩(wěn)性和純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn)。對(duì)于平穩(wěn)性檢驗(yàn)，我們首先進(jìn)行直觀、簡(jiǎn)潔的觀察。我們可以發(fā)現(xiàn)，除了某幾個(gè)跳躍點(diǎn)以外，該序列基本上始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，沒有明顯的趨勢(shì)或者周期性。為了更精確地確定該序列是否平穩(wěn)，我們使用單位根檢驗(yàn)中最常見的PP檢驗(yàn)對(duì)序列平穩(wěn)性進(jìn)行進(jìn)一步分析。

我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)置信水平為0.05的條件下，無常數(shù)均值、無趨勢(shì)的時(shí)間序列可基本認(rèn)為平穩(wěn)，但階數(shù)為1和2時(shí)該序列表現(xiàn)出不平穩(wěn)的特點(diǎn)，沒有通過PP檢驗(yàn)。而對(duì)于有常數(shù)均值、無趨勢(shì)的時(shí)間序列和既有常數(shù)均值、又有線性趨勢(shì)的時(shí)間序列來說，該時(shí)間序列顯著平穩(wěn)。因此，該序列可基本認(rèn)為平穩(wěn)，可進(jìn)行下一步的時(shí)間序列建模。而對(duì)于純隨機(jī)性檢驗(yàn)而言，我們構(gòu)造相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行檢驗(yàn)。

原假設(shè)，

備擇假設(shè)至少存在某個(gè)，，

構(gòu)造LB（Ljung-Box）統(tǒng)計(jì)量：

式中：n為序列觀測(cè)期數(shù)；m為指定延遲期數(shù)。證明LB統(tǒng)計(jì)量近似服從自由度為m的卡方分布，因此我們?cè)谲浖杏?jì)算可得結(jié)果。

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，在各階延遲下LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都非常?。?0.0001），所以我們可以以很大的把握（置信水平>99.999%）斷定該事件序列數(shù)據(jù)屬于非白噪聲序列，即該序列蘊(yùn)含著值得提取的相關(guān)信息，值得建模，可進(jìn)行下一步的分析。

3.4 模型識(shí)別

現(xiàn)在我們使用SAS軟件編程來對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別。在SAS中，我們運(yùn)用MINIC命令對(duì)于在自相關(guān)延遲階數(shù)≤5，移動(dòng)平均延遲階數(shù)也≤5的所有ARMA（p，q）模型中，以BIC信息量最小為原則選出相對(duì)最優(yōu)模型。

結(jié)果顯示，適合該序列做預(yù)測(cè)的最優(yōu)模型為ARMA（3，1）模型，結(jié)論一致。

3.5 參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)

對(duì)于該序列的參數(shù)估計(jì)，我們采用條件最小二乘法。它假定過去未觀測(cè)到的序列值等于0，即通過迭代法，使得上式達(dá)到最小值的估計(jì)值即為參數(shù)的條件最小二乘估計(jì)。

同樣地，我們利用SAS軟件編程得到模型的參數(shù)

估計(jì)。

我們發(fā)現(xiàn)，除了的P值為0.0008以外，其余三個(gè)參數(shù)P值都非常?。?0.0001），所以我們可以以很大的把握（置信水平>99.999%）斷定該模型的四個(gè)自變量對(duì)因變量的影響都很明顯。

同時(shí)，我們?nèi)匀皇褂肔B統(tǒng)計(jì)量對(duì)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。模型的有效與否即看它的信息提取是否足夠充分。如果所用的模型足夠好，擬合的殘差項(xiàng)中將不再蘊(yùn)含任何相關(guān)信息，即白噪聲序列，仍然在SAS中進(jìn)行檢驗(yàn)。

4 結(jié)語

本文針對(duì)山海關(guān)機(jī)場(chǎng)的秦皇島到石家莊航線的機(jī)票數(shù)據(jù)，提出了一種基于ARMA平穩(wěn)時(shí)間序列的機(jī)票價(jià)格預(yù)測(cè)模型。該模型著重考慮了對(duì)于某天的機(jī)票在不同日期預(yù)訂的價(jià)格變化，給出了供顧客參考的平均價(jià)，與真實(shí)值相比，其平均相對(duì)誤差只有2.58%，誤差價(jià)格都在70元以內(nèi)，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。同時(shí)，本文仍有一定的局限性，尤其是時(shí)間序列模型需要的樣本量較大，同時(shí)需要實(shí)時(shí)更新最新的機(jī)票數(shù)據(jù)，以此達(dá)到最佳的機(jī)票預(yù)測(cè)效果。因此，如何充分利用網(wǎng)絡(luò)上龐大的數(shù)據(jù)庫為模型建立提供更多的訓(xùn)練樣本以此來提升模型的精確度以及利用云計(jì)算的巨大計(jì)算能力和儲(chǔ)存能力來提升算法效率都有待我們繼續(xù)研究。

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作者簡(jiǎn)介：林鑫（1994-），男，福建漳州人，東北大學(xué)秦皇島分校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院學(xué)生，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)。

（責(zé)任編輯：周 瓊）