化動為靜，以靜制動

陳怡

[摘 要] 新課程標準倡導學生能夠想象幾何圖形的基本運動和變化，體驗、探索具體圖形的位置關(guān)系和運動規(guī)律. 本節(jié)課以“運動圖形中的全等三角形”為內(nèi)容的教學設(shè)計為線索，從運動的角度分析和解決問題，闡釋了幾何圖形性質(zhì)的“變”與“不變”， 開闊學生思路，加深了學生對不同圖形的理解.

[關(guān)鍵詞] 全等三角形；運動圖形

基本情況

1. 學情分析

本節(jié)課是一節(jié)交流公開課，授課對象是初一學生，學生的數(shù)學水平和數(shù)學素質(zhì)處于中上水平，大部分學生的接受能力和思維能力都較強.

在初一下學期，學生學習了全等三角形的各種判定方法，但在全等證明的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)動態(tài)問題是他們遇到的一個難點. 學生對于幾何知識的理解往往比較狹隘，對于由圖形本身可觀察出的結(jié)論能比較迅速地得出，但對于技巧性較高的問題還需要經(jīng)過一定的訓練. 在教學設(shè)計中，筆者采用了低起點，逐漸遞進地創(chuàng)設(shè)教學情境，啟迪學生的思維，激發(fā)學生的情感，讓學生在愉悅的學習氣氛中獲取數(shù)學知識.

2. 教材分析

本節(jié)課依據(jù)的教材是《義務(wù)教育課程標準實驗教科書（七年級下冊）》（蘇教版）. 教材的第十一章為圖形的全等，研究圖形的全等和三角形全等的條件，重點是讓學生經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，培養(yǎng)學生合情推理的能力. 課本分層次滲透和介紹了全等變換，展現(xiàn)了圖形的平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)三種變換的本質(zhì)：只改變圖形的位置，保持圖形的形狀和大小不變. 引導學生對全等圖形有一個動態(tài)的、本質(zhì)的認識，并為學生在復雜圖形中尋找和識別全等三角形，提供了一個非常好的方法，有效地提高了學生的識圖能力.

在全面學習了圖形的全等這一章后，筆者專門針對各種動態(tài)問題進行了歸納總結(jié). 本節(jié)課所有的幾何圖形都是處于運動變化中的，要求學生以全等三角形的知識為工具，來探索幾何圖形性質(zhì)的“變”與“不變”. 解決此類問題，學生要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，化動為靜，以靜制動，抓住運動過程中的不變因素——全等關(guān)系，拾級而上，從而獲得問題的答案.

教學目標：（1）從運動變化的角度來分析全等三角形. （2）學習用動態(tài)的觀點去分析問題、解決問題，訓練空間想象能力，激發(fā)潛在能力，逐步形成創(chuàng)新意識. （3）通過運用多媒體技術(shù)，讓學生親歷圖形的變化過程，以運動的觀點直觀揭示問題本質(zhì).

教學重點：以全等三角形的知識為工具探索運動圖形的性質(zhì).

教學難點：向?qū)W生滲透運動變化的觀點，讓他們善于探索圖形的運動特點，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動為靜，以靜制動.

教學過程

1. 復習引入

例1：已知△ABC和△AED中， AB=AE，要使△ABC和△AED全等，你還需給出哪些條件？

圖1較為容易，學生給出了判定三角形全等的各種條件. 如利用判定定理“邊角邊”，需要增加條件∠BAC=∠EAD，AC=AD等.

師：拖動圖形，如圖2，將點C與點D重合，即AC與AD重合，此時增加什么條件能使兩個三角形全等？

學生能挖掘出隱含條件——公共邊，并能根據(jù)教師所要求的全等三角形的判定方法，依次給出條件.

師：拖動圖形，如圖3，使得邊CE與BD相交，此時兩個三角形出現(xiàn)了公共部分，如何增加條件使得它們?nèi)龋?/p>

學生在教師的引導下發(fā)現(xiàn)圖3可以比圖1增加一個條件∠BAC=∠EAD，其他完全一致，從而能類比地快速給出判定三角形全等的條件.

例題1利用幾何畫板的動態(tài)演示，通過增加條件，幫助學生復習回顧了全等三角形的各種判定方法，引入起點較低，全班都能進入一個良好的思考氛圍中.

2. 應用提高

例2：如圖4，在Rt△ABC與Rt△DEF中，AB=DE，BC=EF，當頂點D在BC邊上移動時，探索線段AC與DF的關(guān)系.

本題由圖形可以直接觀察出AC=DF這個結(jié)論，但是學生容易忽視它們之間的位置關(guān)系：垂直. 教師強調(diào)線段的關(guān)系要分數(shù)量與位置關(guān)系分別加以證明.

解決本題的關(guān)鍵是能把握住運動過程中的不變的東西：當頂點D在BC邊上移動時，△ABC與△DEF始終全等，從而很快能證明AC垂直且等于DF.

例3：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖5的位置時，試說明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖6的位置時，試說明：DE=AD-BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖7的位置時，試問：DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并說明理由.

師生共同分析探討：（1）①關(guān)鍵是利用∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，得到∠CAD=∠BCE；②利用全等三角形對應邊相等，將AD，BE轉(zhuǎn)化到直線MN上的CE，CD，則它們之間的關(guān)系也就一目了然. （2）與（3）仔細觀察圖形分析條件，發(fā)現(xiàn)△ACD與△CBE 全等不變，同樣可以將AD，BE轉(zhuǎn)化到直線MN上的CE，CD，只不過線段大小發(fā)生了變化，則它們之間的關(guān)系也就一目了然.

教師簡要板書證明過程如下：

（1）① 因為∠ADC=∠ACB=90°，

所以∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°.

所以∠CAD=∠BCE . 因為AC=BC，

所以△ADC≌△CEB（AAS）.

② 因為△ADC≌△CEB，所以CE=AD，CD=BE ，所以DE=CE+CD=AD+BE.

（2）因為∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

所以∠ACD=∠CBE. 又因為AC=BC，

所以△ACD≌△CBE. 所以CE=AD，CD=BE.所以DE=CE-CD=AD-BE.

（3）當MN旋轉(zhuǎn)到圖7的位置時，AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD 或AD=BE-DE，BE=AD+DE等.

因為∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，所以∠ACD=∠CBE.

又因為AC=BC，所以△ACD≌△CBE.

所以AD=CE，CD=BE，所以DE=CD-CE=BE-AD.

本題以直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)過程中與△ABC的不同的位置關(guān)系為背景設(shè)置了三個小題，解決這三個題的關(guān)鍵：一是利用全等三角形的性質(zhì)將AD，BE轉(zhuǎn)化到直線MN上的CE，CD；二是要能把握住運動過程中的不變的東西. 三個問題的解法極其類似，在直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)的整個過程中，△ACD與△CBE始終全等，這就為轉(zhuǎn)化線段提供了條件. 解決這類問題，要善于探索圖形的運動特點和規(guī)律，抓住變化中圖形的不變的特征，化動為靜，以靜制動，這種轉(zhuǎn)化思想是研究問題的一個重要思想.

例4：如圖8所示，正方形ABCD，CF是∠BCD的外角平分線，E是BC邊上一動點，且AE⊥EF.求證：AE=EF.？搖？搖

教師分析：用幾何畫板作出圖形，經(jīng)分析，欲證明AE = EF，兩線段所在三角形不全等，顯然要構(gòu)造全等，如何添加輔助線，是解決本題的關(guān)鍵所在.學生在操作探索中，將△CEF經(jīng)旋轉(zhuǎn)、平移等操作，全等變換得到如圖9所示的圖形.于是很容易得到如下的證明思路：如圖10，在AB邊上截取AM=CE，連接EM，下面只需用“AAS”證明△AME≌△ECF即可.

此時教師提出這樣一個問題：若點E在直線BC上運動，仍保證AE⊥EF，是否有同樣的結(jié)論？

學生容易想到有如下兩種情況：

情形一：如圖11所示，點E運動至BC的延長線上，在幾何畫板中拖動點E（請學生上來拖動鼠標演示，親身感受），點M運動至BA的延長線上，容易得到如圖12所示的圖形，于是得到證明思路：如圖13，延長BA至M，使AM = CE，連接ME，同樣用“AAS”證明△AME≌△ECF即可.

情形二：如圖14所示，點E運動至CB的延長線上，在幾何畫板中拖動點E或由學生全等變換操作，點M運動至AB的延長線上，容易得到如圖15所示的圖形，于是得到證明思路：如圖16，延長AB至M，使AM = CE，連接ME，同樣用“AAS”證明△AME≌△ECF即可.

3. 課后思考

例5：在等邊三角形ABC的邊BC上取一點E，∠AEF=60°，且EF與∠ACG的平分線交于點F. 當點E在以下位置時，探索AE與EF的關(guān)系：

（1）點E是BC的中點；

（2）點E是BC邊上的任意一點；

（3）點E是BC延長線上的任意一點.

本例題在實質(zhì)上與例4相同，僅僅是將上題中的正方形變成了等邊三角形，運用類比法也能很快得出AE=EF這個結(jié)論.

本題作為家庭作業(yè)，留給學生課后思考，以培養(yǎng)學生思維的深刻性，引導學生養(yǎng)成愛思考的習慣，并反饋本節(jié)課的聽課效果.

最后由教師進行總結(jié)：解決此類動點幾何問題常常用的是“類比發(fā)現(xiàn)法”，也就是通過對兩個或幾個相類似的數(shù)學研究對象的異同進行觀察和比較，從一個容易探索的研究對象所具有的性質(zhì)入手，去猜想另一個或幾個類似圖形所具有的類似性質(zhì)，從而獲得相關(guān)結(jié)論. 類比發(fā)現(xiàn)法大致可遵循如下步驟：（1）根據(jù)已知條件，先從動態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況；（2）結(jié)合某一相應圖形，以靜制動，運用所學知識（常見的有三角形全等）得出相關(guān)結(jié)論；（3）類比猜想出其他情況中的圖形所具有的性質(zhì).

回顧與反思

1. 教學設(shè)計思路

要想上好一堂滿意的數(shù)學課，最重要的是課前的教學設(shè)計. 課前的教學設(shè)計要從以下幾方面加以考慮：首先要研究教學內(nèi)容在該學科中的地位和作用；其次要研究學生的認知結(jié)構(gòu)與認知水平，以及原有的水平；最后才能考慮選擇怎樣的教學方法以及學習方法，采用怎樣的教學策略.

在初中的數(shù)學學習中，學生要經(jīng)歷從直觀實驗幾何，實驗幾何到推理幾何的演進過程. 新課程標準中初中階段的課程目標要求學生能夠想象幾何圖形的基本運動和變化，體驗、探索具體圖形的位置關(guān)系和運動規(guī)律，能從方向、距離、角度、幾何變換等方面進行刻畫. 因此，需要引導學生對靜態(tài)圖形展開想象，從運動的角度思考問題、解決問題，對所學知識進行整理歸納，建立知識體系，提高學習效率. 于是在初一下學期的全等的知識講完后筆者嘗試著把已經(jīng)學習的圖形的運動與全等三角形的知識聯(lián)系起來，感知幾何變換的思想，并與全等變換有機地結(jié)合起來，形成動態(tài)地研究圖形的意識. 希望為從實驗幾何過渡到論證幾何奠定基礎(chǔ)，對進一步的學習起到一個很好的銜接作用.

在制作課件時，筆者利用幾何畫板，將動態(tài)演示結(jié)合學生的變換操作，讓他們對運動圖形有了直觀認識，克服認知過程中的困難，加深理解，開闊視野和思路.

2. 教學反思

園區(qū)教研員許平老師曾強調(diào)“數(shù)學課堂可以根據(jù)學生的能力適度拓寬”. 本課中的例4涉及的正方形的具體性質(zhì)將在八年級上冊進行學習，但是學生在小學時已經(jīng)對這種圖形有所了解，因此適度拓寬完全符合學生的實際，滿足了不同層次學生的需要. 教師根據(jù)教材內(nèi)容的特點、學生的接受能力對課堂進行適當拓展，可以開闊學生的思路，加深學生對不同圖形的理解，增強他們探究的熱情和興趣.

古希臘學者普多塔戈說過：“人腦不是一個可以灌注知識的容器，而是一個可以點燃的火把. ”上完這節(jié)公開課的感覺是：學生的學習潛能是無限的，他們的頭腦就好似一座金礦，等待你去挖掘、開采. 課后，評課的教師也反映本班的學生在上課時積極主動，很愛思考問題. 在教師的引導啟發(fā)下，自我探索出題目的要點，課題教學煥發(fā)出生機與活力. 新課程改革關(guān)注學生的主體性，強調(diào)突出學生的發(fā)展，在數(shù)學教學活動中，凡是學生能做到的教師絕不代替，要有意識地引導學生在數(shù)學學習的過程中親自去感悟數(shù)學的思考方式，親自去進行數(shù)學思維活動. 通過數(shù)學問題的解決培養(yǎng)學生大膽地提出問題、分析問題和解決問題的能力，進而發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新精神，為學生的終生學習和發(fā)展打好基礎(chǔ).

兩校評課組的教師對這節(jié)課給予了較高的評價，但靜心反思，還有許多不足. 譬如，該班學生的數(shù)學能力還存在差異，盡管課前進行了準備，仍有少數(shù)思維水平較差的學生對后面兩題基本處于“無為”狀態(tài). 今后，在如何因材施教、分層指導方面筆者還要多想辦法. 其次，對于題目所運用的數(shù)學思想方法并未進行深入的探究與總結(jié)，還是浮于“就題論題”的層面.

新課程要求每位教師做教育教學的研究者，提出教師在教學過程中要以研究者的心態(tài)置身于課堂教學中，以研究者的眼光分析教學理論和教學實踐中的各種問題. 只有如此，才能把教師由“教書匠”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱蒲行?、?chuàng)新型”的教師.