數(shù)形結(jié)合在高考題中的應(yīng)用

朱琦

摘要：數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，它也是解答高考數(shù)學(xué)試題一種常用方法與技巧。本文通過比較數(shù)形結(jié)合思想的試題在歷年高考中的比重，以及典型例題，闡述了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中；解題

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-864X（2016）03-0000-01

引言：

我國已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！边@恰恰體現(xiàn)了“數(shù)與形”不可分割的關(guān)系?！皵?shù)與形”反映了事物兩個方面的屬性，在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，數(shù)與形常常結(jié)合在一起，內(nèi)容上互相聯(lián)系，方法上互相滲透，并在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化?？v觀多年來的高考試題，它對數(shù)形結(jié)合的思想與方法有著較高的要求，巧妙運用這一思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果。

一、數(shù)形結(jié)合思想與高中數(shù)學(xué)教學(xué)

（一）從新課程數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點來看數(shù)形結(jié)合思想。

新高中數(shù)學(xué)課將精選出代數(shù)、幾何等基礎(chǔ)知識綜合為一門學(xué)科，這樣有利于精簡教學(xué)內(nèi)容，有利于數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容相互的聯(lián)系，有利于數(shù)學(xué)思想方法的相互滲透。新教材充實了平面向量和空間向量，這些改革都有利于“形”與“數(shù)”的結(jié)合。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

1.有助于學(xué)生形成和諧、完整的數(shù)學(xué)概念。

2.有助于拓展學(xué)生尋找解決問題的途徑。

3.有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

4.利用數(shù)形結(jié)合，喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)美的追求。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高考解題中的應(yīng)用

1.數(shù)形結(jié)合思想在平面幾何和立體幾何中的應(yīng)用。

例：（2007年四川卷） 是同一平面內(nèi)的三條平行線， 與 間的距離是1， 與 間的距離是2，正三角形 的三頂點分別在 ， ， 上，則三角形 的邊長是（）

2.數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的應(yīng)用。

集合運算中常常借助于數(shù)軸、venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，運算快捷明了。

例：（2008年北京卷）已知全集 ，集合A= ，B= ，那么集合 等于（）

3.數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線中的應(yīng)用。

例：（2010年天津卷） M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足： .

求點P的軌跡方程。

4.數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用。

有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。

例：（2013年浙江卷）方程 ， 的實數(shù)解的個數(shù)是（）

A.2 B.3 C.4 D.以上均不對

5.數(shù)形結(jié)合思想在平面向量問題中的應(yīng)用。

向量集數(shù)與形于一身，既包含代數(shù)的抽象性又包含了幾何的直觀性，因此數(shù)形結(jié)合思想是解決向量問題的有力工具。

例：已知向量 ， ，則向量 的長度的最大值是

6.數(shù)形結(jié)合思想在方程問題中的應(yīng)用。

處理方程時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖像的交點問題。

例：實系數(shù)方程 的一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求 的取值范圍

7.數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用。

在有些不等式的證明過程中，根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想它所表示的幾何圖形的意義，通過圖形啟發(fā)思維，找到簡潔的證明思路。

例：不等式 解集為_________。

8.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列中的應(yīng)用。

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進(jìn)行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決。

例：設(shè)等差數(shù)列 的前 項和為 ，若 ，則 的最大值為_________。

小結(jié)：

數(shù)形結(jié)合思想在每年高考的選擇題、填空題都會涉及到數(shù)形結(jié)合思想來快速解答，而壓軸題也會涉及到數(shù)形結(jié)合思想。因此，對數(shù)形結(jié)合的活學(xué)活用是進(jìn)一步提高分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵。

抓住數(shù)形結(jié)合思想不僅能提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，而且可以提高學(xué)生的思維能力。俗語有云“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學(xué)生受益終生。

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