超越算術(shù)教數(shù)學(xué)

洪亮

一、從學(xué)生“方程會(huì)列不會(huì)解”現(xiàn)象說起

五年級(jí)學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題：果園里桃樹和杏樹一共有180棵，杏樹的棵數(shù)是桃樹的3倍。桃樹和杏樹各有多少棵？在教學(xué)中，學(xué)生往往舉一反三地列出“不會(huì)解的方程”來：

設(shè)桃樹有x棵：180-x=3x；180-3x=x；

設(shè)杏樹有x棵：180-x=x÷3；

……

遇到這些情況，教師往往會(huì)表揚(yáng)學(xué)生的求異思維，但同時(shí)指出，這些方程雖然好列，但現(xiàn)在不太好解，希望大家學(xué)會(huì)列我們會(huì)解的方程。

諸如此類學(xué)生“方程會(huì)列不會(huì)解”的現(xiàn)象在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常遇到，尤其在小學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)階段。因此有必要討論一下，學(xué)生真的就“會(huì)列不會(huì)解”嗎？

原小學(xué)數(shù)學(xué)修訂大綱曾明確指出：“簡(jiǎn)易方程的內(nèi)容只講到ax±b=c，ax±bx=c，不講等式的基本性質(zhì)和移項(xiàng)法則?！倍n程標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段“式與方程”中卻提及：“理解等式的性質(zhì)，會(huì)用等式的性質(zhì)解答簡(jiǎn)單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）。”兩者的表述有很大差別。第一，課程標(biāo)準(zhǔn)一改大綱所“不講等式的基本性質(zhì)”為要求“理解等式的性質(zhì)”。這是一個(gè)很大的進(jìn)步。第二，課程標(biāo)準(zhǔn)未明確提出“只講”，而是提出“如……”形式，這給我們的教學(xué)提出了新要求。那我們應(yīng)怎樣來領(lǐng)會(huì)并落實(shí)課標(biāo)這一新理念呢？

二、對(duì)一道解方程題的兩次教學(xué)嘗試

第一次教學(xué)描述：

教學(xué)內(nèi)容：解方程：ax±b=cx。

教學(xué)對(duì)象：五年級(jí)（上學(xué)期）。

教學(xué)目的：能進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形，即把a(bǔ)x±b=cx變形為ax±cx=b，同時(shí)溝通兩者之間的聯(lián)系；培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決新問題的意識(shí)與能力。

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)：解方程：7x-4x=6。（略）

改題：解方程：4x+6=7x。

學(xué)生嘗試解答：

4x+6=7x

解 7x-4x=6

3x=6

x=2。

師生討論：

師：說說為什么把4x+6=7x寫成7x-4x=6？

生：我感覺4x+6=7x這道方程的等式左右兩邊都有未知數(shù)x，不好直接求。而原來的方程，未知數(shù)都在等式的一邊，可以直接合并相加減。

師：也就是說，這兩道方程是有聯(lián)系的。那比較兩個(gè)方程有什么聯(lián)系呢？

生：在原來的方程里，6是7x與x的差，在新方程里6是一個(gè)加數(shù)，也正好是7x與4x的差。

師：這給我們一個(gè)啟發(fā)，當(dāng)未知數(shù)不在等式的同一邊時(shí)，我們應(yīng)怎么辦？

生：我們應(yīng)想辦法把未知數(shù)改寫到同一邊。

師：改寫的時(shí)候，要保證原來等式兩邊依然相等，這叫作恒等變形。

鞏固練習(xí)：將下列方程進(jìn)行恒等變形：

x+7=2x，80-2x=3x。（略）

教學(xué)反思：

應(yīng)該說，上面的教學(xué)嘗試還是比較成功的。學(xué)生能主動(dòng)借助所學(xué)過的加減關(guān)系進(jìn)行恒等變形，完全適應(yīng)他們的認(rèn)知能力。但這種基于加減關(guān)系的恒等變形，并未對(duì)他們所具有的對(duì)方程的認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響，沒有樹立起“恒等”的思想認(rèn)識(shí)，距離課程標(biāo)準(zhǔn)所提倡的“理解等式的性質(zhì)，會(huì)用等式的性質(zhì)解答簡(jiǎn)單的方程”還很遠(yuǎn)。

什么是等式的性質(zhì)？第一，等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；第二， 等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是0），所得結(jié)果仍是等式。對(duì)于這兩條性質(zhì)，現(xiàn)在的五年級(jí)學(xué)生從未接觸過，現(xiàn)在又怎樣來實(shí)施新的教學(xué)呢？由此，我進(jìn)行了第二次教學(xué)嘗試。

第二次教學(xué)描述：

出示方程x+2=5，要求學(xué)生口答。

師：這道方程大家都會(huì)解答。比較原來的方程與現(xiàn)在方程的解x+2=5，x=3。你們能不能發(fā)現(xiàn)，我們要求出這個(gè)方程的解，就是要把這個(gè)方程最后變成怎樣的等式？

生：等號(hào)一邊是未知數(shù)x，另一邊是得數(shù)。

師：比較等號(hào)左邊，原來是x+2，怎樣就變成x了？右邊又要進(jìn)行怎樣的運(yùn)算？

生：只要把等號(hào)左右兩邊都同時(shí)減去2就行了。

師：也就是說，等式兩邊都減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。

再出示：x-2=5。

師：這道方程，大家只要怎么辦就能使得等號(hào)左邊只有未知數(shù)x了？

生：只要在等號(hào)兩邊同時(shí)加上2就行了。

師：大家剛才實(shí)際上發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于等式的重要性質(zhì)，誰來說一說，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。

出示兩道方程：4x-6=2x和4x-2x=6。

提出要求：比較這兩道方程，哪一道容易解答？為什么？

生：第二道，因?yàn)榈谝坏婪匠讨械奈粗獢?shù)在等號(hào)兩邊，不好直接求未知數(shù)x。

師：那你們能不能應(yīng)用等式的性質(zhì)把第一道方程變形為第二道方程呢？

生：只要把等號(hào)兩邊都去掉2x再加上6就行了。

師：說得好，板書如下：

4x-6=2x

4x-6-2x+6=2x-2x+6

4x-2x=6

練習(xí)：（略）

教學(xué)反思：

“方程”是什么？很多學(xué)生都知道：含有未知數(shù)的等式就叫作方程。但真正讓學(xué)生判別諸如ax±b=cx此類方程時(shí)，許多學(xué)生總有一絲疑慮，這種方程我們沒有遇到過呀，怎么解呢？在他們心里能不能解這道方程與判別這是不是方程似乎有著非常重要的聯(lián)系。誠然，這種思維是有局限的，但這種思維又恰恰就是學(xué)生的思維。我們不應(yīng)該總是以承認(rèn)的觀點(diǎn)來看待學(xué)生，看待學(xué)生的數(shù)學(xué)。現(xiàn)行修訂版教材遵循原來的教材體系，給學(xué)生限定方程的形式與內(nèi)容，看起來是減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，其實(shí)是給學(xué)生一個(gè)殘缺的認(rèn)識(shí)。因此需要我們站在一個(gè)較高的層次上用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀念去審視與處理教材，向?qū)W生傳遞一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生建立一個(gè)融會(huì)貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。上面對(duì)“ax±b=cx”方程的教學(xué)嘗試，對(duì)于學(xué)生來說，可能就是一扇窺探數(shù)學(xué)世界的窗口，也許這樣的嘗試對(duì)所有的學(xué)生來說可能有些難度，但我想這樣的嘗試對(duì)學(xué)生的所得來說要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于這一點(diǎn)難度造成的障礙。