由一道中考壓軸題談學(xué)生的作圖能力オ

張志鋒

課堂教學(xué)是鍛造學(xué)習(xí)技能、學(xué)習(xí)品質(zhì)為目的和追求的活動中考數(shù)學(xué)試題的設(shè)置，也是遵循和按照新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的科學(xué)要義和能力標(biāo)準(zhǔn)而精心預(yù)設(shè)眾所周知，數(shù)學(xué)精致的做到了精確性的“數(shù)”和直觀性的“形”科學(xué)融合、高度結(jié)合在探究解答數(shù)學(xué)習(xí)題進程中，需要學(xué)習(xí)對象靈活、高效的運用數(shù)與形的互補、互促特點，以直觀、直白、形象的圖形符號進行認知和解析對數(shù)學(xué)圖形的操作技能是初中數(shù)學(xué)課堂學(xué)生群體解析數(shù)學(xué)案例的必備能力之一，同時是主體探析數(shù)學(xué)內(nèi)涵的必需素養(yǎng)之一

近階段筆者在“函數(shù)”章節(jié)試題教學(xué)中，在中考壓軸題（例1）的講解中發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)在第（2）小題中用分割法求圖形面積時輔助線不知如何畫，第（3）小題中對于三角形相似的一些基本圖形不熟悉導(dǎo)致圖形畫不出因此深刻體會和領(lǐng)悟到，初中學(xué)生數(shù)學(xué)作圖能力的養(yǎng)成對提升解題能力水平、提高學(xué)生中考成績，具有舉足輕重的重要作用作圖能力應(yīng)成為初中數(shù)學(xué)教師的重要使命之一，予以深入貫徹和執(zhí)行

例1（2012年蘇州）已知拋物線y=14x2-14（b+1）x+b4 （b是實數(shù)且b>2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C

（1）點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式表示）；

（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由

一、初中生數(shù)學(xué)作圖能力之現(xiàn)狀

根據(jù)2011年頒布的義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課標(biāo)要求精神，教學(xué)工作者要培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題，能從主觀上和客觀上主動運用數(shù)學(xué)思維的角度，借助已有知識和已有解題方略進行案例有效解決作圖能力是學(xué)生解決實際問題的重要策略之一但筆者發(fā)現(xiàn)，初中生數(shù)學(xué)作圖能力現(xiàn)狀不容樂觀，需要引起重視一是數(shù)學(xué)作圖的能動意識薄弱很多初中生在面對數(shù)學(xué)問題案例時，特別是在解析數(shù)學(xué)題意條件之間的關(guān)系時，第一反應(yīng)沒有落實在數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的點子上來，借助于畫圖工具，將案例的呈現(xiàn)條件之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)弄清理順，而是固執(zhí)的“摳”題意，想辦法內(nèi)心沒有利用作圖進行問題解答的主動意識和能動意識二是數(shù)與形之間的結(jié)合度不高眾所周知，數(shù)學(xué)作圖，其活動過程是以形補數(shù)的落實活動，是參與主體數(shù)學(xué)的“數(shù)”和符號的“形”有機融合、高度濃縮的進程部分初中生在數(shù)學(xué)案例的作圖過程中，不能夠?qū)⒆鲌D看作是案例條件內(nèi)容的鞏固過程，展現(xiàn)過程以及認知過程，容易將數(shù)學(xué)問題條件中的一些關(guān)鍵內(nèi)容和細枝末節(jié)忽視掉，導(dǎo)致所作的圖形與實際問題案例“差之毫厘，謬之千里”三是圖形條件認知沒有深度在問題案例的圖形展示過程中，學(xué)習(xí)實踐者要借助于圖形，找尋出問題條件之外所隱含的豐富數(shù)學(xué)知識點，并通過添加輔助線的形式，將問題條件內(nèi)容之間聯(lián)系有效呈現(xiàn)，為解決問題搭建聯(lián)系溝通橋梁紐帶但有些初中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不高、解決技能不優(yōu)，在一些具體的問題案例作圖中，靈活思維不夠、拓展不夠深入，難以從復(fù)雜情況中找出輔助線添加的時機，出現(xiàn)解析思維的“卡殼”，解題活動不夠順利

二、錘煉數(shù)學(xué)作圖能力的策略建議

圖形使用能力是新課標(biāo)對學(xué)習(xí)對象提出的一個重要標(biāo)尺，同時也是對教學(xué)工作者提出的一個重點任務(wù)加之近幾年數(shù)學(xué)中考政策的設(shè)置以及試題考查的要求和以往有所變化，對初中生圖形構(gòu)造和分析運用水平的考量標(biāo)準(zhǔn)相對越高愈深數(shù)學(xué)圖形運用，利用圖形技能的培養(yǎng)已勢在必行，切實落實，加強培養(yǎng)

一是強化數(shù)學(xué)知識素養(yǎng)的積淀在數(shù)學(xué)作圖進程中實施者需要借助于深厚豐富的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容進行動手操作，他是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的有效運用、綜合統(tǒng)籌的活動進程教學(xué)實踐證明，具有正確操作方法、具有良好作圖能力、具有高效析圖能力的學(xué)生，其數(shù)學(xué)知識素養(yǎng)較為深厚，數(shù)學(xué)解析技能較為優(yōu)良因此，教師應(yīng)切實初中生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的積淀工作，將平時數(shù)學(xué)知識講解活動做實，引導(dǎo)和指導(dǎo)初中生將數(shù)學(xué)教材關(guān)鍵要點、核心精髓等深刻的理解和全面的領(lǐng)會，在積蓄廣博知識素養(yǎng)中，開展作圖活動，打下堅實的根基

二是重視數(shù)學(xué)作圖活動的教學(xué)正確的作圖方法是學(xué)生作圖能力素養(yǎng)的重要內(nèi)涵以及表現(xiàn)形式之一作圖方法的教學(xué)，教者應(yīng)將此貫穿落實于平時數(shù)學(xué)教學(xué)的點點滴滴、時時刻刻之中，借助于數(shù)學(xué)問題這一有效載體，引導(dǎo)初中生根據(jù)數(shù)學(xué)案例內(nèi)容，將抽象問題直觀、具體、生動展示，使其思維活動實現(xiàn)從抽象思維向形象思維轉(zhuǎn)變?nèi)纭八倪呅巍边@一章節(jié)中，在講解“在一個△ABC中，E是邊AD上的中點，BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD（1）求證：四邊形AFDC是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由”數(shù)學(xué)問題講解中，教師組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)問題條件及要求的感知和閱讀活動，并讓他們根據(jù)上述數(shù)學(xué)問題條件所揭示的數(shù)學(xué)條件關(guān)系，進行問題條件的“演化”活動，進行數(shù)學(xué)圖形的演示活動，根據(jù)問題條件逐步清晰展示圖形符號，同時，組織學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)案例條件完善該數(shù)學(xué)圖形，進行數(shù)學(xué)案例的條件分析和歸納活動，從而實現(xiàn)數(shù)與形之間的有機融合，提高其作圖效果

三是強化案例作圖過程的訓(xùn)練筆者以為，作出符合問題條件及要求的圖形，是作圖能力的較低層次，只是將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的活動，如何從“數(shù)”與“形”中，歸納提煉出問題內(nèi)在的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系以及豐富知識外延，找尋出解決問題的有效突破口，添加已知與未知之間的輔助線“橋梁”是作圖能力發(fā)展的高級形式以及學(xué)生作圖水平的高層次展示

例2（2014年蘇州）已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點，AD[TX（]=BC[TX（]，連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過圓心O，延長AB到E，使BE=AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點，連接BF

（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB=120°，求劣弧BD[TX（]的長；

（2）求證：BF=12BD；

（3）設(shè)G是BD的中點，探索：在⊙O上是否存在點P（不同于點B），使得PG=PF？并說明PB與AE的位置關(guān)系

此題的關(guān)鍵是正確做出輔助線，很多學(xué)生對（2）求證：BF=12BD無從入手，如果學(xué)生能正確認識三角形中位線等有關(guān)線段特殊數(shù)量關(guān)系的基本圖形的話，易得輔助線是連接AC

通過對近幾年的中考命題，特別是數(shù)學(xué)學(xué)科最后壓軸題的研析，可以發(fā)現(xiàn)，作圖能力的高層次要求在壓軸題的解答過程中，表現(xiàn)的尤為突出這就要求初中數(shù)學(xué)教師要重視對數(shù)學(xué)作圖能力高層次內(nèi)容的培養(yǎng)，善于引導(dǎo)和指導(dǎo)學(xué)生深層次理解和研析數(shù)學(xué)條件內(nèi)涵，并能練習(xí)與之相關(guān)的基本圖形，找尋添加輔助線的關(guān)鍵之處，從而將解題薄弱處和連接處進行有效攻克，實現(xiàn)數(shù)學(xué)案例的有效解決

新課程提出的目標(biāo)要求以及中考命題設(shè)置的要求，都將學(xué)生作圖能力水平作為考查考核的一個必查內(nèi)容教師應(yīng)認真實施、精心組織，細心指導(dǎo)，嚴格訓(xùn)練，在科學(xué)指點、深入踐行中，實現(xiàn)包括作圖能力水平在內(nèi)的解析問題能力的大提升