深析例題 把握典型

孫靜

[摘 要] 如何真正提升學(xué)生的解題能力是我們當(dāng)下需要深入研究的新課題. 解題能力，出發(fā)點(diǎn)在題目，因此，對典型例題進(jìn)行深度分析，挖掘其價值，擴(kuò)大其效益，變通其形式，是一種非常有效的方法和策略.

[關(guān)鍵詞] 遞進(jìn)；薄弱；思維；解題能力

初中數(shù)學(xué)知識具有數(shù)量多、分散廣、變化活等特點(diǎn)，這些特征讓很多學(xué)生無法把握難點(diǎn)，在一些綜合性問題的應(yīng)用過程中感覺無從下手，這也是讓很多學(xué)生感到知識接受困難的原因所在，也是教師們在開展教學(xué)活動時的關(guān)鍵著眼點(diǎn). 對于數(shù)學(xué)知識與技能，似乎很難將其內(nèi)容一一羅列出來，因?yàn)樗淖兓赡苄蕴嗔?，綜合性也比較強(qiáng). 既然如此，我們就需要轉(zhuǎn)換思維對其進(jìn)行分析. 正所謂“萬變不離其宗”，數(shù)學(xué)知識的變化一定是按照其內(nèi)在規(guī)律和基本起點(diǎn)進(jìn)行的，如果我們能夠抓住這個核心內(nèi)容，便可以提綱挈領(lǐng)地將整個知識體系予以掌握. 例題在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中就起到了這樣的重要作用.

逐層遞進(jìn)，搭建問題梯度

例題經(jīng)常會被運(yùn)用在新知識的首次呈現(xiàn)過程中. 由于每個學(xué)生的知識基礎(chǔ)與接受能力存在差異，對于以新知識為內(nèi)容的例題自然也會產(chǎn)生不同的感知. 這時，如果教師只在例題當(dāng)中為學(xué)生提供唯一的接受選擇，難免會造成不同能力水平的學(xué)生無法找到真正適合自己的學(xué)習(xí)訓(xùn)練平臺，進(jìn)而造成知識學(xué)習(xí)效果的弱化. 因此，在課堂上設(shè)置有一定難度、梯度的例題便顯得尤為重要.

例如，在對拋物線內(nèi)容進(jìn)行深度講解時，筆者采用了這樣一道例題：

如圖1，拋物線過直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O和x軸上一點(diǎn)A，其對稱軸是x=2，且與x軸交于點(diǎn)C. 直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)B（-2，m），且與y軸及x=2分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.

（1）求m的值及拋物線的函數(shù)解析式；

（2）求證：BC=CE，且點(diǎn)D是BE的中點(diǎn)；

（3）若點(diǎn)P（x，y）是拋物線上的動點(diǎn)，是否存在合適的點(diǎn)P使得BP=EP？

這道例題呈現(xiàn)出了十分明顯的難度梯度，解答問題的同時，學(xué)生們的思維能力自然而然地隨之深化了.

問題梯度的存在對于數(shù)學(xué)教學(xué)來講具有三個方面的意義：第一，將一個難度較大的問題劃分為幾個層次分別呈現(xiàn)出來，無形之中縮小了每一個問題之間的難度差距，學(xué)生接受起來也就更加輕松，不但能激發(fā)學(xué)生的參與興趣，還能滿足班級不同層面學(xué)生的需求，能真正達(dá)成隱性分層的效果. 第二，分梯度的問題為學(xué)生們的知識接受提供了更多選擇，大家可以根據(jù)自己的現(xiàn)有能力去選擇相應(yīng)問題進(jìn)行解答，既能實(shí)現(xiàn)能力的有效提升，又不致由于問題難度過大而打擊信心. 第三，問題的分層遞進(jìn)無形之中也暗示了這類問題的解決方法，讓學(xué)生學(xué)會將一個較為復(fù)雜的問題分解成幾個簡單的問題，從問題的根源慢慢挖掘、分析，以此達(dá)成方法建構(gòu)的效果.

找尋捷徑，提高解題效率

隨著初中數(shù)學(xué)知識的逐步加深，復(fù)雜的問題出現(xiàn)得越來越多. 筆者將學(xué)生認(rèn)為困難或錯誤率較高的問題進(jìn)行總結(jié)后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生之所以會出現(xiàn)解題錯誤，很大一部分原因在于沒有找到解題捷徑. 特別是對于一些計算類型的問題來說，“繞路走”往往會增加很大的錯誤風(fēng)險.

例如，學(xué)習(xí)因式分解的內(nèi)容時，筆者以（x2-3x+2）（x2-3x-4）-72為例向大家進(jìn)行了講解. 面對這道題，我沒有讓學(xué)生立刻動手計算，而是先耐心觀察，尋找其中的特點(diǎn). 果然，大家發(fā)現(xiàn)，在兩個括號當(dāng)中，（x2-3x+2）可以視為一個共有的整體，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行十字相乘. 于是，學(xué)生試著將（x2-3x+2）設(shè)為t，原式則轉(zhuǎn)化為t（t-6）-72，進(jìn)而展開后得t2-6t-72. 這便成為學(xué)生所熟悉的因式分解類型，問題自然迎刃而解. 相比于直接將題目當(dāng)中的兩個括號相乘展開成四次多項(xiàng)式再進(jìn)行分解，這個方法顯然快捷得多.

解答數(shù)學(xué)問題的捷徑多種多樣，教師不可能將所有的技巧向?qū)W生講述完全. 教師要給予學(xué)生的，是發(fā)現(xiàn)捷徑的眼睛，讓學(xué)生學(xué)會用自己的思維去分析、篩選方法，并選擇一種最適合的方法去解決相應(yīng)的問題. 如果學(xué)生都能從每一道典型例題當(dāng)中總結(jié)出一個解題方法，日積月累下來，將是極大的財富，同時，學(xué)生的解題能力也會逐漸得到提升.

找準(zhǔn)失誤，修補(bǔ)薄弱環(huán)節(jié)

一道例題提出之后，把它的答案解出來就結(jié)束了嗎？當(dāng)然不是. 例題不僅僅是對所學(xué)知識進(jìn)行實(shí)踐練習(xí)的工具，更是建立完善相應(yīng)知識體系的絕佳契機(jī). 如果教師能夠帶領(lǐng)學(xué)生以這個更高的視角對例題的作用進(jìn)行認(rèn)知，那么對于高效運(yùn)用例題、有效強(qiáng)化數(shù)學(xué)問題解答，很有好處.

例如，在對圓的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，筆者以這樣一道例題予以強(qiáng)調(diào)：在平面直角坐標(biāo)系中，圓心O的坐標(biāo)為（-3，4），以半徑r在平面內(nèi)作圓，那么，當(dāng)圓O與坐標(biāo)軸有1個、2個、3個、4個交點(diǎn)時，r所對應(yīng)的取值情況分別是怎樣的？這個問題看似簡單，卻不容易答對，特別是在后兩個問題的解答中，很多學(xué)生沒有將情況考慮完全. 問題解答完畢后，筆者特別對此進(jìn)行了分析，并引導(dǎo)大家找到出現(xiàn)錯誤的原因. 在圓的問題分析中，對基本概念的理解以及數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，得到了大家的關(guān)注.

對例題的解答一定不會總是一帆風(fēng)順. 無論學(xué)生最終能否將例題正確地解答出來，其中所出現(xiàn)的困惑疑難之處都應(yīng)當(dāng)被教師捕捉并加以關(guān)注，這將是促進(jìn)學(xué)生解題能力提升的關(guān)鍵所在. 讓學(xué)生經(jīng)歷失敗、分析失敗、戰(zhàn)勝失敗，才能真正讓失敗成為成功之母. 在學(xué)習(xí)時，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生不要過多地關(guān)注自己會什么，而應(yīng)勇敢地面對自己不會什么. 通過對例題解答過程當(dāng)中出現(xiàn)的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行分析與強(qiáng)化，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)弱點(diǎn)得到及時彌補(bǔ)，并從中總結(jié)出更為凝練的問題解答方法，教學(xué)效果遠(yuǎn)比單純地引導(dǎo)學(xué)生解答問題要理想得多.

學(xué)以致用，以生活釋理論

在數(shù)學(xué)知識的教授過程中，時常會談到生活的元素. 在實(shí)際生活當(dāng)中，也總是可以找到數(shù)學(xué)知識的影子. 這不僅表明了數(shù)學(xué)理論與實(shí)際生活當(dāng)中的密切聯(lián)系，更明確了在數(shù)學(xué)的理論學(xué)習(xí)當(dāng)中滲透實(shí)際生活的重要性. 這也為教師的例題選擇提供了指引，即只有在例題當(dāng)中融入實(shí)際生活的內(nèi)容，才是完整、有效的. 也只有這樣，才能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值所在，更能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的內(nèi)在學(xué)習(xí)動力.

例如，在對一元二次方程的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，筆者向同學(xué)們提出了這樣一個問題：小張所在的公司在每年一月份都會給員工漲月工資. 小張2008年的月工資是2000元，到了2010年，漲到了2420元，且2011年的月工資繼續(xù)按照2008年到2010年的月工資平均增長率增長. 那么，小張2011年的月工資是多少？這道例題的難度并不算太大，但其解答思路卻非常明確地指向了一元二次方程. 通過將月工資的平均增長率設(shè)為x，列出方程2000（1+x）2=2420之后，問題順利求解，這也是數(shù)學(xué)理論知識在實(shí)際生活當(dāng)中的直接體現(xiàn).

加入生活元素之后，原本抽象枯燥的數(shù)學(xué)理論一下子具體、靈動起來了. 實(shí)際生活以其特有的方式闡釋了理論的內(nèi)涵，并向?qū)W生指明了拓展知識視野的方向. 在實(shí)際生活的輔助之下，學(xué)生以全新的視角認(rèn)知了理論知識，并在解決實(shí)際問題的同時延伸了思維，實(shí)現(xiàn)了理論方法的靈活適用.

提煉總結(jié)，提升思維水平

例題之所以能夠成為當(dāng)前所學(xué)知識內(nèi)容的示范，就是因?yàn)槠渲芯哂斜容^明確的代表性. 這種代表性不僅表現(xiàn)在知識內(nèi)容本身，還有其背后的思維方法. 初中階段的學(xué)生還沒有形成成熟、完善的數(shù)學(xué)思想，很少能夠站在宏觀角度總結(jié)解題規(guī)律，這也是解題效率不高的原因之一. 教師們正好可以從例題入手，提煉總結(jié)，為學(xué)生的解題打開捷徑.

例如，在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形的基本知識內(nèi)容后，筆者請同學(xué)們嘗試思考這樣一道例題：

如圖2，在△ABC中，∠CAB=60°，∠BCA=40°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為BC，AC上的點(diǎn)，且PA，QB分別為∠CAB和∠CBA的平分線. 求證：QB+QA=BA+BP.

這個問題的證明過程采取了延長AB至點(diǎn)E使BE=BP，連接PE的輔助線構(gòu)造方法，通過證明△APC和△APE全等得出AC=AE，進(jìn)而將相等線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，結(jié)論得證. 從這個問題當(dāng)中可以總結(jié)出，當(dāng)需要證明線段之間的和、差以及倍數(shù)關(guān)系時，將長線段進(jìn)行分解或?qū)⒍叹€段加長，是一個管用的規(guī)律性方法.

可以說，只有抓住每一道例題，將其中的思想方法總結(jié)出來，才算是將這道題真正解答明白了. 這個過程也將學(xué)生的思維水平提升到了一個新高度. 將這種思想用于具體問題的解答當(dāng)中，無疑是一種效果的升華.

以具體問題闡述知識內(nèi)容，是初中階段數(shù)學(xué)課堂教學(xué)當(dāng)中，經(jīng)常會運(yùn)用到的方式. 然而，驗(yàn)證理論知識并不是例題存在的全部意義，它在呈現(xiàn)代表性知識內(nèi)容、為靈活的數(shù)學(xué)變化提供根本依據(jù)當(dāng)中也起到了決定性作用，這不僅完善了我們對于數(shù)學(xué)例題價值的認(rèn)知，更為教師們的例題選擇與設(shè)計提供了更多啟示. 我們一定要盡可能地讓例題的示范性作用達(dá)到最大化，讓同學(xué)們在掌握了一道例題之后，便可以對相關(guān)的整個知識鏈有所感知，并以例題為抓手，實(shí)現(xiàn)知識內(nèi)容學(xué)習(xí)的深入與知識能力的提升.