帶電粒子在磁場(chǎng)中做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題探析

王志明

高中物理教學(xué)與試題中，帶電粒子在磁場(chǎng)中比較常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng).其實(shí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一種特殊模型，本文探析帶電粒子在磁場(chǎng)做螺旋類(lèi)和擺線類(lèi)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.

一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)形式

1.無(wú)速度（不計(jì)重力）——靜止

2.有初速度V（V//B）（不計(jì)重力）——?jiǎng)蛩僦本€運(yùn)動(dòng)

3.有初速度V（ v⊥B）（不計(jì)重力）——?jiǎng)蛩賵A周運(yùn)動(dòng)

4.有初速度V（ v與B成夾角）（不計(jì)重力）——等距螺旋線運(yùn)動(dòng)

5. 初速度V（ v⊥B）（考慮重力）——擺線類(lèi)運(yùn)動(dòng)

二、帶電粒子在磁場(chǎng)中做螺旋運(yùn)動(dòng)

當(dāng)帶電粒子的人射速度與磁場(chǎng)方向不垂直時(shí)，粒子的人射速度可分解為垂直于磁場(chǎng)方向和平行于磁場(chǎng)方向的分速度，粒子將在磁場(chǎng)中做螺旋運(yùn)動(dòng).

例1 （20屆物理預(yù)賽）從z軸上的O點(diǎn)發(fā)射一束電量為q（>0）、質(zhì)量為m的帶電粒子，它們速度統(tǒng)方向分布在以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為對(duì)稱(chēng)軸的一個(gè)頂角很小的錐體內(nèi)（如圖1所示），速度的大小都等于v.試設(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場(chǎng)，能使這束帶電粒子會(huì)聚于z軸上的另一點(diǎn)M，M點(diǎn)離開(kāi)O點(diǎn)的距離為d.要求給出該磁場(chǎng)的方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和最小值.不計(jì)粒子間的相互作用和重力的作用.

解 設(shè)計(jì)的磁場(chǎng)為沿z軸方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)和M點(diǎn)都處于這個(gè)磁場(chǎng)中.下面我們根據(jù)題意求出這種磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小.粒子由O點(diǎn)射出就進(jìn)入了磁場(chǎng)，可將與z軸成θ角的速度分解成沿磁場(chǎng)方向的分速度vz和垂直于磁場(chǎng)方向的分速度v⊥（見(jiàn)圖2），注意到θ很小，得

三、帶電粒子在磁場(chǎng)中做擺線運(yùn)動(dòng)

當(dāng)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中要考慮重力時(shí)，粒子就有可能做一種周期性的擺線運(yùn)動(dòng)，此類(lèi)題自從2008年江蘇高考后，在其它各地的高考?jí)狠S題開(kāi)始考查.

例2 （2008年江蘇）在場(chǎng)強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖4所示.已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到z軸距離的2倍，重力加速度為g.求：（1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P（x，y）的速率v.（2）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中第一次下降的最大距離ym.（3）當(dāng)在上述磁場(chǎng)中加一豎直向上場(chǎng)強(qiáng)為E（E>mg q）的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率vm.