化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

劉燕囡

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門科學(xué)，在人類社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，數(shù)學(xué)發(fā)揮著不可替代的作用.中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)會(huì)直接影響到代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等更深層次的學(xué)習(xí)，因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要穩(wěn)扎穩(wěn)打，教會(huì)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué).化歸思想就是一種行之有效的數(shù)學(xué)思維.

一、化歸思想的概念

化歸思想總的來說就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，是將一個(gè)問題由繁復(fù)變簡(jiǎn)單、由難變易、由抽象變直觀的過程.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是從易到難，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過程.在面對(duì)一道數(shù)學(xué)題，已掌握的知識(shí)與方法都不能解題的時(shí)候，通過研究和分析數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系，將問題通過變換轉(zhuǎn)化，使之變成已知求解的過程，從而達(dá)到解題的一種方法.化歸思想既是一種解題思想，也是一種基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式.

二、化歸思想應(yīng)遵循的原則

化歸思想在簡(jiǎn)單的、具體的、基礎(chǔ)的知識(shí)上，把未知的、復(fù)雜的、抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)化歸結(jié)到簡(jiǎn)單的、基礎(chǔ)的、具體的問題來解決，其應(yīng)遵循的原則有以下幾個(gè)方面.

1.簡(jiǎn)單化原則

實(shí)際學(xué)習(xí)中，每個(gè)學(xué)生掌握的知識(shí)都是有限的，因此，在面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時(shí)，應(yīng)該利用簡(jiǎn)單化的原則，把復(fù)雜多變的問題變換轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)問題，從簡(jiǎn)單基本的問題找到突破口，以有限的知識(shí)為依據(jù)，找到解題的方向與捷徑，有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)解題.

2.直觀化原則

數(shù)學(xué)當(dāng)中的抽象問題是阻擋學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱情的因素之一.抽象的問題不好理解，也不容易理清它們之間的關(guān)系，因此，在解題過程中很容易迷失方向.針對(duì)這一問題，則可遵循直觀化原則，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，或是用直觀化的方式去分析理解題目，找到問題的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，進(jìn)而由點(diǎn)及面地解析全題，這也不失為一種學(xué)習(xí)方法.

3.熟悉化原則

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)就是未知.數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，在學(xué)習(xí)過程中總會(huì)出現(xiàn)許許多多我們沒見過或是不熟悉的問題，這無形中就給學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來了莫大的挑戰(zhàn)，這時(shí)就可以利用熟悉化的原則，在問題當(dāng)中尋找關(guān)聯(lián)、相似、簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)問題進(jìn)行不斷地轉(zhuǎn)化，把未知，不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成為已知、熟悉的問題去解題，使解題達(dá)到事半功倍的效果.

4.極端化原則

通過對(duì)數(shù)學(xué)問題中的極端情形或極端特性進(jìn)行合理猜想與分析，求出特殊值，并依據(jù)特殊值的啟示與開發(fā)，尋求解決問題的方法，這一方法思路靈活，有效地提高解題效率，適當(dāng)?shù)厥褂眠@一原則，能拓寬數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維.

5.合諧化原則

在化歸過程中，在問題的轉(zhuǎn)化歸結(jié)時(shí)要注意條件與結(jié)論的形式要與數(shù)、式、形內(nèi)部所表現(xiàn)的形式相合諧統(tǒng)一，這不僅有利于體現(xiàn)它們之間的本質(zhì)聯(lián)系.更利于使其方便運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方式進(jìn)行推演運(yùn)算，也可以使得其運(yùn)用的方法更符合人們的解題思路.

三、化歸思想的幾種解題方法

1.配方法

配方法是一種式子變形方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，配方法除了在方程式中有應(yīng)用外，還廣泛應(yīng)用在代數(shù)求值、因式分解、二次根式簡(jiǎn)化、恒等式證明等方面，因此，運(yùn)用數(shù)學(xué)化歸思想，可以在數(shù)學(xué)解答的過程中，適當(dāng)?shù)貙⒋鷶?shù)式進(jìn)行配方，可以快速地解答數(shù)學(xué)題.

例1已知a2+b2+2a-4b+5=0，求2a2+4b-3的值.

根據(jù)題目平方式分析，題目可用配方法來求解，由a2+b2+2a-4b+5=0得（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0，即（a+1）2+（b-2）2=0.根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a+1=0，b-2=0，解得a=-1，b=2.所以原式=2a+4b-3=2×（-1）2+4×2-3=7.配方法是恒等式變形的方式，是研究相等關(guān)系和不等關(guān)系的重要技巧，因此，在數(shù)學(xué)解題過程中，要適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用配方法化歸數(shù)學(xué)題，提高解題技巧.

2.整體代入法

在數(shù)學(xué)解題思路中常用的化歸方法是整體代入法.這是對(duì)題目整體進(jìn)行結(jié)構(gòu)的分析和改變，把題目中某些式子或某部分看做一個(gè)整體，依據(jù)它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有意識(shí)的整合變形，達(dá)到解題的目的.

例2已知3x=a，3y=b，求3x+y的值.

解由同底數(shù)冪公式可將題目變形為3x×3y，并將已知條件看做一個(gè)整體然后代入3x+y中運(yùn)算，解得答案是ab.根據(jù)題意，已知條件給出的不是具體數(shù)值，也無法求出具體數(shù)值，按照常規(guī)的解題思路是無法求解的，這個(gè)時(shí)候適當(dāng)?shù)厥褂谜w代入法，先對(duì)題目先變形，然后將題目給出的條件整體代入求解.

3.化簡(jiǎn)代入法

當(dāng)一道數(shù)學(xué)題太過復(fù)雜，容易讓人混淆題意，或是無法理清思路而導(dǎo)致解題失敗，針對(duì)這一情況，可先運(yùn)用所學(xué)分析題目，由難化易來解題.以例2為例，直接求x，y不容易，直接將已知條件代入也不能求解，因此，根據(jù)化歸思想簡(jiǎn)單化原則，可先對(duì)式子變形化簡(jiǎn)，再將已知條件代入所求式中計(jì)算才能解出答案.

4.特殊值求法

在數(shù)學(xué)解題過程中，有很多題目是不能用常規(guī)的方法來直接解題的.這時(shí)可以分析題目中提供的信息，選擇題目中比較特殊或是典型的情況為突破口，算出特殊值或是將數(shù)據(jù)公式代入，把普通形式變成特殊形式，再進(jìn)一步解題.數(shù)學(xué)是一門廣泛的學(xué)科，其內(nèi)在聯(lián)系錯(cuò)綜復(fù)雜，往往是一般中含有特殊化，特殊化中又有普遍性，因此，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中應(yīng)當(dāng)注意其相互關(guān)聯(lián)系的特性，并通過對(duì)其深入的分析與研究來形成一種良好的解題思路.

例3已知a，b，c是△ABC的三條邊，則a2+b2-c2-2ab的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？

這道題沒有具體的參數(shù)，如果用常規(guī)的解法解題比較困難，這時(shí)，巧妙地用特殊值求法，則可以快速解題，根據(jù)題意可假設(shè)a=2，b=3，c=4，代入到題中最后算出是負(fù)數(shù).

5.直接轉(zhuǎn)化法

在數(shù)學(xué)解題中，還可以通過直接轉(zhuǎn)化法將比較抽象的題目轉(zhuǎn)換成直觀的數(shù)字、圖形來解題，也可以把不熟悉或是新的知識(shí)轉(zhuǎn)換成已熟悉的舊知識(shí)來解題.如例3，只知道a，b，c三條邊，沒有具體數(shù)值，題目就會(huì)非常的抽象，在解題過程中直接將三條邊假設(shè)三個(gè)具體數(shù)值，將抽象的題目轉(zhuǎn)化成直接的數(shù)字，然后代入計(jì)算就可解題.

數(shù)學(xué)反映生活，應(yīng)用于生活，世間萬物都是相互聯(lián)系，相互制約的，而數(shù)學(xué)之間的關(guān)系也是如此，因此，數(shù)學(xué)解題中的化歸思想才會(huì)幾乎無處不在.現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是要將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到社會(huì)生活與經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重在知識(shí)形成過程中、在探索解題過程中、在解答問題中都要及時(shí)有效地引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生歸化方式的解題思維，有利于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并有效提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用.