教學(xué)反思：階的估計(jì)方法在極限問(wèn)題中的應(yīng)用

周黎

摘 要：無(wú)窮量包括無(wú)窮大量和無(wú)窮小量是高等數(shù)學(xué)中非常經(jīng)典的一個(gè)概念，無(wú)窮量階的估計(jì)經(jīng)常用于各種極限問(wèn)題的處理和證明上，通過(guò)無(wú)窮量階的應(yīng)用可以在很大程度上簡(jiǎn)化問(wèn)題的計(jì)算，使得計(jì)算的結(jié)果更加的準(zhǔn)確，證明的過(guò)程更加的嚴(yán)謹(jǐn)。因而在高等數(shù)學(xué)中得到了極為廣泛的應(yīng)用，本文以幾個(gè)典型的例題為例對(duì)階的估計(jì)方法在處理極限問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行了介紹，對(duì)于階的估計(jì)方法在極限問(wèn)題中的典型的應(yīng)用進(jìn)行了闡述，為該方法在極限問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)提出了新的思路。

關(guān)鍵詞：階估計(jì)；極限；級(jí)數(shù)；收斂

一、階估計(jì)的得到

在泰勒公式的推論中可以利用相關(guān)的結(jié)論得到較為常見(jiàn)的階估計(jì)，泰勒公式的推論的定理如下，假設(shè)在屬于的某個(gè)鄰域中，是存在的，并且存在如下的關(guān)系：

那么就存在如下的關(guān)系：

上述公式在的鄰域中是成立的，那么這就是泰勒公式的推論。該臺(tái)了公式的推論可以被用來(lái)得到幾個(gè)較為常用的階估計(jì)，比如如果當(dāng)滿足條件當(dāng)x的數(shù)值趨近于的時(shí)候那函數(shù)的數(shù)值也趨近于0，那么就存在如下的關(guān)系：

那么就存在下面的階估計(jì)，比如函數(shù)的正弦函數(shù)可以寫成如下的形式：

相應(yīng)的的正切函數(shù)可以在相應(yīng)的鄰域范圍以內(nèi)可以展開成為如下的形式：

函數(shù)的余弦函數(shù)可以在相應(yīng)的鄰域的范圍之內(nèi)可以展開為如下的形式：

那么對(duì)應(yīng)的常用對(duì)數(shù)函數(shù)可以在起相應(yīng)的鄰域范圍之內(nèi)站開如下的形式：

該函數(shù)的指數(shù)函數(shù)可以寫成如下的形式：

相對(duì)應(yīng)的該函數(shù)的指數(shù)函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的定義域內(nèi)部可以站開成如下的形式：

這些對(duì)應(yīng)的階估計(jì)在極限問(wèn)題的處理過(guò)程中具有非常典型的應(yīng)用，首先這些階估計(jì)可以用于極限的求取。

二、利用階估計(jì)求取極限

假設(shè)例題形式如下，求取下面公式的極限：

進(jìn)而就可以利用階估計(jì)來(lái)處理該極限問(wèn)題，由于當(dāng)x的值趨近于0的時(shí)候的數(shù)值與sinx的函數(shù)的數(shù)值是相等的，因而將x看作為是f（x）的話可以得出如下的關(guān)系：

而例題中的指數(shù)部分的數(shù)值當(dāng)x的數(shù)值趨近于0的時(shí)候可以利用泰勒公式進(jìn)行處理如下：

因而原公式：

可以寫為變形為如下的形式：

當(dāng)x的數(shù)值趨近于0 的時(shí)候數(shù)值x的二階無(wú)窮小肯定為0因而上述極限的數(shù)值就變?yōu)榱?，即該極限問(wèn)題就迎刃而解，可以看到在上述公式當(dāng)中曾經(jīng)多次用到了無(wú)窮小量的性質(zhì)以及相對(duì)應(yīng)的替換，推算的過(guò)程中不僅較為簡(jiǎn)單便捷而且過(guò)程較為嚴(yán)謹(jǐn)，如在上述公式推導(dǎo)的過(guò)程中巧妙的利用了公式將等式右邊的形式變?yōu)榈仁阶筮叺男问剑⑶疫€巧妙的利用的形式將等式左邊的形式轉(zhuǎn)化為等式右邊的形式，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)就得到最終較為簡(jiǎn)化的形式，可以看到在這求極限的過(guò)程中多次用到了無(wú)窮小量階的估計(jì)，較為巧妙的利用了泰勒公式可以在x趨近于某個(gè)值得范圍內(nèi)展開成為泰勒級(jí)數(shù)以及無(wú)窮小量和的性質(zhì)。簡(jiǎn)化了證明的過(guò)程，并且也使得證明計(jì)算的過(guò)程更加方便和準(zhǔn)確提高了結(jié)題的效率。

三、判斷級(jí)數(shù)是否收斂

無(wú)窮小量的階的估計(jì)方法不僅可以用于求解極限問(wèn)題而且還被廣泛的應(yīng)用于判斷級(jí)數(shù)是否收斂等問(wèn)題的證明上，如以下面的問(wèn)題為例來(lái)看一下對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小量階的估計(jì)如何用于判斷級(jí)數(shù)是否收斂，假設(shè)有下面的問(wèn)題：

判斷該級(jí)數(shù)是否會(huì)收斂？當(dāng)我們看到這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候首先考慮將積分號(hào)內(nèi)部的形式進(jìn)行變化，如可以將利用泰勒級(jí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行展開，該級(jí)數(shù)的含義也就是隨著數(shù)值n的不斷增大來(lái)判斷該級(jí)數(shù)是否為收斂，那么可以將其展開為如下的形式：

因而可以利用來(lái)判斷前者是否收斂，由于前者小于后者，而隨著數(shù)值n的不斷增大后者是收斂的，因而前者更應(yīng)該是收斂的，因此利用比較判別的方法就可以確定該級(jí)數(shù)是收斂的，在這個(gè)例題中利用泰勒公式可以在x屬于一定的范圍內(nèi)將其進(jìn)行展開，由于知道x的取值范圍在0-1＼N之間因而隨著n的數(shù)值的增大，該數(shù)值是不斷趨于0的，所以x的數(shù)值不斷趨于0的，因而可以在該范圍內(nèi)對(duì)函數(shù)利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，展開成為如上述公式所示的形式，由于括號(hào)內(nèi)部的第一部分取定積分之后的數(shù)值顯然為0，進(jìn)而只剩下最后一部分也就是x的二分之五次方的高階無(wú)窮小，因而就到了最終化簡(jiǎn)的形式。

如果，，如果存在，那么就會(huì)存在如下的關(guān)系：

試著利用階的估計(jì)的性質(zhì)來(lái)證明該關(guān)系？首先由于關(guān)系的存在，那么存在任意的一個(gè)數(shù)值大于0，對(duì)于任意的大于0的正數(shù)N來(lái)講，一定存在下面的關(guān)系：

，那么對(duì)于任意的M>N來(lái)講存在下面的關(guān)系，隨著數(shù)值數(shù)值的不斷增大，一直增大到無(wú)窮，對(duì)于給定的上述參數(shù)一定存在如下的關(guān)系M的數(shù)值大于N的數(shù)值，存在如下的關(guān)系：

進(jìn)而就可以得到如下的關(guān)系：

進(jìn)而可以得到下面的關(guān)系：

再來(lái)看下面的一個(gè)例子用于級(jí)數(shù)收斂的證明，假設(shè)存在，當(dāng)，那么久存在下面的關(guān)系：

在該等式的證明過(guò)程中可以先假定等式右邊的極限是存在的，并且假設(shè)右邊的極限值為a也就是：

那么就存在如下的關(guān)系：

由于，并且，因而通過(guò)定理可以得到如下的關(guān)系：

由此就可以得到：

對(duì)上面的等式兩邊同時(shí)除以那么就得到了如下的等式：

因而當(dāng)n的數(shù)值趨近于無(wú)窮大的情況下，如果存在a的數(shù)值為正無(wú)窮的話那么就存在，進(jìn)而當(dāng)進(jìn)而先前的結(jié)論得到證明。

四、實(shí)例應(yīng)用

在從以下幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明階的估計(jì)的方法在極限問(wèn)題處理過(guò)程中的應(yīng)用，首先來(lái)看第一個(gè)例題，當(dāng)?shù)臅r(shí)候，當(dāng)和二者的數(shù)值滿足什么樣的條件下，才會(huì)使得下面的公式為二階的無(wú)窮小，并且在此基礎(chǔ)上思考y的最高階可以為多少？

通過(guò)上述的問(wèn)題我們可以看出隨著當(dāng)x的數(shù)值趨近于0的時(shí)候，上述公式中的很多個(gè)關(guān)于x的函數(shù)是可以進(jìn)行替換的，利用泰勒公式將其在x趨近于0的范圍內(nèi)部將cosx和sinx進(jìn)行展開，展開為無(wú)窮小和的形式。如下所示：

即當(dāng)x的數(shù)值趨近于0的時(shí)候，上述三個(gè)公式左邊的形式可以利用右邊的形式來(lái)進(jìn)行表示，然后將公式中的三個(gè)量用上述三個(gè)公式中的左邊的形式用右邊的形式進(jìn)行代替然后對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的化簡(jiǎn)就可以得到如下所示的最終的結(jié)果：

我們可以從上面的公式非常容易的看出，當(dāng)?shù)臄?shù)值為-1的時(shí)候上述公式為x二次方的高階無(wú)窮小，當(dāng)?shù)臄?shù)值為-1，的數(shù)值為3的時(shí)候，上述代數(shù)式為x四次方的高階無(wú)窮小。

再來(lái)看下面的一個(gè)關(guān)于極限計(jì)算的問(wèn)題，當(dāng)n趨近于無(wú)窮大的時(shí)候下面公式的極限值

當(dāng)n趨近于無(wú)窮大的還好可以利用高階無(wú)窮小的方式對(duì)上述代數(shù)式中的某些數(shù)值進(jìn)行替換，比如，然后對(duì)K的數(shù)值進(jìn)行求和的話可以知道對(duì)于K的倒數(shù)從1到數(shù)值n進(jìn)行求和與對(duì)1和K倒數(shù)和的常用對(duì)數(shù)函數(shù)的求和的最終的結(jié)果是一樣的，因而對(duì)于K的倒數(shù)進(jìn)行求和的最終結(jié)果可以寫成如下的形式，也就是n的常用對(duì)數(shù)與1和n的倒數(shù)和的常用對(duì)數(shù)以及數(shù)值K的平方的倒數(shù)的高階無(wú)窮小的和以及K的平方的倒數(shù)和的高階無(wú)窮小。由于在可以非常明顯的看出K的平方倒數(shù)高階無(wú)窮小的和在K趨近于正的無(wú)窮的過(guò)程中是收斂的。并且K平方倒數(shù)對(duì)于x的定積分x的范圍為h-1到h的話要小于x的平方倒數(shù)的積分制，那么在上述的情況下就會(huì)出現(xiàn)K的平方的倒數(shù)的和要小于數(shù)值n的倒數(shù)，所以K的倒數(shù)的和酒可以寫成為n的常用對(duì)數(shù)值與常數(shù)c的和在加上n的倒數(shù)的高階的無(wú)窮小。那么最初的題目中要求的求n+1的倒數(shù)值一直到2n的倒數(shù)的和就可以最終化為數(shù)值2的常用對(duì)數(shù)值加數(shù)值n的倒數(shù)的高階無(wú)情小，很顯然當(dāng)n數(shù)值趨近于無(wú)窮大的時(shí)候該上述題目所求的極限值就為2的常用對(duì)數(shù)。

再來(lái)看下面的例題假設(shè)函數(shù)，那么試著證明下面的關(guān)系，從所要證明的關(guān)系來(lái)看，幾分的數(shù)值主要集中在當(dāng)x=0的時(shí)候，假設(shè)存在，那么上述公式左邊的部分就可以進(jìn)行相應(yīng)的變換，最終可以寫為兩個(gè)關(guān)于數(shù)值h的函數(shù)。其中一部分可以寫為關(guān)于f（0）的一個(gè)代數(shù)式，然后利用高階無(wú)窮小的替換可以最終謝偉數(shù)值與數(shù)值h的次方的高階無(wú)窮小，相應(yīng)的最終該公式可以簡(jiǎn)化為數(shù)值與f（0）的乘積然后在加上上述h的次方的高階無(wú)窮小，然后再加上1的高階無(wú)窮小，并且數(shù)值的范圍為大于0小于1，那么上述公式就可以最終演化為數(shù)值與f（0）的乘積。

五、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上面的例題可以看出階的估計(jì)方法在處理和極限有關(guān)的問(wèn)題過(guò)程中得到了非常廣泛的應(yīng)用，利用階的估計(jì)方法替換極限問(wèn)題中的某些量，或者是在允許的范圍內(nèi)將某個(gè)函數(shù)進(jìn)行展開，通過(guò)替換大大的簡(jiǎn)化了問(wèn)題的分析過(guò)程，通過(guò)對(duì)階的估計(jì)方法應(yīng)用的總結(jié)，為該方法的理解與應(yīng)用以及與之相關(guān)教學(xué)方法的改進(jìn)具有十分重要的實(shí)踐意義。

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（作者單位：達(dá)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院）