擴(kuò)張映射原理及其應(yīng)用

柳彥軍

(重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，重慶 400067)

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擴(kuò)張映射原理及其應(yīng)用

柳彥軍

(重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，重慶 400067)

摘要：為了完善和發(fā)展不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用, 本文給出擴(kuò)張映射的概念, 并利用Banach壓縮映射原理證明擴(kuò)張映射原理, 進(jìn)一步得到其他一些不動(dòng)點(diǎn)定理。最后, 詳細(xì)論述擴(kuò)張映射原理在證明方程解的存在性, 求一些數(shù)列極限和判定函數(shù)是否有不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：Banach壓縮映射原理；擴(kuò)張映射原理；不動(dòng)點(diǎn)；解的存在性

Banach壓縮映射原理在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中起著非常重要的作用, 被廣泛應(yīng)用于非線性Volterra積分方程、抽象空間中非線性微積分方程及計(jì)算數(shù)學(xué)中的收斂算法等。另外, Banach壓縮映射原理有多種形式的推廣, 如偽壓縮和集值壓縮等[1]。受Banach壓縮映射原理的啟發(fā), 以逆向思維考察Banach壓縮映射原理, 給出擴(kuò)張映射的定義, 并利用Banach壓縮映射原理得到擴(kuò)張映射原理, 進(jìn)一步得到其他一些不動(dòng)點(diǎn)定理。那么, 如同Banach壓縮映射原理一樣, 擴(kuò)張映射原理也應(yīng)該有很重要的應(yīng)用。

一、 預(yù)備知識(shí)與引理

定義1[2-4]若

d(Fx,Fy)≤kd(x,y),?x,y∈X，0

則稱F為X上的一個(gè)壓縮映射。

引理1[2-4](Banach壓縮映射原理)設(shè)F是完備度量空間(X,d)上的壓縮映射.則F在X中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

引理2[4]度量空間X到Y(jié)中的映射T是X上的連續(xù)映射的充要條件為Y中的任意M的原象T-1M是X中的閉集。

引理3[5]設(shè)X是完備度量空間, A是X一子集。若f,g:A→X滿足下列條件:

(1) f是滿射;

(2)存在下半連續(xù)函數(shù)φ:X→[0,∞)滿足條件

d(f(x),g(x))≤φ(f(x)-φ(g(x)),?x∈A

則f和g有重合點(diǎn), 即存在x∈A, 使得g(x)=f(x)。

特別地, 若A=X,g=Ix(X上的單位映射), 則f在X中有一不動(dòng)點(diǎn)。

二、主要結(jié)果及其證明

定義2[1]若d(Fx,Fy)≥Ld(x,y),?x,y∈X,L>1, 則稱F為X上的一個(gè)擴(kuò)張映射。

定理1(擴(kuò)張映射原理)設(shè)F是完備度量空間上的擴(kuò)張映射. 則F在X中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

證明由F是擴(kuò)張映射易知F是單射,從而F-1:F(X)→X存在, 且對(duì)任意的x∈F(X)有x=F(F-1(x))。

下證F-1:F(X)→X是壓縮映射。事實(shí)上，對(duì)任意 的x,y∈F(X)，我們有

d(x,y)=d(F(F-1(x)),F(F-1(y)))

≥Ld(F-1(x),F-1(y))。

d(xn,xn+1)=d(F-1(xn-1),F-1(xn))

對(duì)任意的正整數(shù)p，有

d(xn+p,xn)

≤d(xn+p,xn+p-1)+d(xn+p-1,xn+p-2)+…+d(xn+1,xn)

即{xn}是F(X)中的Cauchy列。

設(shè)xn→x*(n→∞), 由F-1的連續(xù)性

知F-1(xn)→F-1(x*)(n→∞),又

F-1(xn)=xn+1→x*(n→∞),

故F-1(x*)=x*, 由此得F(x*)=x*. 因F是擴(kuò)張映射, 唯一性顯然。

推論2設(shè)X完備度量空間,T:X→X.若存在常數(shù)L(L≥1)及正整數(shù)n0, 使對(duì)任何x,y∈X, 都有d(Tn0x,Tn0y)≥Ld(x,y),則T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

定理2設(shè)D是完備度量空間(X,d)上的一個(gè)非空閉子集。F:D→F(D)是擴(kuò)張映射且D?F(D), 則F在D中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

證明類似于定理1的證明易得F-1:F(D)→D?F(D)是壓縮映射，從而F-1也是連續(xù)映射, 由于D是閉集, 根據(jù)引理2知,F(D)也是閉集。由Banach壓縮映射原理知, F-1在F(D)中有唯一的不動(dòng)點(diǎn), 即存在x*∈F(D), 使得F-1(x*)=x*。而F-1(x*)∈D, 故x*∈D且F(x*)=x*。因F是擴(kuò)張映射, 唯一性顯然。

≤…

于是, 對(duì)任意的正整數(shù)p, 有

所以{xn}是Cauch列,于是{xn}收斂。

定理4設(shè)(X,d)是一完備的度量空間, 映射f:X→X是連續(xù)滿射, 若存在L>1,使得

d[f2k-1(x),f2k(x)]≥Ld(x,f(x)),?x∈X

成立，(k為某個(gè)正整數(shù))，則f在X中有一不動(dòng)點(diǎn)。

證明令

+…+d(f2k-1(x),f2k(x))]

于是φ(f(x))-φ(x)

即d(x,f(x))≤φ(f(x))-φ(x),?x∈X

由于f是連續(xù)滿射, 從而φ(x)是連續(xù)的, 必為下半連續(xù), 由引理3可知,f在X中必有不動(dòng)點(diǎn)。

三、擴(kuò)張映射原理的應(yīng)用

(一)求方程解的存在性

例1[1,6]設(shè)f(x,y)在

D:a≤x≤b,-∞

證明在完備空間C[a,b]中作映射T,使對(duì)任意的函數(shù)φ∈C[a,b], 有

則(Tφ)(x)連續(xù), 即Tφ∈C[a,b]。所以T是C[a,b]到自身的映射, 又對(duì)任意的φ∈C[a,b]，有

其中0<θ<1，

按C[a,b]中距離的定義，即知

d(Tφ2,Tφ1)≥αd(φ2,φ1)。

因此，T是擴(kuò)張映射，由定理1，必有唯一

f(x,φ(x))=0,x∈[a,b]。

(二)求數(shù)列極限

解：構(gòu)造函數(shù)

顯然f(x)在(0,+∞)上連續(xù)可導(dǎo)。

因xn>0，當(dāng)x>0時(shí)，

故xn=f(xn+1)為擴(kuò)張映射，由定理3知，{xn}收斂。

(三)判定函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)

例3[1]設(shè)函數(shù)

f(x)=x2-1,x∈[1,2]，

顯然

f([1,2])=[0,3]?[1,2]，

且對(duì)任意的x1,x2∈[1,2]的，有

=2d(x1,x2)

例4設(shè)函數(shù)

f(x)=ex-2,x∈[1,2]，

顯然，

f([1,2])=[e-2,e2-2]?[1,2]

且f'(x)=ex≥e>1。根據(jù)定理2的推論知，f在中[1,2]有不動(dòng)點(diǎn)。

四、結(jié)語

在壓縮映射原理的基礎(chǔ)上，得到了擴(kuò)張映射原理及相關(guān)的不動(dòng)點(diǎn)定理，并給出了擴(kuò)張映射原理的應(yīng)用實(shí)例。通過這些典型的實(shí)例可以看出，擴(kuò)張映射原理的確有很重要的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳翠蘭,王云杰.擴(kuò)張映射與非壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010,16(4):17-18.

[2]程其襄,張奠宙,等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]張恭慶,林源渠.泛函分析講義[M].北京:北京大學(xué)出版社,2005.

[4]RaviP.Agarawl,MariaMeehan. Fixed Point Theory and Applications[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress, 2001.

[5]SehiePark.OnExtensionsoftheFixedPointTheorem[J].Korean Math.Soc, 1983,19(3): 143-151.

[6]杜鴻.壓縮映射原理及其應(yīng)用[J].麗水學(xué)院學(xué)報(bào),2007,29(2):14-15.

[責(zé)任編輯劉江南]

Expansion mapping principle and its application

by LIU Yan-junp.166

In order to improve and develop the fixed point theorem and its application, this paper gives the concept of expansion mapping, proves the principle by using Banach contraction mapping principle, and also gets some other fixed point theorems. Finally, the paper discusses whether the expansion mapping principle can be applied into the fixed point study on the existence of equation solution, seeking the limit of number series, and judging functions.

Keywords:Banach contraction mapping principle; expansion mapping principle; fixed point; existence of solution

中圖分類號(hào)：O177.91

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-6390(2016)02-0166-03

作者簡介：柳彥軍(1988-)，男，甘肅莊浪人，助教，研究方向: 非線性分析及其應(yīng)用。

基金項(xiàng)目：重慶市教委科研項(xiàng)目“合作博弈解及其應(yīng)用研究”(KJ1501407)

收稿日期：2015-10-23