“圖感”：開啟兒童直接智慧之門的鑰匙

【摘要】“圖感”作為一種直觀的感知與一種直覺靈動(dòng)的智慧頓悟，在學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的過程中發(fā)揮著極其重要的作用。它有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與數(shù)學(xué)直覺，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，開啟學(xué)生的直接智慧之門。教師要為學(xué)生創(chuàng)造培育“圖感”的條件，豐富學(xué)生的視覺意象，在“圖導(dǎo)”與“圖構(gòu)”的過程中提高學(xué)生對(duì)圖形的直觀感覺與敏銳程度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直接智慧。

【關(guān)鍵詞】“圖感”；視覺意象；“圖導(dǎo)”；“圖構(gòu)”；直接智慧

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）11-0020-03

【作者簡介】毛新薇，江蘇省江陰市徐霞客實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇江陰，214406）副校長，高級(jí)教師，江陰市名教師。

學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”的過程是形象思維、抽象思維、直覺和靈感結(jié)合與應(yīng)用的過程，在這個(gè)過程中，“圖感”發(fā)揮著極其重要的作用，它是提高學(xué)生的幾何直觀能力、形象思維與創(chuàng)新素質(zhì)的有力武器。所謂“圖感”，簡單地講，就是對(duì)圖形的直觀感覺和敏銳程度。它類似于“語感”“方向感”，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，領(lǐng)悟圖形中隱含的整體性、次序性、敏銳性，整體把握?qǐng)D形乃至預(yù)見問題如何解決的能力?！皥D感”以豐富的讀圖、識(shí)圖經(jīng)驗(yàn)為前提，是對(duì)圖形屬性直接的、經(jīng)驗(yàn)的、敏銳的反映，是對(duì)圖形特征的個(gè)體理解和表達(dá)，是一種直覺靈動(dòng)的智慧頓悟。

學(xué)生“圖感”的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，它就像種子一樣，需要科學(xué)地灌溉、施肥、培養(yǎng)才能生根、發(fā)芽、開花、結(jié)果。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)充分利用圖形資源，豐富學(xué)生的視覺意象，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)使用圖形的意識(shí)和習(xí)慣，在“圖導(dǎo)”與“圖構(gòu)”的過程中提高學(xué)生對(duì)圖形的直觀感覺與敏銳程度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直接智慧。

一、以“具象”勾勒視覺意象，讓“圖感”生根發(fā)芽

圖形的視覺意象，是指教師引導(dǎo)學(xué)生在腦海里形成一種對(duì)圖形的準(zhǔn)確又清晰的感性認(rèn)識(shí)和記憶表象。它包括空間意象、模型意象、情境意象和圖表意象等方面，具有直觀性和概括性，是學(xué)生從知覺過渡到思維的中介，也是學(xué)生形成“圖感”的重要手段。豐富學(xué)生的視覺意象，必須摒棄傳統(tǒng)的“離身”認(rèn)知方式，秉承“具身”學(xué)習(xí)觀：學(xué)習(xí)是人的大腦、身體與特定情境交互作用的知識(shí)體驗(yàn)過程，它需要反復(fù)實(shí)踐和親身經(jīng)歷，通過行動(dòng)和知識(shí)的具身建構(gòu)來理解、內(nèi)化和遷移知識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生通過觀察和體驗(yàn)建立起圖形清晰的視覺意象，促進(jìn)他們良好“圖感”的形成。

1.觀察與感知：建立“圖感”的整體性。

發(fā)展學(xué)生的“圖感”離不開觀察。敏銳的觀察力可以使學(xué)生見微知著，一眼看到問題的本質(zhì)。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征、關(guān)系特征，學(xué)會(huì)分析圖形的本質(zhì)特征，積累豐富的表象經(jīng)驗(yàn)，建立“圖感”的整體性。除觀察外，感知在“圖感”形成過程中也起著十分重要的作用。學(xué)生的感知越豐富，建立的表象就越具有概括性，學(xué)生就越能發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的知識(shí)。教師要通過多媒體教學(xué)、實(shí)物展示、小組合作、課堂板演、師生問答等多種方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行整體感知，讓學(xué)生在頭腦中留下深刻的、帶有鮮明個(gè)性的視覺意象。

2.實(shí)踐與操作：體驗(yàn)“圖感”的次序性。

“圖感”不能僅通過傳授習(xí)得，重要的是讓學(xué)生自己去感知、發(fā)現(xiàn)和探索，在此過程中更深刻地把握?qǐng)D形的相關(guān)屬性。對(duì)于一些動(dòng)態(tài)的知識(shí)，教師要加強(qiáng)實(shí)踐操作，讓學(xué)生通過具體的實(shí)踐活動(dòng)體會(huì)數(shù)學(xué)圖形的變化情況，在頭腦中形成動(dòng)靜結(jié)合的、有次序性的“圖感”。

3.想象與聯(lián)想：形成“圖感”的敏銳性。

想象與聯(lián)想是學(xué)生拓展幾何直觀思維空間的主渠道，是他們形成“圖感”敏銳性的重要手段。正確的想象與聯(lián)想引發(fā)的敏銳性往往可以收到柳暗花明、曲徑通幽的效果。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助圖形進(jìn)行大膽的想象與聯(lián)想，以提高學(xué)生“圖感”的敏銳度。

例如：教學(xué)蘇教版五下《圓的面積》時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生將圓平均分割成16份（如下圖1）、32份，剪開后拼成一個(gè)近似的平行四邊形，然后讓學(xué)生想象：如果把圓平均分成64份、128份、256份……拼成的圖形會(huì)是什么樣的？再用多媒體課件進(jìn)行直觀演示，讓學(xué)生驗(yàn)證想象，推導(dǎo)出圓的面積公式。學(xué)生通過想象，既體悟了極限思想，又很好地建立起了圓轉(zhuǎn)化成長方形的“圖感”，形成了將曲線圖形轉(zhuǎn)化成直線圖形的敏銳性。在以后學(xué)習(xí)圓柱體積公式時(shí)，學(xué)生就能通過分割圓柱底面，把圓柱轉(zhuǎn)化成長方體來推導(dǎo)出它的體積公式了。

二、以“圖導(dǎo)”引發(fā)數(shù)學(xué)直覺，讓“圖感”枝繁葉茂

愛因斯坦曾說過：“我相信直覺與靈感，真正可貴的是直覺?！睆?qiáng)化“圖感”的直覺性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與數(shù)學(xué)智慧有著極其重要的作用?！皥D導(dǎo)”是培養(yǎng)“圖感”直覺性的重要途徑。教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)看圖、讀圖、用圖，豐富學(xué)生的“圖感”，催生學(xué)生的直接智慧。

1.訓(xùn)練讀圖能力，建立抽象與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的大多數(shù)概念、性質(zhì)、法則都可以利用圖形來表示。在教學(xué)中，教師應(yīng)注重強(qiáng)化學(xué)生的讀圖訓(xùn)練，幫助他們理解概念、探究性質(zhì)、明確算理、建構(gòu)算法。讀圖的關(guān)鍵是學(xué)生對(duì)圖形的觀察能力，即能否觀察出圖形中暗含的數(shù)學(xué)元素。教師要引導(dǎo)學(xué)生感知與讀懂圖形，將注意力集中在圖形的典型特征上，體驗(yàn)圖形的直觀功用，培育學(xué)生的直覺性思維。

2.善用圖形翻譯，實(shí)現(xiàn)表象與言語的轉(zhuǎn)換。

數(shù)學(xué)表征可以分為言語表征、圖形表征和符號(hào)表征三種。三者各有所長、相輔相成，文字語言通俗易懂，圖形語言直觀形象，符號(hào)語言簡潔抽象。其中從圖形語言到文字（符號(hào)）語言的轉(zhuǎn)化可使直觀問題具體化、精確化，有助于學(xué)生更好地把握?qǐng)D形內(nèi)涵。學(xué)生解決問題大多是以文字語言進(jìn)行表征的，因此，當(dāng)學(xué)生面對(duì)一些比較陌生的圖形時(shí)，教師可以引導(dǎo)他們將其翻譯成通俗易懂的文字語言，再轉(zhuǎn)化成簡潔的符號(hào)語言，在此基礎(chǔ)上順利轉(zhuǎn)化為算式模型，在互譯中發(fā)展“圖感”。

例如：教學(xué)蘇教版六下《圓柱的體積》，我設(shè)計(jì)了這樣一道練習(xí)題：把一張長方形鐵皮按圖（如右圖2）進(jìn)行裁剪，正好做成一個(gè)圓柱，求這個(gè)圓柱的體積。從圖上看，這道題數(shù)據(jù)唯一，很難下手，于是，我引導(dǎo)學(xué)生將圖形語言翻譯成文字語言，進(jìn)而用符號(hào)語言來尋求解題思路，在翻譯圖形語言的過程中深化學(xué)生對(duì)圖形的理解。其翻譯流程如下圖3所示：

三、以“圖構(gòu)”促進(jìn)問題解決，讓“圖感”開花結(jié)果

笛卡兒曾說過：“沒有任何東西會(huì)比幾何圖形更能簡單直接地引入腦海，用圖形表達(dá)事物是很有幫助的。”構(gòu)建一個(gè)合理且有啟發(fā)性的中介圖形，能使代數(shù)問題幾何化，復(fù)雜問題簡易化，有助于促進(jìn)問題解決，因此，“圖構(gòu)”顯得尤為重要。在教學(xué)中，教師應(yīng)把握這一發(fā)展“圖感”的重要途徑，從“圖導(dǎo)”逐步走向“圖構(gòu)”，讓學(xué)生在“圖構(gòu)”過程中進(jìn)一步積累、完善、升華“圖感”。

1.巧用圖示：讓數(shù)學(xué)本質(zhì)可視化。

有些數(shù)學(xué)問題比較抽象，當(dāng)學(xué)生解答起來比較困難時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將其用圖示表示出來，借良好的“圖感”來敏銳地捕捉信息，洞察問題本質(zhì)，使問題得解。

例如：教學(xué)蘇教版五上《解決問題的策略：列舉》，我設(shè)計(jì)了這樣一道練習(xí)題：5個(gè)小朋友，每兩人都要握手一次，一共要握幾次手？如果僅在腦中推理或想象，比較困難，但如果畫出圖示（如下圖4），將5個(gè)人想象成5個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間連一條線，學(xué)生憑著“圖感”就能直覺地把握現(xiàn)象背后的本質(zhì)：握手的次數(shù)就是線段的條數(shù)，圖中共有10條線段，就說明握了10次手。這樣利用線段、點(diǎn)來構(gòu)造圖示，方便學(xué)生抓住本質(zhì)解決實(shí)際問題。

2.善繪圖畫：讓數(shù)學(xué)規(guī)律感性化。

數(shù)學(xué)圖畫是學(xué)生直覺的形象呈現(xiàn)，它能讓看似冷峻的數(shù)學(xué)煥發(fā)出無限的生機(jī)。教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考，結(jié)合手、眼、腦的協(xié)同作用，畫出對(duì)概念、思想、方法和結(jié)構(gòu)的獨(dú)特理解，有助于他們解決問題。

例如：教學(xué)蘇教版五上《求商的近似值》，我設(shè)計(jì)了一組探究題：1÷7=（ ），2÷7=（ ），3÷7=（ ），4÷7=（ ），5÷7=（ ），6÷7=（ ），讓學(xué)生先計(jì)算前四道題，找出規(guī)律后直接寫出后兩道題的商，并求出它們的近似值（得數(shù)保留兩位小數(shù)）。通過計(jì)算，學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)這組題的商都由1、4、2、8、5、7這六個(gè)數(shù)字組成，只是排列順序不同，但對(duì)具體的規(guī)律不太會(huì)用語言進(jìn)行數(shù)學(xué)化的表達(dá)。這時(shí)，我讓學(xué)生畫圖來表達(dá)自己意會(huì)到的規(guī)律。學(xué)生憑直覺創(chuàng)造出了許多精彩的規(guī)律圖：有的設(shè)計(jì)了“開心大轉(zhuǎn)盤”（如上圖5），內(nèi)圈表示被除數(shù)，外圈表示循環(huán)節(jié)的起點(diǎn)與次序，如當(dāng)指針指向內(nèi)圈“1”時(shí)，商的小數(shù)部分在外圈讀出來是0.142857142857……；如左下圖6所示的“頑皮蛇”則用咬住尾巴的方式來揭示商中各數(shù)字的排列順序。這樣的圖畫既形象地揭示了商的規(guī)律，又深化了學(xué)生的“圖感”。

3.精創(chuàng)圖譜：讓認(rèn)知系統(tǒng)聯(lián)結(jié)化。

現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)嚴(yán)密的演繹系統(tǒng)，這就需要我們引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)清各類知識(shí)的來龍去脈，系統(tǒng)地整理其內(nèi)在的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)知識(shí)與方法之間的聯(lián)系。教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)圖、韋恩圖、樹狀圖、表格、數(shù)軸等來構(gòu)造數(shù)學(xué)圖譜，在知識(shí)的整體建構(gòu)、圖形的簡約直觀中深化學(xué)生的“圖感”。

例如：教學(xué)蘇教版六上《分?jǐn)?shù)除以整數(shù)》，我引導(dǎo)學(xué)生站在系統(tǒng)的角度對(duì)“分?jǐn)?shù)除法的意義”進(jìn)行梳理，歸納出了與此相關(guān)的幾個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，并根據(jù)它們之間的關(guān)系組建成了知識(shí)包（如下圖7）。通過這一知識(shí)包，一方面，促進(jìn)學(xué)生深化了“圖感”——分?jǐn)?shù)乘法的意義是其中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，它處在多個(gè)數(shù)學(xué)概念的交叉口上，聯(lián)系了一批支持分?jǐn)?shù)除法意義理解的概念。另一方面，將分?jǐn)?shù)除法納入學(xué)生已有的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中，與以前學(xué)過的四則運(yùn)算建立起新的聯(lián)系，提高了學(xué)生概念學(xué)習(xí)的集約化水平，促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。

總之，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的外部支持力量，應(yīng)該盡可能地為學(xué)生創(chuàng)造培育“圖感”的條件，開發(fā)他們?nèi)珩R克思所指出的“自身的自然中沉睡著的潛力”，引領(lǐng)他們進(jìn)入直覺靈動(dòng)的“圖感”境界，開啟他們的直接智慧之門！

【參考文獻(xiàn)】

[1]李海峰.物理教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生圖感的五策略[J].教師博覽（科研版），2013（10）：49-51.

[2]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

注：本文獲2015年江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，有刪改。