魅力正方形，對稱巧運用

□張彩明

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魅力正方形，對稱巧運用

□張彩明

正方形是最完美的四邊形，它具有特殊的性質，利用正方形關于對角線對稱的這個性質我們容易證得某些線段或角相等、某些三角形全等.

如圖1，設E是正方形ABCD的對角線BD上一點，則AE＝CE.這個基本圖形的結論具有一般性，而且很多有關正方形的幾何題都有該圖形的“影子”，巧用這一結論可以簡捷地解決一些問題.

圖1

一、求角度

例1如圖2，正方形ABCD中，∠DAF＝26°，AF交對角線BD于E，則∠BEC的度數(shù)為_______.

圖2

分析：根據(jù)對稱性可知∠ECD＝∠EAD，以此作為解答本題的突破口.

解：因為對角線BD所在的直線是正方形ABCD的一條對稱軸，而點E在對稱軸上，點A與點C關于BD所在直線對稱，又點D在對稱軸上，所以△AED和△CED關于BD所在直線對稱.

所以∠ECD＝∠EAD＝26°.

又BD平分∠ADC，

所以∠EDC＝45°，

所以∠BEC＝∠ECD＋∠EDC

＝26°＋45°＝71°.

二、證明線段垂直

例2如圖3，在正方形ABCD中，E是AD邊上的中點，BD與CE交于點F，求證：AF⊥BE.

圖3

分析：要證明AF⊥BE，即證明∠1＋∠2＝90°即可.因為正方形關于對角線BD所在直線對稱，根據(jù)對稱性可知∠1＝∠3，然后再根據(jù)點E 是AD的中點，正方形關于AD的垂直平分線對稱，得到∠2＝∠4，從而可證.

證明：因為點F在BD上，點A關于BD所在直線的對稱點是點C，

所以∠1＝∠3.

又E是AD的中點，△ABE和△DCE關于AD的垂直平分線對稱，

所以∠2＝∠4.

又因為∠3＋∠4＝90°，

所以∠1＋∠2＝90°，

所以AF⊥BE.

三、證明線段相等

例3如圖4，點P在正方形ABCD的對角線BD上，且PE⊥AD，PF⊥AB，垂足分別是E、F.試證明EF＝PC.

圖4

分析：要證明EF＝PC，直接證明比較困難.注意到四邊形AEPF是矩形，可知EF＝AP，即連接AP，然后利用對稱性求證.

證明：因為PE⊥AD，PF⊥AB，∠EAF＝90°，所以四邊形AEPF是矩形，連接AP，可得AP＝EF.由正方形的對稱性可知AP＝CP，所以EF＝PC.

四、求最小值

例4如圖5，正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點. F是BD上的一個動點（F與B、D不重合）.設折線EFC的長為m，求m的最小值，并說明點F此時的位置.

圖5

分析：由正方形的對稱性知AF＝CF，所以m＝EF＋AF，只有當A、F、E三點在同一條直線上，m才能取得最小值.此時F移動到AE與BD的交點F0處.

解：由對稱性可知，AF＝FC，所以m＝EF＋CF＝EF＋AF.

僅當A、F、E在一條直線時，m取得最小值，此時連接AE交BD于 F（0圖略），有故m的最小值為此時F是AE與BD的交點.

通過上面的解答，使我們意識到在學習幾何時，要多思多想，善于發(fā)現(xiàn)和總結各種基本圖形的特點和性質，并在解題中靈活運用，做到使知識融匯貫通、舉一反三.