一道數(shù)學(xué)競賽題的五種解法及一般形式

孫 倩（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥230601）

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一道數(shù)學(xué)競賽題的五種解法及一般形式

孫 倩
（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥230601）

［摘 要］給出第十屆江蘇省大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽一道試題的五種解法并對試題作出推廣．

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)競賽；一題多解；級數(shù)；比值判別法；推廣

第十屆（2012年）江蘇省大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽本科一級競賽題的第七題為

已知數(shù)列

該試題的參考答案如下：

除上面解法之外，本文再給出該試題的其他四種解法并給出該試題的推廣，亦即它的一般形式．

解法一 利用正項級數(shù)斂散性的比值判別法．

由題設(shè)知

從而有

注 也可由

解法二 利用正項級數(shù)收斂的充要條件

解法三 通過解二階差分方程求出｛an｝的通項，進而判別的斂散性．

因為數(shù)列｛an｝滿足二階常系數(shù)齊次差分方程an＋1－3an＋an－1＝0，此差分方程對應(yīng)的特征方程為λ2－3λ＋1＝0，解得其特征根，故

其中c1，c2為待定常數(shù)．

由a1＝1，a2＝2知

由｛an｝的通項公式知an＞0（n＝1，2，…），從而

解法四 利用矩陣方法求出｛an｝的通項，進而判別的斂散性．

由題設(shè)an＋1＝3an－an－1知

矩陣A的特征方程為

于是

因此

所以

上式右端分子、分母同除以λn－11，注意到，則有，由正項級數(shù)斂散性的比值判別法的極限形式知級數(shù)收斂，即絕對收斂，從而收斂．

下面給出本文所討論試題的一般形式及相關(guān)結(jié)論．

設(shè)數(shù)列｛an｝滿足

其中α，β為實常數(shù)且a1，a2為已知（n＝2，3，…）．若方程λ2＋αλ＋β＝0存在實根λ1，λ2，且，則級數(shù)收斂．

證 因為二階線性齊次差分方程

的特征方程λ2＋αλ＋β＝0的兩個實根分別為λ1，λ2（不妨設(shè)所以

其中c1，c2為待定常數(shù)（由a1，a2定出），于是

上式右邊分子、分母同時除以λn1，注意到令n→∞，由于，所以

［參 考 文 獻］

［1］ 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（下冊）［M］．6版．北京：高等教育出版社，2012．

Five Solutions and General Form to one Mathematics Contest

SUNQian
（School of Mathematics，Anhui University，Hefei 230601，China）

Abstract：This paper presents five methods of solving the questions of tenth college students’mathematics contest in Jiangsu province，and makes a promotion to the question．

Key words：mathematics contest；multi－answer question；series；ration discrimination method；spread

［收稿日期］2015－11－15

［中圖分類號］O173．1

［文獻標(biāo)識碼］C

［文章編號］1672－1454（2016）01－0114－04