兩個(gè)重要極限的推廣及應(yīng)用

王煥男　孫文福

摘 要：極限在微積分中占有重要的地位，是微積分的基石。兩個(gè)重要極限是極限內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。因此本文結(jié)合實(shí)例對(duì)其進(jìn)行深入分析，來(lái)探究?jī)蓚€(gè)重要極限的基本形式及其推廣應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：重要極限；推廣；應(yīng)用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.09.200

0 引言

極限概念是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，極限方法是微積分學(xué)的基本分析方法，掌握和運(yùn)用好極限方法是學(xué)好微積分學(xué)的關(guān)鍵。在極限這部分內(nèi)容的教學(xué)中，兩個(gè)重要極限是重點(diǎn)、也是難點(diǎn)。在極限計(jì)算、導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)過(guò)程中，兩個(gè)重要極限占有極其重要的地位。兩個(gè)重要極限能夠簡(jiǎn)化復(fù)雜的極限運(yùn)算，使我們更容易深刻理解并記憶導(dǎo)數(shù)公式；進(jìn)而體現(xiàn)了兩個(gè)重要極限的“重要性”。

1 兩個(gè)重要極限的基本形式及其推廣形式

極限貫穿了微積分的全部?jī)?nèi)容，是微分和積分的基石。利用兩個(gè)重要極限求極限是極限內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文將通過(guò)實(shí)例對(duì)兩個(gè)重要極限及其推廣形式進(jìn)行一些分析、歸納。

1.1 第一個(gè)重要極限的基本形式：

運(yùn)用這個(gè)極限時(shí)，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）分?jǐn)?shù)線上面與下面的x要保持一致；

（2）x→0當(dāng)時(shí)，分子、分母都趨于0，即型未定式；

（3）x可以是一個(gè)未知數(shù)，也可以是一個(gè)函數(shù)：如當(dāng)時(shí)，有。因此，這一重要極限可以推廣為，其中Δ代表一個(gè)未知量。

1.2 第二個(gè)重要極限的基本形式：

運(yùn)用這個(gè)極限時(shí)，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）x可以是一個(gè)未知數(shù)，也可以是一個(gè)函數(shù)：

（2）括號(hào)內(nèi)1后面的部分與括號(hào)外的冪次互為倒數(shù)，這個(gè)重要極限可以轉(zhuǎn)化為1∞這種未定式。

因此，這一重要極限可以推廣為或，其中Δ代表一個(gè)未知量。

2 兩個(gè)重要極限在微分學(xué)中的應(yīng)用

極限在微分學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，其中導(dǎo)數(shù)定義就是由極限來(lái)定義的；而兩個(gè)重要極限則是推導(dǎo)一些重要極限的有力工具，比如三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)。

以上實(shí)例說(shuō)明運(yùn)用兩個(gè)重要極限可以推導(dǎo)一些導(dǎo)數(shù)公式，而且有些時(shí)候必須用兩個(gè)重要極限求導(dǎo)數(shù)，比如（sinx）/=cosx等用其他方法很難求出。由此可見(jiàn)，在推導(dǎo)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式的過(guò)程中，尤其是有關(guān)三角函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程中，兩個(gè)重要極限起到了非常關(guān)鍵的作用。兩個(gè)重要極限是初等函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程中的紐帶；兩個(gè)重要極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)。 上面我們用兩個(gè)重要極限推導(dǎo)出了正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；而所有初等函數(shù)都可以由這兩類(lèi)函數(shù)和它們的反函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算、復(fù)合而得到；因此，我們利用函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合、反函數(shù)求導(dǎo)法則，由這兩類(lèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以推導(dǎo)出全部初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；再根據(jù)積分與微分的互逆關(guān)系，就可以推導(dǎo)出基本積分表，進(jìn)而我們可以計(jì)算初等函數(shù)的積分。

3 結(jié)束語(yǔ)

極限概念在微積分學(xué)中占有極其重要的地位；導(dǎo)數(shù)、定積分等許多微積分學(xué)中的重要概念都是建立在極限的基礎(chǔ)之上的。無(wú)論是在極限內(nèi)容教學(xué)還是在實(shí)際應(yīng)用中，兩個(gè)重要極限都占有特別重要的地位。本文在探討了兩個(gè)重要極限的基本特征的基礎(chǔ)上，給出了推廣形式。當(dāng)然，兩個(gè)重要極限的應(yīng)用不止這些。我們關(guān)鍵是理解其內(nèi)涵，熟練的將其應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，創(chuàng)造它的價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：王煥男（1986-），女，黑龍江海倫人，碩士研究生，助教，主要從事：組合優(yōu)化的研究。